2021年高考数学试题分类详解三角函数

高考数学试题分类详解三角函数

一、选择题

1155

A.-B.—C.—D.一一

551313

2、（全国1理12）函数/（x）=cos2x—2cos25的一个单调增区间是

,12万、B-("nD.(-£,刍

C.(0,y)

6266

解.函数/（工）=以）§2]-2以）521=以）§2%-85%-1,从复合函数的角度看，原函数看作

,1

g(t)=t2-t-\,t-cosx.对于g⑺=/一/一1,当，引―1,0时，g⑺为减函数，当

jr24II

时，g⑺为增函数,当时，r=8SX减函数，且（—上,一），...原

3322

函数此时是单调增，选A。

的图象，只需将函数y=cosx-g

3、（山东文4）要得到函数y=sinx的图象（）

TTIT

A.向右平移上个单位B.向右平移上个单位

63

n7T

C.向左平移上个单位D.向左平移三个单位

36

【答案】A【分析】：本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函

数不同名，而了=5）$]%一'1Tlxj=sinl^-q—x)]=sin(x+.,故应选A。

COS

4、（天津理3）"。=主"是"tan0=2cos（色TC的

)

32

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

y+j=2sin(-6)=-2sin

【分析】tan0=tan-G2cos$二-百可知充分,

当e=0。时tan0=0,2cos+。=0可知不必要.故选A

5、(天津文9)设函数/(x)=sin(x+5

(xeR),则/(x)()

2冗7it1T

A.在区间—上是增函数B.在区间-71,——上是减函数

362

TT7T715兀

C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数

8436

解.A【解析】由函数图象的变换可知：/(x)=sin(x+]J的图象是将/(x)=sin(x+Wj

的图象x轴下方的对折上去，此时函数的最小正周期变为兀，则函数在区间

后兀4x+二4%兀+二即无兀一三4%«%兀+二上为增函数，当k=l时有：生WS,故

323636

2冗771

在区间—上/(X)是增函数.

6、(全国1文2)。是第四象限角，cosa=一，则sina=

5555

A.—B.---C.—D.——

13131212

解.a是第四象限角，cosa=二一，则sina=一川一cos2。二=---，选Bo

1313

7、(全国1文10)函数y=2cos?x的一个单调增区间是

A.(一B.(0,gc.今年)D.弓,万)

解.函数y=2cos2x=l+cos2x,它的一个单调增区间是(5,力),选D。

TT7T

8、(广东文9)已知简谐运动/(x)=2sin(铲+°)(|初<耳)的图象经过点(0,1),则该简谐

运动的最小正周期T和初相°分别为

A.T=6f(p=^-7=6,(p=y-C.T=6TT、(p=差D、T=,<p=--

TTTT

【解析】依题意2sin°=l,结合|夕|<2可得夕=2,易得丁=6,故选(A).

26

TTTT

9、(山东理5)函数y=sin(2x+R)+cos(2x+2)的最小正周期和最大值分别为

63

(A)7T,l(B)^,5/2(C)27，1(D)2兀,近

【答案】：A【分析】：化成y=Asin(8+°)的形式进行判断即y=cos2x。

10、(全国2理1)sin2100=

V3(C)[(D)-]

(A)(B)--y

T22

解.sin210°=—sin30°——•-,选D。

2

11、(全国2理2文3)函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是

(A)(―-,—)(B)(—(C)(兀，一)(D)(―

444422

解、函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(兀，—).选C。

2

12、(全国2文1)cos330°=()

73

A.BD.

2-42

解.cos330。=cos30°=,选C。

2

TT

13、(安徽理6)函数/(x)=3sin(2x—,)的图象为C,：

①图象。关于直线x■万对称；

12

②函数/(X)在区间(-皂TT,5卷7E)内是增函数；

③由y=3sin2x的图象向右平移方个单位长度可以得到图象C.

