命题及其关系、充分条件与必要条件-知识点与题型归纳

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●高考明向1.理解题的概念．2.了解“若p，则”形式的命的逆命、否命题逆否命题，分析四种命题的互关系3.理解分条件、必要条与充要件的含义.★备考考情常用逻用语是新课高考命的热点之一，考查形以选择题主，试多为低档题，命题的点主要两个：一是命及其四种形主要考命题的四种式及命题的真判断；二是以数、数列、等式、体几何中的面关系为背景查充要条件判断，这是年高命题的中之重．命题的热点是利用关或条求解参范围问题考查考生的向思维.一、知梳理《名师一号》P4知识点命题及四命题、命题的概念在数学用语言、符或式子达的，可以判断真的陈述叫做命题．中判断为真语句真命题判断为假语句叫命题．注意：命题必是陈述句疑问句、使句、叹句都不是题。．四种命题及其关系(1)四种命间的相互关．(2)四种命的真假关系①两个题互逆否命，它们相同的真性②两个题为互逆命题否命题它们真假性关

注意：(补充、一个命题不可能同时是真命又是命题、常见词语的否定原词语等于（=大于（）小于<）否定词不等于不大不小于语（≠）（≤）（≥）原词语都是至多有个至多有n个否定词不都是至少两个至少有n+1

是不是或且语

个原词语至少有一任意两个所有的个

任意的否定词

一个也

某两个

某些

某个语

有知识点充分条件必要条、充分条件与必要条件概念（1）充条件：pq则p是的分条件即只要条件

就能充地保证结论q成立，亦即要q成立，有

成立就够了，即它即可（2）必条件：pq则是的要条件pq即没有则没有

亦即是p成的必须有的条件即它不可(充（3）要条件pqp即p则

、互要条件（是充分是必条件）“

是的要条件”也成“价于q”、“且仅当

”等(充2、充要关系的型（1）充但不必条件定义：

pq但q

，则

是的分但不要条

（2）必但不充条件定义：

q

，但p

，

AABq

的要但不分条（3）充条件定义：，，即p则

互为要条件（4）既充分也必要条件定义：

p且则

互为不充分不必要件．、判断充要条件的方法《名师号》P6

特色专题①定义；②集合法③逆否（等价转换）．逆否法-利用互逆否的个命题的等性集合法---利用合的观概括充分必条件若条件以集合A形式出现，论以集合B的形式现，则借助合知识有助于充要件的理和判断（1）若A则p是的充分不必要件（2）若，则的必要但不充分条件（3）若，则是的充要条件（4）若A则是的不必要也不分条件(充简记作若A、具有包关系，（1）小围是大围的充但不必要条（2）大围是小围的必但不充分条二、例分析（一）种命题及其互关系例1.(1)《名师一号》P4对点自测命题“若x，y都是偶数则x＋y也是偶数”的逆命题是()A若xy是偶数，x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数则x与y都是偶数C．若xy不是偶数则x与y不都是数D．若x＋y不是偶数则x与y都不偶数答案

C例1.(2)《名师一号》P5高频考点例1

22下列命中正确的是()①“若a≠0，ab≠0”否命；②“正多边形都相似的逆22③“若m>0，x

＋x－m＝有实根”逆否题；④“若x－

12

是有理，则x是无理”的逆命题．A．②③④B．③④．③D．④解析:①中命题为“a＝0，则ab＝0”，确；②中命题不确；③中Δ＝＋4m，当m时，Δ>0，原命题正，故其逆命题正确；④中命题正故逆否命题确．答案B注意：名师一》P5高频考点例1规律法在断四个命题间的关时首先要清命的条件结论，再较每个命题条件与论之间的关．要意四种命题系的相性，一旦一个题定为原命题也就相应的了它的“逆命”“命题”“逆否命”；判定命为真命题时进行推判定命为假命题时需举出例即可．对涉及学概念的命的判定从概念本身手．例1.(3)《名师一号》P4对点自测(2014·陕西)原命题为“若，z互为轭复数则|z＝|z|”，关于其命题，否命，逆否题真假性的判断次如下，正的是()A真，，真B．假假，真C．真真，假D．假假，假解析易知原命为真命，所以逆否题也为真，设z＝＋4i，z＝4＋3i，有|z|＝||，但是z与z不是共轭复数所以逆题为假，同时否题也为假．注意：名师一》P5问题探究问题2四种命间关系的两规律(1)逆命题否命题互为否命题

互为逆否命题的两个命题同真假．

．．．．．(2)当判断个命的真假较困时，．．．．．可转化判断它的逆命题的假．同时要注“特法”的应．例．(补)（2011山东文5)已a，，c∈R，命题“若=3，则a222”的否命题是）(A)若a+b+c≠3，则(B)a+b+c=3，

