2020-2021高二数学人教版2-2学案：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义含解析3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义［目标]1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则。2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[重点]复数加法与减法的运算法则．［难点］复数加法与减法的几何意义．知识点一复数加法与减法的运算法则［填一填］1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝（a－c)＋(b－d）i。2．对任意z1，z2,z3∈C，则z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？提示:两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．2．若复数z1,z2满足z1－z2〉0,能否认为z1>z2？提示：不能．如2＋i－i〉0，但2＋i与i不能比较大小．知识点二复数加法与减法的几何意义［填一填］如图：设eq\o(OZ1，\s\up16(→)），eq\o(OZ2，\s\up16（→）)分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应,则eq\o(OZ1,\s\up16(→））＝（a，b），eq\o(OZ2，\s\up16(→)）＝（c，d），由平面向量的坐标运算，得eq\o(OZ1,\s\up16（→))＋eq\o（OZ2，\s\up16(→）)＝（a＋c，b＋d).eq\o(OZ1，\s\up16（→))－eq\o（OZ2,\s\up16(→））＝（a－c,b－d)．这说明两个向量eq\o（OZ1，\s\up16(→）)与eq\o(OZ2，\s\up16(→））的和就是与复数（a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，eq\o（OZ1，\s\up16(→))与eq\o(OZ2，\s\up16（→)）的差就是与复数(a－c)＋(b－d）i对应的向量,即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ，\s\up16(→)），与z1－z2对应的向量是eq\o（Z2Z1,\s\up16(→)）.［答一答］3．设复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di（a，b，c,d∈R）对应的向量分别是eq\o(OZ1,\s\up16（→））,eq\o（OZ2，\s\up16（→)),那么向量eq\o(OZ1,\s\up16（→)），eq\o（OZ2，\s\up16(→）)的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？提示：由复数与平面向量的一一对应可知eq\o(OZ1,\s\up16（→）)＝(a，b)，eq\o（OZ2，\s\up16（→)）＝（c，d)，故eq\o（OZ1，\s\up16(→）)＋eq\o(OZ2，\s\up16（→)）＝(a＋c，b＋d）．由复数加法的几何意义可知eq\o(OZ1,\s\up16（→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))即为z1＋z2对应的向量,故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋c,b＋d）．4．从复数减法的几何意义理解：｜z1－z2｜表示什么？提示:表示Z1与Z2两点间的距离．5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满足｜z－(a＋bi)｜＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆．1．对复数加法的理解(1）复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．（2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．（3)复数的加法运算的结果仍然是复数．(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．2．对复数加、减法几何意义的理解（1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则,也可以利用三角形法则．（2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．（3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．（4）利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．类型一复数加减法的运算【例1】计算：(1）(1＋2i）＋(3－4i)－(5＋6i）；(2）5i－［（3＋4i）－（－1＋3i)]；（3）(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R）．【解】（1）（1＋2i)＋（3－4i)－(5＋6i)＝（4－2i）－（5＋6i)＝－1－8i。（2）5i－［(3＋4i)－(－1＋3i）］＝5i－（4＋i）＝－4＋4i.（3)(a＋bi)－（2a－3bi）－3i＝(a－2a）＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋（4b－3）i.1类比实数运算，若有括号,先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行。2算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加。设f(z）＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2)等于（D)A．1－5i B．－2＋9iC．－2－i D．5＋3i解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f（z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.类型二复数加减法的几何意义【例2】如图所示，在平行四边形OABC中,顶点O，A，C分别表示0,3＋2i,－2＋4i。求：（1）eq\o（AO,\s\up16(→))所表示的复数，eq\o（BC，\s\up16（→））所表示的复数；（2）对角线eq\o（CA,\s\up16（→）)所表示的复数；（3）对角线eq\o(OB,\s\up16（→))所表示的复数及eq\o（OB,\s\up16(→）)的长度．【解】（1）因为eq\a\vs4\al(\o(AO,\s\up16(→）))＝0－（3＋2i）＝－3－2i，所以eq\o（AO,\s\up16（→)）所表示的复数为－3－2i。因为eq\o(BC,\s\up16(→））＝eq\o（AO，\s\up16（→)），所以eq\o(BC,\s\up16（→))所表示的复数为－3－2i.