以上三个论断中正确论断的个数为

(A)0(B)1(C)2(D)3

TT

解析：函数/(x)—3sin(2x—§)的图象为C

①图象。关于直线2彳一2JF=%乃+7'T对称，当k=l时，图象C关于x=II对称；①正

3212

确；②xw(-三，型)时，2x--e(--,-),A函数/(x)在区间(-土，至)内是

12123221212

增函数；②正确；③由y=3sin2x的图象向右平移:个单位长度可以得到

27r

y=3sin(2x--),得不到图象，③错误；；.正确的结论有2个，选C。

14、(北京文理1)已知cos81ane<0,那么角。是()

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

解析：：cosaian。<0,当COS0<O,tan0>0时,OG第三象限;当cos0>0,tan0<0时，

9G第四象限，选c。

15、(北京文3)函数/(x)=sin2x-cos2x的最小正周期是()

A.—B.itC.2KD.4TI

2

解析：函数/（x）=sin2x—cos2x=0sin（2x-2）,它的最小正周期是兀，选B。

4

16、（江苏1）下列函数中，周期为三的是（D）

2

.x.-x

A.y=sin—B.y=sin2xC.y=cos—D.y-cos4Ax

27r

解析：利用公式T=—即可得到答案D。

co

17>（江苏5）函数/（x）=sinx-Gcosx（X£|-乃,。］）的单调递增区间是（D）

r5乃I

A.[一肛--B.T--1C.[~,0]D.[-^,0]

66，6O

TT7T4.兀1万

解析：/（X）=2sin（x-y）因X--&--故X---6——乃，----

323

得xe--^■,0]选D

6

18、（福建理5）已知函数f（x）=sin（3X+,3>0）的最小正周期为m则该函数的图象

A关于点3,0）对称B关于直线x=?对称

3

C关于点60）对称D关于直线x=5寸称

3

JT

解析：由函数f（x）=sin（3X+5（3〉0）的最小正周期为R得69=2,由2x+—=k冗得

33

\71\7171

x=—k/r---,对称点为（一我乃----,0）（%£Z）,当k=l时为（一，0）,选A

26263

19、（福建文3）sinl5°cos75°+cosl5°sin105°等于

1V3

A.OB.—C.---D.1

22

解析：sinl5°cos75°+cos15°sin105°=sin215°+cos215°=1,选D

JT

20、（福建文5）函数产sin（2x+§）的图象

A.关于点（2n，0）对称B.关于直线广上TT对称

34

ITTT

C.关于点（一，0）对称D.关于直线广三对称

43

TT1TTITT

解析：由2x+—=k冗得x=—k兀---，对称点为（一匕r-----,0）（Z£z）,当k=l时为

32626

7T

（一，0）,选A

3

（一a）=3,则cota等于（）

21、（江西理3）若tan

A.-2B.---C・LD.2

22

冗

tan----tana1

,（71、4C,1C3.

解析：由tan|—a|=3得-------------=3ntana=——，所以cote=-2,选A

（4）〔n2

1+tan-tana

4

jr

22、（江西理5）若0<x<t,则下列命题中正确的是（）

2

AA.s•inx<-3xBn.s•mx>—3x

7171

）

Cc.s-inx<—4xDn.si-nx>—4x~9

7T

TT7T

解析：用特殊值法，取X=°可排除B、C,取x=2可排除A,选D

36

23、（江西文2）函数y=5tan（2x+l）的最小正周期为（）

A.—B.—C.兀D.271

42

TT

解析：丁二一，选B.

2

4

24>（江西文4）若tana=3,tan/=§,则tan（a-#）等于（）

A.—3B.C.3D.—

33

3--

解析：tan（a—夕）=反幺卫巨=——当•=1.所以选D.

1+tanatan/?3

3

TT

25、（江西文8）若0<x<一,则下列命题正确的是（）

2

2233

A.sinx<-xB.sinx>—xC.sinx<-xD.sinx>—x

717C7T71

解析：％=^nsinx=L右边2x巳=L』xX=L显然A、C、D不正确，选B.

627T63^62

26、（湖北文1）tan690°的值为

4-A.--B.—C.V3D.V3

33

答案：选A

解析：tan690°=tan(720°-30°)=-tan30°=-^-,故选A

3

27、(浙江理2)若函数/(x)=2sin3x+e),XGR(其中0>0,冏<])

的最小正周期是兀，且"0）=6,则（）

171c171

A.CD=~y①=——B.69=­,(P=—

2623

cC兀cC兀

C.co=2,q)=—D.69=2,(P=—

63

【答案】：D

V3

【分析】：由7=—=乃g=2.由/(0)=>/3=>2sin=^3/.sin(p=

co2

,.・[同,。=].故选D.

28>（浙江文2）已知cos]+。）=£，且|同<]，则tan0=

（A）-乎⑻乎。-&（D）石

【答案】：C

JI,得sin9=一曰，又|同1

【分析】：由cos—+（p..cos^=—

12

TT1冗

29、（海、宁文理3）函数y=sin2x——在区间——，兀的简图是（）

<3/2

【答案】：A

【分析】：/（;r）=sin[2乃一]

=—排除B、D,

2

=sin2*2一三）=0,排除C。也可由五点法作图验证。

30、（海、宁文理9）若一c，s2a一史，贝ijcose+sin&的值为（）

.（兀、2

AbP1C1D近

2222

【答案】：C

cos2acos2-sin2a

【分析】：—\/2(sina+cosCL)———•,

sin(a司f(sina-cosa)2

1

=cosa+sina=­.

