几何模型 与圆有关的最值问题（与圆有关的模型） 中考数学总复习必会几何模型剖析（全国通用）

中考总复习-几何模型专题四

与圆有关的模型4.2“隐圆”模型理论依据情境导入考点聚焦典例精讲查漏补缺课堂小结提升能力与圆有关的最值问题点圆最值---点心线01线圆最值---心垂线02圆中最长弦---直径03知识要点过定弦中最小的圆04精讲精练【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值为_______.⌒PPAOBCD知识点一情境导入点圆最值---点心线5-1知识点一模型分析点圆最值---点心线平面内一定点P和⊙O上动点E的连线中,当连线过圆心O时,线段PB有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定OP=d,⊙O半径为r)：(i)若P点在⊙O外时,d＞r,如图1:当P,B,O三点共线时,线段PB出现最,PB的最大值为_____，PB的最小值为_____；d+rd-r(ⅱ)若P点在圆上时,d=r,如图2:当P,B,O三点共线时,线段PB出现最值,PB的最大值为____________________；PB的最小值为________________.(ⅲ)若P点在⊙O内时,d＜r,如图3:当P,B,O三点共线时,线段PB出现最值,PB的最大值为____,PB的最小值为____.d+r=2r(即为⊙O的直径)d-r=0(点D,E重合)d+rr-dOP图1BOP图2BOP图3B知识点一模型分析点圆最值---点心线OP点P在⊙O外BAOP点P在⊙O内BACPA=PO-AO=PO-CO＜PC.PB=PO+BO=PO+CO＞PC.∴PA最短∴PB最长CPA=AO-PO=CO-PO＜PC.PB=PO+BO=PO+CO＞PC.∴PA最短∴PB最长点圆之间，点心线截距最短(长)【例1】有一架靠在直角墙面的梯子(MN=4)正在下滑,D点出有一只猫紧紧盯住位于梯子MN的正中间E处的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面,梯子,猫和老鼠看成同一平面内的线或点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.猫与老鼠的距离DE的最小值为_______.NADEMCB知识点一典例精讲点圆最值---点心线25-21.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长的最大值为______,OB长的最小值为_____,AC长的最大值为_____,AC长的最小值为_____,AB长的最大值为______,AB长的最小值为____．2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是________.1知识点一针对训练点圆最值---点心线829120OCABB´EFCDBB´210-2A点圆最值---点心线01线圆最值---心垂线02圆中最长弦---直径03知识要点过定弦中最小的圆04精讲精练(i)如图,AB为⊙O的一条定弦,点C为圆上一动点.如图1,若点C在优弧AB上,当CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大；如图2,若点C在劣弧AB上,当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大.知识点二模型分析线圆最值---心垂线OCBAHOCBAH【例2-1】在△ABC中,AB=4,∠C=60º,∠A≥∠B,则BC的长的取值范围是____________,△ABC面积的最大值为____.知识点二典例精讲线圆最值---心垂线CCAB60º4OCOl(ⅱ)如图,⊙O与直线l相离,点P是⊙O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是_____,(如图3),点P到直线l的最大距离是_____(如图4).d-rd+r知识点二模型分析线圆最值---心垂线ABPHM∵OP+PM＞OM＞OH=OB+BH,OB=OP.∵AH=OA+OH=OP+OH＞PH＞PM,①线圆之间,心垂线截距最短(长).结论：AH最长,BH最短.∴PM＞BH.∴AH＞PM.【例2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=1,点E为边BC上的动点,△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_____.PPHEAFCBE知识点二典例精讲线圆最值---心垂线1.2如图,在△ABC中,∠ABC=90º,AB=3,BC=4,O为AC的中点,过点O作OE⊥OF,OE、OF分别交AB、BC于点E、F,则EF的最小值为_______.知识点三针对训练线圆最值---心垂线52AOECBF点圆最值---点心线01线圆最值---心垂线02圆中最长弦---直径03知识要点过定弦中最小的圆04精讲精练知识点三模型分析圆中最长弦---直径1.定圆中最长的弦是直径；OBADC2.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆ABOBA3.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；OPCD【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF，OE,OF分别交射线AC,BC于E,F,则EF的最小值为_____.【简答】∵∠EOF=∠C=90º,BOACEFFE知识点三典例精讲圆中最长弦---直径5∴C,O均在以EF为直径的圆上.∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)点圆最值---点心线01线圆最值---心垂线02圆中最长弦---直径03知识要点过定弦中最小的圆04精讲精练知识点四理论依据过定弦中最小的圆POAB过⊙O内一点P的最短的弦是与OP垂直的弦AB,CDH理由：连接OB,OC,过点O作OH⊥CD于点H.∴PB2=OB2-OP2,CH2=OC2-OH2.∵OB=OC,OP＞OH.∴PB＜CH.∴AB＜CD.∴过点P的最短的弦是与OP垂直的弦AB,

知识点四典例精讲过定弦中最小的圆ACABPOACB强化训练1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心,1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP,OP,AO,则△AOP面积的最大值为_______.2.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60º,M是AD边的中点,N是AB上一个动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A´MN,连接A´C,则A´C长的最小值为______.174提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题APODCB7-1AA´NMDCB3.如图,在矩形ABCD中,AB=60,AD=45,P,Q分别是AB,AD边上的动点,PQ=52,以PQ为直径的⊙O与BD交于点M,N,则MN的最大值为_____.ABCDQPMNOHONMQP∵MN=2NH=∴当OH最短时，MN最长.48提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.5.如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.则EP的最大值为____.24/5AOMDECBNACDOEBPF6提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题6.如图,AB是⊙O的弦,点C是ACB上的动点(C不与A,B重合),CH⊥AB,垂足为H,点M是BC的中点.若⊙O的半径是3,则MH长的最大值是_____.7.如图,Rt△AOB∽Rt△DOC,∠AOB=∠COD=90º,M为OA的中点,OA=5,OB=12.将△COD绕点O旋转,连接AD,CB,并延长交于点P,连接MP,则MP的最大值为_____.3︵12.5OBAHMCC(M)(H)OMDPBACIN提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题

APQOB提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题229.在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30º,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度；(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值．AQPCBO图1AQPCBO图2提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题10.如图,等边△ABC中,AB=6,P为AB上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,(1)求∠DPE的度数；(2)求DE的最小值.【简答】∵∠PEC=∠PDC=90º,故四边形PDCE对角互补,故PDCE四点共圆,如图.∠EOD=2∠ECD=120º,要使得DE最小,则要使圆的半径最小,故直径PC最小,当CP⊥AB时,PC最短为,则可求出DE=4.5.DEPACBO提升能力强化训练与“圆”有关的最值问题11.如图,