题型09 必考的几类初等函数（对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数）（解析版）

秒杀高考数学题型之必考的几类初等函数（对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数）【秒杀题型四】：对数及对数函数。【题型1】：对数的性质。『秒杀策略』：①两个同底的恒等式：ⅰ.;ⅱ.;=2\*GB3②换底公式：；。=3\*GB3③传递性质：。1.(高考题)的值是_______。【解析】：原式=。2.(高考题)等于()A.0B.1C.2D.4【解析】：原式=，选C。3.(高考题)计算。【解析】：原式=。4.(高考母题)的值是()A.B.1C.D.2【解析】：原式=，选A。5.(高考题)()A.B.C.D.【解析】：原式=，选D。6.(高考母题)若则。【解析】：，，。7.(高考母题)设都是正数，且，那么()A.B.C.D.【解析】：设，，，，，选B。8.(高考题)已知则()A.1B.2C.3D.4【解析】：=1，选A。9.(高考题)设，且，则()A.B.10C.20D.100【解析】：，，，选A。10.(高考母题)证明：。【解析】：由对数传递性，原式左==右。推广：。当前一个对数的真数是后一个对数的底数连续相乘时，结果是以第一个对数的底数为底数，最后一个对数的真数为真数的对数。在对数相乘时，尽量找前一个对数的真数是后一个对数的底数相乘。11.(高考题)设均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A.B. C.D.【解析】：由对数传递性知选B。12.(高考题)已知为正实数，则()A.B.C.D.【解析】：，选D.13.(高考题)已知则=。【解析】：，。14.(高考题)已知，则。【解析】：，原式=4。15.(高考题)已知，，，，则下列等式一定成立的是()A.B.C.D.【解析】：，选B。16.(高考母题)若求的值。【解析】：法一：化为指数式，，原式=。法二：，由对数恒等式知原式=。17.(高考题)若,则。【解析】：法一：化为指数式，，原式=。法二：由对数恒等式知原式=。18.(2020年新课标全国卷=1\*ROMANI8)设，则=()A. B. C. D.【解析】：，，，选B。19.(高考题)已知，若，，则=,=。【解析】：设，，得，，代入得。20.(2021年模拟题精选)________。【解析】：原式=。21.(2020年新课标全国卷=3\*ROMANIII4)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）()A.60 B.63 C.66 D.69【解析】：代入得，两边取对数得：，选C。【题型2】：对数函数及其性质。『秒杀策略』：且()，恒过点，图象恒在轴右边。=1\*GB3①当时，是增函数；当时，是减函数；=2\*GB3②在同一坐标系作出多个对数函数的图象，在第一象限作垂直于轴的直线，交点越靠右，底数越大；秒杀结论：=3\*GB3③确定对数值正负满足两个一致原理：即对数真数与底数范围一致为正，不一致为负，对应区间为：。1.(高考母题)已知则()A.B.C.或D.【解析】：或，或，选C。2.(2010年新课标全国卷11)已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是()A.B. C. D.【解析】：可知，，，即，选C。3.(高考题)已知，函数，若实数、满足,则、的大小关系为。【解析】：，单调递减，。(本题考查了黄金分割点。)4.(高考题)设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则()A.B.2C.D.4【解析】：，，选D。5.(高考题)函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为()A.B.C.2D.4【解析】：与增减性一致，，，选B。6.(2020年新课标全国卷=1\*ROMANI12)若，则()A.B.C.D.【解析】：构造函数，为增函数，，，，。7.(2021年模拟题精选)若函数（，且）的定义域和值域均为，则的值为()A.或4B.或C.或8D.或16【解析】：，①当时，，有，得，解得，由，解得；②当时，，有，得，解，代入，解得，选B。8.(高考题)若,,则()A.,B.,C.,D.,【解析】：由秒杀结论一致性原理知，，选D。9.(高考题)若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】：，由秒杀结论一致性原理知，，选C。10.(高考题)如果则()A.B.C.D.【解析】：由秒杀结论一致性原理知，由底数越小则对数越大知，选A。11.(高考题)若点在的图象上，，则下列点也在此图象上的是()A.B.C.D.【解析】：，代入知选D。12.(高考题)已知，且，若，则()A. B.C. D.【解析】：从图象可得或，选D。【秒杀题型五】：幂函数。『秒杀策略』：高考只考查当时的五种函数，其中是我们初中非常熟悉的三个函数，所以我们只需熟记两个函数即可，我们要熟练掌握其图象、单调性、奇偶性。1.(高考题)设函数则。【解析】：分别代入到三个幂函数中得。2.(高考题)给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】：分别画出图象可知选B。3.(高考题)若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则＝。【解析】：当时，，，为减函数；当时，，，符合题意。【秒杀题型六】：对勾函数（因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。）、双刀函数。『秒杀策略』：对勾函数：一般式：(、)。性质：=1\*GB3①定义域：；=2\*GB3②奇偶性：奇函数；=3\*GB3③单调区间：单调递增区间：，，单调递减区间：，；=4\*GB3④值域：，当且仅当，即时取到最大、最小值。双刀函数：一般式：(、异号)。性质：=1\*GB3①定义域：；=2\*GB3②奇偶性：奇函数；=3\*GB3③单调区间：当、时，在单调递增；当、时，在单调递减；1.(高考题)函数的图象大致是()【解析】：等价于分段函数：，选D。2.(高考题)已知函数，若且，则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】：，(舍去)或，，选C。3.(高考题)若,则的最小值为。【解析】：对勾曲线或基本不等式可求得。4.(高考题)函数=的最大值为()A. B. C.D.1【解析】：，分母最小值为2，则最大值为，选B。5.(高考题)已知则有()A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1【解析】：，由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是1。6.(高考题)设函数则()A.有最大值B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【解析】：由图象可知有最大值，选A。7.(高考题)下列函数中，在区间上为增函数的是()A.B.C.D.【解析】：A为增函数，B为减函数，C为减函数，D为先减后增函数，选A。8.(高考题)已知函数在时取到最小值，则。【解析】：当时，，。9.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系中，