2

31、(重庆理5)在AABC中，AB=g,A=45°,C=75°,则BC=()

A.3-V3B,V2C.2D.3+V3

【答案】：A

【分析】：•••AB=百,A=45°,C=75°,由正弦定理得：

a_cBCABV3

sin4sinCsin45°sin75°遍+&'

4

BC=3-0

32、(重庆文6)下列各式中，值为亚的是

2

(A)2sin15°COS15°(B)cos2150-sin215°

(C)2sin215°-1(D)sin215°+cos215°

【答案】：B

【分析】：cos2150-sin2150=cos30°=

2

33、(辽宁理5)若(［兀,：兀)，则复数(cos8+sin，)+(sin，-cos8)i在复平面内所

对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解析：取9="得(cose+sine)+(sin8-cose)i=-l+i,第二象限，选B

34、(陕西文理4)已知sin。=*，则sir?8-cos,。的值为

3113

(A)--(B)--(C)-(D)-

5555

解析：sin43-cos45=sin2«—cos2cr=2sin2<z—1=--,选A

5

35、(广东理3)若函数/。)=$也2》-；(》e/?),则f(x)是

(A)最小正周期为巴的奇函数；(B)最小正周期为;r的奇函数；

2

(C)最小正周期为2万的偶函数；(D)最小正周期为万的偶函数；

答案：D；

二、填空题

①图象C关于直线X=—7T对称；

12

②图象C关于点(27芋r,0)对称；

③函数/(x)在区间(W，1|)内是增函数；

TT

④由y=3sin2x的图象向右平移上个单位长度可以得到图象C.

TT

解析：函数/(x)=3sin(2x—§)的图象为C,

①图象C关于直线2x—々77=%万+差77对称，当k=l时，图象C关于x=IL!乃对称；①

3212

正确；

②图象C关于点(k竺7E+多7T,0)对称，当k=l时，恰好为关于点(Q三TT,0)对称;②正确；

.7t57r.._nit7t.._..„.兀5兀、,口

③x《（---,—）时，2x---e（——,一）,•.函数/（x）在区间（----,—）内?£增

12123221212

函数；③正确；

27r

④由y=3sin2x的图象向右平移方•rr个单位长度可以得y=3sin（2x—半），得不到图

象C.④不正确。所以应填①②③。

2、（北京文12理11）在△ABC中，若tanA=L，C=150°,BC=\,则AB=

3

解析：在△ABC中，若tanA=,，C=150°,AA为锐角，sinA=」=,BC=1,

3V10

而用用丁力士m._BCsinCV10

则根据正弦定理AB=--------=----o.

sinA2

3、（北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古

代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小一7|

正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1,大正方形

的面积为25,直角三角形中较小的锐角为。，那么COS26的值等于

解析：图中小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,・・・每一个直角三

a2^345b2=25

角形的面积是6,设直角三角形的两条直角边长分别为〃，儿则|1，二两条直

—ab=6

I2

47

角边的长分别为3,4,直角三角形中较小的锐角为6,cosO=—,cos20=2cos2。一1二一。

525

13

4、（江苏11）若以）5（二+〃）=不85（二一/?）=）,.则tanatan/?=1/2.

解析：cos@+/?）=cosacosp一sinasin/?=g

3

cos0-尸）=cosacos/?+sinasin/?=一

cosacos夕=—

sinasinB1

求出＜；tanatannp=---------=—

cosacos2

sinasinP~~

5、（江苏16）某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5an,秒针均匀地绕点。旋转，

当时间1=0时，点A与钟面上标12的点3重合，将A,B两点的距离或cm）表示成f（s）的

函数，则4=

jrt

lOsin—,其中/e[0.60]。

一60

解析：ZAOB=—x2^=—d=2x5-sin-lOsin—

6030260

6、(上海理6)函数〃x)=sin(x+?卜+的最小正周期是T=

【答案】兀

L解析】y=sin(x+―)sin(x+—)=(sinxcos—+cosxsin—)cosx

1.£,1.c百l+cos2x

=—sinxcosxH-----cos'x=-sin2xH------------------

22422

=—+—sin(2x+—):.T-7To

423

7、(上海文4)函数)，=secxl£os(x+])的最小正周期T=.

