空间曲线曲率和挠率的介绍

关于空间曲线曲率和挠率的介绍第1页，共20页，2023年，2月20日，星期五微分几何的应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。第2页，共20页，2023年，2月20日，星期五给出类曲线得一单位向量，

称为曲线（C）上P

点的单位切向量。

称为曲线在P

点的主法向量,

它垂直于单位切向量。称为曲线在P点的次法向量。把两两正交的单位向量称为曲线在P

点的伏雷内（Frenet)标架。1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架第3页，共20页，2023年，2月20日，星期五3)由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做:密切平面：法平面：从切平面：而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。2)对于曲线（C）的一般参数表示有第4页，共20页，2023年，2月20日，星期五

4）伏雷内（Frenet)公式由定义可得又于是有这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系数组成一反称方阵第5页，共20页，2023年，2月20日，星期五2.空间曲线的曲率，挠率设空间曲线(C)为的，且以s为参数。定义（C）在P点的曲率为

越小就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令则的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。1）曲率第6页，共20页，2023年，2月20日，星期五例.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.第7页，共20页，2023年，2月20日，星期五第8页，共20页，2023年，2月20日，星期五例：

空间曲线，为直线的充要条件是曲率证明：若为直线

其中

都是常向量，

并且

，则

反之,若,则于是所以该曲线是直线.第9页，共20页，2023年，2月20日，星期五2)挠率

与曲率类似有

定义曲线（C）在P点的挠率为挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的旋转速度。挠率恒为零的曲线是平面曲线第10页，共20页，2023年，2月20日，星期五3曲率和挠率的一般参数表示式给出类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式1）曲率第11页，共20页，2023年，2月20日，星期五

由可得挠率公式为第12页，共20页，2023年，2月20日，星期五有曲率近似计算公式则曲率计算公式为二阶可导,设曲线弧说明:若曲线由参数方程给出,则若曲线方程为则若曲线由参数方程给出,则第13页，共20页，2023年，2月20日，星期五4）密切园（曲率园）

过曲线（C）上一点P

的主法线的正侧取线段PC，使PC

的长为1/k。以C

为园心，以1/k为半径在密切平面上确定一个园，这个园称为曲线在P点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。第14页，共20页，2023年，2月20日，星期五曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率相同在点P

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第15页，共20页，2023年，2月20日，星期五例

求圆柱螺线r={acost,asint,bt}(a>0,b>0均为常数)

的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.解

={-asint,acost,b}，

={-acost,-asint,0}，

={asint,-acost,0}.于是

=

=所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.第16页，共20页，2023年，2月20日，星期五.故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为于是曲率圆为第17页，共20页，2023年，2月20日，星期五设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M

处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程