2019数学新设计北师大选修21精练第二章空间向量与立体几何26含答案

§6距离的计算课后训练案稳固提高A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.B.C.D.分析;∵n=(1,0,-1)与直线l垂直,∴n的单位向量n0=.又∵l经过点A(2,3,1),=(2,0,1),∴在n上的投影·n0=(2,0,1)·.∴点P到l的距离为.答案;B2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.D.分析;∵α的一个法向量为n=(-2,-2,1),∴n0=.又点A(-1,3,0)在α内,∴=(-1,-2,4),∴点P到平面α的距离为|·n0|=.答案;D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.aB.aC.aD.分析;成立如下图的空间直角坐标系,-1-则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).∴||=a,||=a.∴点A1到BC1的距离d=a.答案;A4.导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B.C.D.分析;如图,成立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).因此=(-1,0,1),.因此.又直线AD1与MN不重合,因此MN∥AD1.又MN?平面ACD1,因此MN∥平面ACD1.-2-由于=(-1,0,1),=(0,1,-1),设平面ACD1的法向量n=(,y,),则因此因此=y=.令=1,则n=(1,1,1).又由于-(1,0,0)=,因此点M到平面ACD1的距离d=.故直线MN与平面ACD1间的距离为.答案;D5.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,则点B到直线A'C的距离为.分析;∵AB=2,BC=3,AA'=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A'(0,0,4),=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),∴上的投影为=.∴点B到直线A'C的距离d==.答案;6.-3-如图,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.分析;成立如下图的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(,y,1).∴n·=0,n·=0,∴∴n=(2,1,1).∵=(0,0,2),∴点A到平面SND的距离为.答案;7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.解成立如下图的空间直角坐标系,则由题意有-4-A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.因此=(,1,0),=(0,0,2).由于点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(,0,),则.由NE⊥平面PAC,可得即化简,得因此即点N的坐标为,进而点N到AB和AP的距离分别为1,.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.解(方法一)如图,连结A1B,交AB1于点M,连结DM,则DM⊥平面AA1B1B,因此A1B⊥DM.又=()·()=||2-||2=0,∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d==a.-5-(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为轴,成立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).可知.取AB1的中点M,则M.∴,∴a×+0×(-a)=0.∴DM⊥A1B.又a2+-a2=0,∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量,故点C到平面AB1D的距离d==a.组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且知足,则点P到AB的距离为()A.B.C.D.分析;-6-成立如下图的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),∴上的投影为,∴点P到AB的距离为.答案;A2.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,此中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为()A.B.C.D.2分析;取AB的中点O,以O为坐标原点,成立如下图的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),进而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(,y,),则令y=1,则=-1,=-1,∴n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.答案;B3.-7-如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为.分析;取CD的中点O,连结OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.以O为原点,成立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=,AB=2,因此C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).设n=(,y,)是平面MBC的法向量,则=(1,,0),=(0,),由取n=(,-1,1).又=(0,0,2),则点A到平面MBC的距离d=.答案;4.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.分析;成立如下图的空间直角坐标系,-8-则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N.∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,∴MN∥EF,A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(,y,),∵=(1,1,0),,∴n·=0,且n·=0.即(,y,)·(1,1,0)=0,且(,y,)·=0.∴+y=0,且-+=0,令=2,则y=-2,=1.∴n=(2,-2,1),n0=.=(0,1,0),∴A1到平面B1NMD1的距离为d=|·n0|=.答案;5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证;B1C∥平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.(1)证明连结AB1交A1B于E,连结DE.B1C∥平面A1BD.(2)解成立如下图的坐标系,-9-则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),因此=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(,y,),因此即取n=(3,0,1).因此所求距离为d=.6.导学号90074047如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问;线段CD上能否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明原因.解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,成立如下图的空间直角坐标系A-y,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假定在线段CD上存在一点Q知足题设条件.令CQ=m(0≤m≤2),则DQ