【答案】戈

【解析】y=secMcosjx+—|=-----L(-sinx)=-tanxT=n

\2Jcosx

8、(湖南理12)在△ABC中，角A8。所对的边分别为a,b,c,若a=l,b=不，

c=6,则3=.

5兀

【答案】—

6

【解析】由正弦定理得COS3=1+3-1=—@,,所以8=型.

2x1x626

9、（湖南文12）在AA6C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a===生,

3

则

A=.

【答案】-

6

V3

【解析】由正弦定理得，一=-^=>5亩4=竺贬=多=工，所以A=百

sinAsinCc。326

1兀一一371

10、（浙江理12）已知sin6+cos8=—,且一W8W——,则cos26的值是.

524

7

【答案】：----

25

【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。•••sine+cose=L两边平方得：

i174

sin?。+2sinOcos0+cos20-——，即1+sin2。=—,sin20=---

252525

cos2^=-71-sin220=---.

25

11、（浙江文12）若sine+cos6=—,贝Hsin26的值是.

【答案】：一2二4

25

【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。•.•sin6+cose=2；.两边平方得:

1124

sin2^+2sin0cos^+cos29=—,即l+sin26=—，sin20=----

252525

12、（重庆文13）在△ABC中，AB=l,BC=2,B=60°,则AC=。

【答案】：百

【分析】：由余弦定理得：AC2=12+22-2X1X2XCOS60°=3..-.AC=V3.

13、（四川文理16）下面有5个命题：

①函数y=sin，x-cos4x的最小正周期是7.

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=亨«wZ}.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点.

④把函数y=3sin（2x+^）的图象向右平移差得到y=3sin2x的图象.

36

TT

⑤函数y=sin（x-耳）在［0,上是减函数.

解析：®y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x,正确；②错误；（3）y=sinx,

y=tanx和y=«x在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误.故选①④.

三、解答题

1、(安徽理16)已知0<a<：,p为/(x)=cos(2x+1)的最小正周期，

((1Q]-口r_u.2cos2a+sin2(a+.._

a-tana-\■一0，b=(cosa,2),且a方=机.求---------------------的值.

[I4))cosa-sina

本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能

力.本小题满分12分.

c兀

解：因为夕为f(%)=cos2xH—的最小正周期,故/?=兀.

8

因。功=相，又Q・〃=cosa・tan[a+w/J-2.

故cosa,tan(a+；/?]=m+2.

TT

由于0＜。＜一，所以

4

2cos*2a+sin2(a+/?)_2cos2a+sin(26z+2n)

cosa-sinacosa-sina

2cos2a+sin2a_2cosa(cosa+sina)

cosa-sinacosa-sina

-1+tana

=2cosa-----------2cosa・tan[夕+：)=2(2+m)

1-tana

yjr

2、(安徽文20)设函数/(x)=-cos?x-4fsin5cos5+4/+〃-3f+4,xeR,

其中,|W1,将/(x)的最小值记为g(f).

(I)求gQ)的表达式;

(ID讨论g(f)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数

的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题

的综合能力.本小题满分14分.

解：(I)我们有

/(%)=-cos2x-4/sin—cos—+4z3+/2-3『+4

22

=sin2x-1-2rsin+4r+J—3f+4

=sin?x-2rsinx+r+4f3-3/+3

—(sinx-t)~+4/一3f+3.

由于(sinx—f)220,MW1,故当sinx=f时，/(x)达到其最小值g(f),即

g(t)=4f3-3f+3.

(II)我们有g'⑺=12/一3=3⑵+1)⑵一1),一l<f<l.

列表如下：

3

t_1

GT22

g'Q)+0—0+

gQ)□极大值□极小值□

由此可见，g(f)在区间(一1,—g)和单调增加，在区间单调减小，极小值为

g]£|=2,极大值为4—；)=4.

13

3、(福建理17)在△ABC中，tanA=—，tan5=-.

45

(I)求角。的大小；

(II)若△ABC最大边的边长为J万，求最小边的边长.

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运

算能力，满分12分.

解：(I)•.•。=兀一(4+8),

13

—+-

/.tanC=-tan(A+B)=——45=-l.

l--x-

45

3

又♦.・0vC＜兀,C=—兀.

4

3

(II)•/C=—n,

4

了.AB边最大，即AB=J万.

又tanA<tan8A,Bel0,yj,

二角A最小，边为最小边.

