2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案用向量法求空间夹角

第二课时用向量法求空间夹角——热门考点题型探析一、复习目标：1．能借助空间几何体内的地点关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，领会向量方法在研究几何问题中的作用。3、研究题型，掌握解法。二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。研究题型，掌握解法。三、教课方法：讲练联合，探析概括四、教课过程（一）热门考点题型探析题型1：异面直线所成的角例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）z分析：成立坐标系如图，D1则A2,0,0、B2,2,0，C0,2,0，A1A12,0,2，B12,2,2，D10,0,2，E2,1,0，

C1B1A1C2,2,2，

D

yCD1E2,1,2，AB0,2,0，BB10,0,2。AEx不难证明A1C为平面BC1D的法向量，ACDE3∵cosAC,DE11。11ACDE911∴D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为3。9反省概括：将异面直线间的夹角转变为空间向量的夹角。题型2：直线与平面所成的角1例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱—111中，底AABCABC面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD11的重心G。求AB与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值1表示）；分析：如下图，成立坐标系，坐标原点为，设CCAA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A(2a，x1

BzC1B1DDECKGBy0，2)，E(a，a，1)，G(2a,2a,1)，333∵aa2GE3,3,3，BD0,2a,1，GEBD2a220，33∴a＝1，GE1,1,2，333∵GE为平面ABD的法向量，且A1BGE2。cosA1B,GE3A1BGE∴AB与平面ABD所成角的余弦值是2。13反省概括：先办理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转变为线面角。题型3：二面角例3、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。O1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；E（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。F分析：（1）延伸AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得tanAOD5，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为5；222）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB,PA∩AB=A，∴DA⊥平面BPA于A,同时，BC⊥平面BPA于B，∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ,cosθ=S△PAB/S△PCD=/2θ=450。即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。解法2（补形化为定义法）如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。（二）、加强稳固训练1、（2007年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA133ADB的大小。（略去2，D是CB延伸线上一点，且BDBC。求二面角B1了该题的①，③问）2、（06四川卷）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角BOAC的大小是（）2（A）4（B）3（C）2（D）31、分析：（1）取BC的中点O，连AO。由题意：平面ABC平面BCC1B1，AOBC，∴AO平面BCC1B1，以O为原点，成立如图6所示空间直角坐标系，z3（3（9,0,0）（3）B,0,0）D22AA1则2，，，333,0）933）CC1（,AD（,0,B1222，∴2，Oy33BB1B1D（3,3,0）BB1（0,3,0）xD2，2，BB1平面ABD，∴BB1（0,33,0）由题意2为平面ABD的法向量。设平面AB1D的法向量为n2(x,y,z)，9x33z033yn2ADn2AD022x3x302则n2B1D，∴n2B1D0，∴3yz3x。2，即BB1n2331cosBB1,n2233|BB1||n2|32n2)2(,1,3∴不如设22，由2，得BB1,n260。故所求二面角B1ADB的大小为60。评析：（1）用法向量的方法办理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面仿佛谈化了学生的空间想象能力，但实质否则，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更为着重对学生创新能力的培育，表现了教育改革的精神；（2）此法在办理二面角问题时，可能会碰到二面角的详细大小问题，如此题中若取n2(3,1,3)cosBB1,n21120，但依题意22时，会算得2，进而所求二面角为只为60。由于二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。因此在计算以前不如先依题意判断一下所求二面角的大小，而后依据计算取“相等角”或取“补角”。2、分析：球O的半径是R=1，A,B,C三点都在球面上，A,B两点和A,C两点的球面距离都是4，则∠AOB，∠AOC都等于4，AB=AC，B,C两点的球面距离是3，∠BOC=3，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足为D，连结CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角BOAC的平面角，2BD=CD=2，∴∠BDC=2，二面角BOAC的大小是2，选C。（三）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法：2、二面角的求法：①AB，CD分别是二面角—l—的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为AB,CD。3、设n1,n2分别是二