构造函数利用导数解决函数问题

xC.22构造函数决不等式问例[辽宁卷函fx)定义域为R，(－＝，对任意x∈，′(x＞2则f()＞2＋4的解集)A．－B(－，＋∞)C．－∞，1)D．(－∞，＋∞1.已函数y(x

的图象关于y轴对称,且f()xf'(x

成立

f)

，

3(log3)

，

clog9f9)33

,则a,b,c的小关系是()A.

B.

C.

D.

已

f(x)

为

R

上的可导函数，且

R

，均有

f(x

，则有A

e

2013

f2013)(0)

，

f(2013)

2013

fB

ef2013)(0)

，

f(2013)fC．

e

2013

f2013)(0)，f(2013)

2013

fD．

e

2013

f2013)(0)

，

f(2013)

2013

f(0)已函数

f(x)()

满足

f(1)

，且

f(x)

的导函数

f'(x)

1x，则f(x222

的解集为（）A.

3.[2013·绥一模]已函数＝(－的图象关于点1，对，且当x∈(－，时，()＋′()<0成(其中f′(x是x)的函数)，a(3)·)，b＝(log3)·f(log3)＝(log

2

)

·

(log)

，则，，的小关系是()A．>>．c>>C．>>aD．>cb例巳知函数f（x）=

13

ax－bx－1nx，其中，∈）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值曲y=fx（）处的切线方程为x－3y－（e=2.71828…为自然对数的底数a，的；（Ⅲ）当a>0，a为常数时，若函数h（x）（x）+1nx]任意的x≥4总有1hxx)x2

成立，试用表出b的值范围；1.函

(x)axa

（Ⅰ）当

a

时，求曲线

yf()

在f(1))

处的切线方程a时若f()

在区间

[1,e]

上的最小值-求a的取值范围；（）若对任意

xxx

，且

f()x()12

恒成立，求

的取值范围1

2函

f(x)x

mx

，（1）求函数的极值讨

g(x)f)

x3

的零点的个数）

fb()b

恒成立，求

的取值范围。解(xlnx

1mx-,∴-,m∈xxx2(1)当时，f

x-x

解f

得,∴(单递；同，当x时，∴(只极值

0,f(x单递ef()ln2.所以，(的小为2.e2(x)f

x-∴mx-，(x)x-,x∈,则(1)3333

1

(1)(1).令

解得1,∴h(x)在间递增，值为

(0,

).同，令

解得1,∴g在区间递减，值为

-∞

大画出函

(x)图，则由图当≤0或

时(x)只有一零点；当0m3

时()有2个点；当

时g(x)有零点f(b-f(-m(3)当ba时，f(0,上恒成立.∴-b-a1当x时，二次数-∈∴所以，当∈,时，满足.

2已知函

f(x)=lnx

（1）若直线与数

f(x)=lnx

的图像相切，求实数的。（2）证明函数f(x)=lnx与曲线yf(b)-f(a)的大小，并说明理由2b

1x

有唯一的交点）设，比较2

22lnlna则ln,成立b22b4.设数fx＝2ln＋mx－.(1)若曲线yf()在点(1,f(1))处的切线方程为＝＋,求实m,n的值；fa(2)若>－求证：当ab时有

a

f－

>－2；xx(3)若函数fx有两个零点x,x(x),且x＝,求证：′x)<0.解：(1)由(x＝2ln＋mx－

2得′x)＝＋－2,x2故由题意可得′(1)m＋－＝2,即m＝1从而f(1)＝2ln1＋－又知f(1)＝×＋,2n＝1,∴＝1.∴实数mn的值分别为＝2,＝1.(2)由于b>0,设函数g(x)＝(x)＋x＋＋,2则有g()＋＋.x由于x>0,且－4,2∴′)＝x＋＋≥x∴()>(b),

22·＋m＝＋>0,g(x)在0,∞上递,x∴(＋2a>b)＋b,∴

f(a)f()a

3

x121212xx121212x＋－＝，(3)由,x(x是f()的零点可得＋－＝，lnx－x故＝＋·.x－2＋又由f′)＝＋－x,x＝x242lnx－lnx可得f′)＝＋－(x＋)＝－＋xx＋－2)进而可得f′(x＝·12lnx).1x现令t＝,由题意知>>0,则有(0,1).xx)t进而可得1(ln