-高中数学第三章不等式4基本不等式2作业含解析新人教版必修

PAGEPAGE6基本不等式基础巩固一、选择题1．a、b、c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．a>c>b[答案]C[解析]∵a、c均为正数，且a≠c，∴a2＋c2>2ac又∵a2＋c2＝2bc，∴2bc>2ac∵c>0，∴b>a，排除A、B、D，故选C．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则()A．a11＝b11 B．a11>b11C．a11<b11 D．a11≥b11[答案]D[解析]∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝eq\f(a1＋a21,2)＝eq\f(b1＋b21,2)≥eq\r(b1b21)＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D．3．若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5) B．eq\f(28,5)C．5 D．6[答案]C[解析]本题考查了均值不等式的应用．由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x))＝eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)＋eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)≥2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＋eq\f(13,5)＝eq\f(12,5)＋eq\f(13,5)＝5，当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)时，得到最小值5.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是()A．RA>RB B．RA＝RBC．RA<RB D．不确定[答案]A[解析]RA＝eq\f(R1＋R2,2)，RB＝eq\f(2R1R2,R1＋R2)，RA－RB＝eq\f(R1＋R2,2)－eq\f(2R1R2,R1＋R2)＝eq\f(R1＋R22－4R1R2,2R1＋R2)＝eq\f(R1－R22,2R1＋R2)>0，所以RA>RB．5．已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为()A．6 B．9C．12 D．18[答案]B[解析]∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，又lga＋lgb＝6，∴lga·lgb≤(eq\f(lga＋lgb,2))2＝(eq\f(6,2))2＝9，故选B．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件[答案]B[解析]由题意知仓储x件需要的仓储费为eq\f(x2,8)元，所以平均费用为y＝eq\f(x,8)＋eq\f(800,x)≥2eq\r(\f(x,8)×\f(800,x))＝20，当且仅当x＝80等号成立．二、填空题7．已知eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案]6[解析]eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)≥2eq\r(\f(6,xy))，∴2eq\r(\f(6,xy))≤2，∴xy≥6.8．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[答案]eq\f(2\r(3),3)[解析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.又∵xy≤(eq\f(x＋y,2))2，∴(x＋y)2≤(eq\f(x＋y,2))2＋1，即eq\f(3,4)(x＋y)2≤1.∴(x＋y)2≤eq\f(4,3).∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).∴x＋y的最大值为eq\f(2\r(3),3).三、解答题9．已知a、b、c∈R，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．[解析]∵eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(a＋b,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．同理eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)(等号在b＝c时成立)．eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(a＋c)＝eq\r(2)(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立)．10．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2).[解析]∵a>0，b>0，∴a＋b≤eq\r(2a2＋b2)，∴(a＋1)＋(b＋1)≤eq\r(2a＋12＋2b＋12)，又∵a＋b＝1，∴3≤eq\r(2a＋12＋2b＋12)，∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立．∴(a＋1)2＋(b＋1)2≥eq\f(9,2).一、选择题1．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))，则有()A．P＝Q B．P≥QC．P≤Q D．P>Q[答案]C[解析]Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))＝eq\r(ab＋cd＋\f(adx,y)＋\f(bcy,x))≥eq\r(ab＋cd＋2\r(abcd))＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝P.2．已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值1[答案]D[解析]∵x≥eq\f(5,2)，∴x－2＞0，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1，等号在x－2＝eq\f(1,x－2)即x＝3时成立．3．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y[答案]D[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y.故选D．4．设a、b是正实数，给出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序号为()A．①③ B．①④C．②③ D．②④[答案]D[解析]∵a、b∈R＋时，a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\f(2\r(ab),a＋b)≤1，∴eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，∴①不恒成立，排除A、B；∵ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(2)>2恒成立，故选D．二、填空题5．建造一个容积为8m3，深为2m[答案]1760[解析]设水池池底的一边长为xm，则另一边长为eq\f(4,x)m，则总造价为：y＝480＋80×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(4,x)))×2＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥480＋320×2eq\r(x×\f(4,x))＝1760.当且仅当x＝eq\f(4,x)即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．6．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________．[答案]3[解析]以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则AB方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，∵x，y∈R＋，∴1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(xy,12))，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9.[解析]证法一：左边＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋eq\f(2,\f(x＋y,2)2)＝9＝右边．当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时，等号成立．证法二：∵x＋y＝1，∴左边＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝(1＋eq\f(x＋y,x))(1＋eq\f(x＋y,y))＝(2＋eq\f(y,x))(2＋eq\f(x,y))＝5＋2(eq\f(y,x)＋eq\f(x,y))≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时，等号成立．8．已知a、b、c∈R＋，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.[解析]∵a、b、c∈R＋，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,