,sinA1

tanA=

由vcosA4,且4$0,4],

2

sin2A+cos2A=\,

/日.AVl7.ABBC„/“八邛皿4后

得sinA-----•由-——=-——得z：BC=ABrP--=V2.

17sinCsinAsinC

所以，最小边sc=J5.

4、(广东理16)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4),8(0,0),C(c,0).

(1)若c=5,求sinNA的值;

(2)若NA是钝角，求c的取值范围.

解析：(1)AB=(-3,-4),AC=(c-3,-4),若c=5,则AC=(2,-4),：

COSZA=COS<AC,AB>=^^=-4->/.sinZA=—；

5x2>/5V55

—3c+9+16<0,25.JLZ,TTCrx3口25

2)若NA为钝角，则解hTJ/得J=c>—,..c的取值氾围是(一,+oo)；

CHO33

5、(海南宁夏理17)如图，测量河对岸的塔高A3时，

可以选与塔底3在同一水平面内的两个测点C与。.现

测得NBCD=aNBDC=仇CD=s,并在点C测得

塔顶A的仰角为8,求塔高A3.

解：在△3C。中，4CBD=n—a—/3.

BCCD

由正弦定理得

sinNBDCsinZCBD

所以

sinZCBDsin(a+(3)

5•tan^sin°

在Rt4ABC中，AB=BCt^nZACB=

sin(a+B)

6、(湖北理16)已知△ABC的面积为3,且满足0W通屈W6,设而和衣的夹

角为必

(I)求夕的取值范围；(II)求函数/(e)=2sin25+eJ—Gcos26的最大值与最小

值.

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,

考查推理和运算能力.

解：(I)设△A3C中角AB,C的对边分别为a,b,c,

1jrjr

则由一Z?csin6=3,0W/?ccos8W6,可得OWcoteWl,:.9w—.

2|_42j

(II)/(6>)=2sin2(j-V3cos26>=1—cos(]+2町一Gcos28

V^eF---L/.2^2sinf2^--U1^3.

[42」3|_63」I3J

57r7T

即当时，mnax=3；当。=:时，mnin=2.

7、(湖北文16)己知函数/(x)=2sin21：+x)-6cos2x,xe

(I)求/(x)的最大值和最小值;

(II)若不等式|/(x)-时＜2在xe上恒成立，求实数机的取值范围.

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质

解题的能力.

解：(I)*.*/(x)=l-cos(q+2x||-Gcos2x=l+sin2x-Gcos2x

l+2sinf2x-yj.

T7••兀兀,,即2Wl+2sin(2x—0W3,

又・X£一，一

426333

,/(X)max=3,/口焉=2.

(II)V|/(x)-m|<2<=>/(x)-2<m</(x)+2,xe

：m

'>/("ax-2且机</(X)min+2,

1<w<4,即，〃的取值范围是(1,4).

1

8、(湖南理16)己知函数/(x)=cos12x+—兀)I,^(/x)\=lI+—1si.nC2x.

2

(I)设x=/是函数y=/(x)图象的一条对称轴，求g(x。)的值.

(II)求函数力(x)=/(x)+g(x)的单调递增区间.

1兀

解：(I)由题设知/a)=—“+cos(2x+—)].

26

7T

因为x=x()是函数y=f(x)图象的一条对称轴，所以2x()+—=kii,

6

TT

即2x()=E(ZwZ).

117T

所以g(x())=1+—sin2/=1+—sin(E——).

226

当人为偶数时，g(x0)=l+gsin13

44

当％为奇数时，=1+—sin—=1+—=—

°2644

1Tl1I

(II)/z(x)=/(x)+g(x)=—1+cos2x+—+1+—sin2尤

2I6J2

1〈兀)-3c1.^3

一cos2xH—|+sin2xH—U正cos2x+—sin2x+—

2622222

7

1/吟3

2l3)2

当2E—四+即版—型WXWE+E(AeZ)时，

2321212

函数〃(x)=—sm2x+—+—是增函数,

213J2

57r7T

故函数〃(x)的单调递增区间是左兀一五，^+―(ZeZ).

9、(湖南文16)已知函数/(x)=l-2sin2(x+1]+2sin(x+^•>os(x+^).求:

(I)函数/(x)的最小正周期；

(II)函数/(X)的单调增区间.

TT7T

解：fM=cos(2xH•—)+sin(2x+—)

44

(I)函数/(%)的最小正周期是T二昼=兀；

(II)当2E-7iW2xW2E,即左兀一(ZGZ)时，函数f(x)=5/2cos2x