(C)若a+b+c≠3，则

(D)a

则a+b+c=3【答案A【解析命题“若则”的命题是“若，则”例．(补)命题：“若xy，或y”否定是：【答案若xy，则且y【解析命题的否定改变命的结论。注意：命题的定与命题的区别（二）要条件的判与证明例1.(1)(补充)（湖北）已pr的充分件而不必要条，q是r的充分条件s是r的必要条件，是s的必要件。现有下命题：s是q的充要条件；②是的分条而不是要条；③r是q的要条而不是充条件；④是的必条件而是充分条件⑤r是s的充分件而不必要条件，正确命序号是（A.①⑤B.①④C.②③⑤D.④⑤答案:Ｂ

pr

q

注意：1利用定义判充要条

nnnnnnnnU《名师号》P6特色专题方一定nnnnnnnnU定义法是将要条件判断转化为个命题“p，则q”与“若q，p”的判断，根据两命题是否正，来确p与q之间充要关系．pqq的充分件；q的必要件、利用逆否法判断充要件《名师号》P6特色专题方三等转化法当所给题的充要条不好判时，可利用种命题的关，对命题进等价转．常利用原题与逆题的真来判断p与q的关系令p为命题的条，q为命题结论，具体应关系下：①如原命题而逆命题假那么p是q的充分不必条件；②如原命题而逆命题真那么p是q的必要不充条件；③如原命题且逆命题真那么p是q的充要条件④如原命题且逆命题假那么p是q的既不充分不必要件．简而言,逆法----利用互为逆否的个命题等价例1.(2)《师一号P6特色专题例1(2014·京卷)设{}公比为q的等比数列则“q>1”是{}递增数”的()A充分不必要件B．必而不充条件C．充必要条D．既充分也必要条件【规范答】若q，则a＝－1时，a＝－qn，{a}递减数列，所“q”“{a}为递增数”；1若{a}递增数，则a＝－时，a＝－，q即“{a}递增数列/“q”故选D.例1.(3)《师一号P6特色专题例2(2014·湖北)设为全集．，B是集合则“存集合C使得AC，B”是“A∩B”的()A充分不必要件B．必要而不分条件C．充条件D．既充分也必要条件

UUABq【规范答】如图可，存在合C，使AC，B∁C则有A∩B＝.若A＝显然存集合C.满足ACUUABq例1.(4)《名师一号》P4对点自测已知：－k<0，q：函数y＝kx2－kx－的值恒为负则p是q成立的)A充分必要条B．必要不充分件C．充条件D．既充分也必要条件解析:－4<k<0k，＝k＋4k<0，数y＝－kx－1的值恒为负，反之不定有－4<k，如＝0时，函ykx2－kx－1的值恒为负，p，而qp.可用定或集合法注意：、利用合法断充要条件《名师号》P6特色专题方二集法涉及方的解集、不式的解、点集等与合相关的命时，一般采集合间包含关系来定两命之间的要性．具体应关系下：若条件以集合A形式出现，论以集合B的形式现，则借助合知识有助于充要件的理和判断（1）若A则p是的充分不必要件（2）若，则q的必但不充条件（3）若，则是的充要条件（4）若A则是的不必要也不分条件(充简记作若A、具有包关系，（1）小围是大围的充但不必要条（2）大围是小围的必但不充分条例2.《名一号》高频考点例3

pqlogxx>0函数f(pq2－a，x

有且只一个零点的充分不要条件是()Aa≤0或aB．a<<a<1D．a<0logx，x，解析:因f(x)＝2x－，x

有且只一个零点的充要条为a或a>1.由选项可知，“a≤0或a>1”立的充分件为选项D.注意：名师一》P5高频考点例3规律法有关探充要条件的择题，题关键是：首先，断是选“推题干，是题干“推”选项其次，用以小推大技巧，可得结论．务必审题，明确“是条件！此题选是条件！练习：(补充已知p:

且

，

xy

，则

是的条件。答案:不充分件也不必要件例3.《名一号》特色专题例3已知命：关于x的方程4x

－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有个子集，命q：－m≤x，，若是的必要不充分件，实数m的取值范围．【规范答】∵是必要不充分件，∴p是q的充分不要条件．对于命p，依题意知Δ＝(－2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－，∴－≤a≤10，令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，由题意PQ，∴

m>0，－m<－，＋m≥10

或

m>0，－m－，＋，

解得≥9.此实数m的取值范围{≥9}．注意：(补充凡结合知条件求参数的取值范是求满条件的等价件即充条件练习：(补充

令aaa已知:q:1(若必要但不分条件令aaa

.求实数的取值范围．解：的必要但不充分件即等价于即是的充但不必条件xBm0)则A解得1所以实m的取范围是注：AB的真子集，须保

1中的等不同时取得例4.(补充求证：于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少一个根的充要条是a证明：分性a＝时，方程为2x＝0的根为x－，方程一个负，符题意．当a时，＝4－a>0，方程ax2

＋x＝有两个不相的实根，且<0，方程有一正负根，符合意．当a≤1时，＝4－4a≥0方程ax2

＋x＝0有实根，且

－>0

，故方程两个负根，合题意综上：a时，方ax2根．

＋2x＋＝至少有一个负必要性若程ax2

＋2x＋＝0至少有一个根．

aaa当a0时，方为x＋符合题意．aaa当a≠0时，程ax＋2x＋＝0应有一正负根或两个负．则<0或

Δ＝4－4a≥0－

.解得或0<a≤1.综上：方程ax2

＋x＋10至少有一负根，则a

12、R,且x恒有12121别证明分性（）和必性（）故关于x的方12、R,且x恒有12121别证明分性（）和必性（）注意：(补充证明充条件务必确充分性和必要性并分别予证明练习：(补充已知

f()

是定义R上的函数，求证：

f(