（2）因为eq\o(CA,\s\up16(→））＝eq\o（OA，\s\up16(→））－eq\o（OC，\s\up16(→））,所以eq\o（CA,\s\up16（→))所表示的复数为（3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i。（3）因为对角线eq\o（OB,\s\up16（→)）＝eq\o（OA，\s\up16(→）)＋eq\o（AB，\s\up16（→))＝eq\o(OA，\s\up16(→)）＋eq\o(OC,\s\up16（→）),所以eq\o（OB,\s\up16(→)）所表示的复数为(3＋2i)＋（－2＋4i)＝1＋6i,所以|eq\o（OB,\s\up16(→））|＝eq\r（12＋62)＝eq\r（37)。向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据。利用加法“首尾相接"和减法“指向被减数"的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数。注意向量eq\a\vs4\al（\o（AB,\s\up16(→))。）对应的复数是zB－zA终点对应的复数减去起点对应的复数(1)在复平面内，eq\o(AB，\s\up16（→）),eq\o(AC，\s\up16(→)）对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则eq\o(BC,\s\up16（→))对应的复数为(A)A．－1－5i B．－1＋5iC．3－4i D．3＋4i(2)向量eq\o（OA，\s\up16(→））表示的复数为3＋2i，将向量eq\o（OA，\s\up16（→）)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为eq\o（O′A′，\s\up16（→）),分别写出：①向量eq\o（O′A′，\s\up16(→))对应的复数；②点O′对应的复数；③向量eq\o(A′O′,\s\up16（→))对应的复数．解：如右图所示，O为原点，点A的坐标为(3,2）,向上平移3个单位长度再向左平移2个单位长度后，点O′的坐标为(－2,3）．点A′的坐标为（1，5)，坐标平移不改变eq\o（OA，\s\up16（→）)的方向和模．①向量eq\o(O′A′,\s\up16(→））对应的复数为3＋2i；②点O′对应的复数为－2＋3i；③向量eq\o(A′O′，\s\up16（→)）对应的复数为－3－2i.类型三复数加减法的综合运算【例3】设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1,｜z1＋z2|＝eq\r（2),求|z1－z2｜。【解】法1：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R），由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c）2＋(b＋d）2＝2，又(a＋c)2＋（b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，∴2ac＋2bd＝0。∵|z1－z2|2＝（a－c)2＋（b－d）2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴｜z1－z2|＝eq\r(2).法2:作出z1，z2对应的向量eq\o（OZ1，\s\up16（→)），eq\o(OZ2，\s\up16（→）），使eq\o（OZ1,\s\up16（→))＋eq\o（OZ2,\s\up16（→）)＝eq\o（OZ，\s\up16(→）)，∵｜z1｜＝|z2｜＝1，又eq\o(OZ1,\s\up16（→）),eq\o(OZ2,\s\up16（→))不共线（若eq\o（OZ1,\s\up16(→)),eq\o(OZ2,\s\up16(→））共线，则｜z1＋z2｜＝2或0与题设矛盾），∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形，又｜z1＋z2|＝eq\r（2),∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形,故｜z1－z2｜＝eq\r(2).与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A,B,Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB:（1）为平行四边形;(2）若｜z1＋z2|＝｜z1－z2｜，则四边形OACB为矩形；（3）若|z1｜＝|z2|，则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|＝｜z2|且|z1＋z2|＝｜z1－z2|,则四边形OACB为正方形．已知|z1｜＝｜z2|＝|z1－z2|＝1，求｜z1＋z2｜。解：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B,C。∵｜z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长,∴|z1＋z2｜＝｜OC|＝eq\r（｜OA|2＋｜AC|2－2｜OA|｜AC|cos120°)＝eq\r（3）.复数与最值【例4】复数z满足｜z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．【思路分析】利用复数减法的几何意义．【解】因为｜z－1－i|＝1,所以由复数减法的几何意义可知，z对应的点的轨迹是以点（1，1）为圆心,1为半径的圆，而｜z＋1＋i｜则是圆上的点到点（－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i｜min＝eq\r(1＋12＋1＋12）－1＝2eq\r(2）－1。【解后反思】|z－（a＋bi）｜表示复数z对应的点到复数a＋bi对应的点的距离;而|z＋(a＋bi）｜表示复数z对应的点与－a－bi对应的点之间的距离．若z∈C,且|z－1|＝｜z＋1|，则｜z＋1－i｜的最小值是1.解析：∵｜z－1|＝|z＋1｜,∴z对应点的轨迹是虚轴,｜z＋1－i｜表示对应点与（－1,1）的距离，所以｜z＋1－i｜min＝1。1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(B)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋（3－4i)＝（3＋3)＋(4－4)i＝6，故选B.2．若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z等于(D）A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：∵z＋i－3＝3－i,∴z＝(3＋3）＋(－i－i)＝6－2i，故选D.3．设O是原点，向量eq\o（OA，\s\up16（→）)，eq\o(OB，\s\up16（→）)对应的复数分别为2－3i,－3＋2i，那么向量eq\o（BA，\s\up16（→)）对应的复数是5－5i.解析:eq\o(BA，\s\up16（→）)＝eq\o(OA，\s\up16（→）)－eq\o（OB,\s\up16（→））＝(2－3i）－(－3＋2i）＝5－5i,即eq\o(BA，\s\up16（→))对应的复数为5－5i。4．A,B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若｜z1＋z2|＝｜z1－z2｜，则△AOB为直角三角形．解析：由复数的加、