北师大版选择性必修第一册3.2.2.3空间向量的数量积作业

2.2.3空间向量的数量积选题明细表知识点、方法题号空间向量的数量积1,3,5,7,12投影向量与投影数量10空间向量数量积的应用2,4,6,8,9,11基础巩固1.下列式子中正确的是(D)A.|a|·a=a2 B.(a·b)2=a2·b2C.(a·b)c=a(b·c) D.|a·b|≤|a||b|解析:|a|·a是与a共线的向量,a2是实数,故A错误;(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>≠a2·b2,故B错误;(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故C错误.|a·b|=||a|·|b|·cos<a,b>|≤|a|·|b|,故D正确.故选D.2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(B)A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD→·CDA.-a322 B.-a342 C.a342 解析:BD→·CD→=(AD→-AB→)·(-AB→)=-AB→·AD→a2=32a24.已知|a|=1,|b|=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(B)A.30° B.45° C.135° D.60°解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=1-1×2×cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=22因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.故选B.5.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则A1B→·B1解析:A1B→·B1C|A1B→||A1D2a·2a·cos60°=a2.答案:a26.(2021·山东胶州期中)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,AB=2,AD=2,AA1=3,AC与BD相交于点O,则OA1=.?解析:由图可得,OA1→=AA1→-AO→=AA1→-12[AA1→-12(AD→+AB→)]2=AA1→2+AB→+12AB→·AD→=9+14×4+14×4-3×2×12-3×2×12+12×2×2×答案:6能力提升7.(多选题)(2021·广东佛山高中期中)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论正确的是(BC)A.=AB→B.AB→·BCC.AA1→D.AC1→解析:如图所示,由图形知,因为AB→=-CD→,CD→所以AB→=-C因为AB→⊥BC→,所以AB→因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,所以AA1→因为四边形AA1C1C是矩形,所以AC1与A1C不垂直,则AC1→8.(多选题)(2021·广东广州番禺区期中)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=45°,∠BAD=60°,则(CD)A.AD1→∥(BB.(A1A→+A1D1C.AC1→·(AD.|AC解析:对于A,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,有B1B→+BC→=B1C→,所以(对于B,A1A→+A1D1→-A1B→=A1D→-A1B→=BD→对于C,AC1→·(A1B1→-AD→)=(AB→+AD→+AA1(AB→-AD→)+AA1→·由题知,AB=AD=1,AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=45°,∠BAD=60°,所以AC1→·(A1B1→-AD→)=AB→2-对于D,AC→=AB→+AD→,AC1→=AC→+AAC1→2=(AB→+=|AB→|2+|AD→|2+|AA1→|2+2AB→·AD→+2=1+1+2+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos45°+2×1×2×cos45°=9.所以|AC→9.(2022·山东菏泽期末)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=AB→·APi解析:由图象可知,APi→=AB→+BPi→,则AB→·APi→=AB→因为棱长为1,AB⊥BPi,所以AB→·BPi→=0,所以AB→·APi故集合{y|y=AB→·A答案:110.(2022·山东日照一中月考)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,CB⊥AB,AB=BC=a,PA=b.(1)确定PC→在平面ABC上的投影向量,并求PC→·(2)确定PC→在AB→上的投影向量,并求PC→解:(1)因为PA⊥平面ABC,所以PC→在平面ABC上的投影向量为AC因为PA⊥平面ABC,AB?平面ABC,可得PA⊥AB,所以PA→·AB因为CB⊥AB,所以BC→·AB所以PC→·AB→=(PA→+AB→+BC→)·AB→=PA→·AB→+AB→0=a2.(2)由(1)知PC→·AB→=a2,|所以PC→在AB|PC→|·cos<PC→,AB→>·AB→|AB→|=|PC→|a2a·AB→由数量积的几何意义可得PC→·AB→=|AB→|·|AB11.(2021·北京八一学校月考)如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求|AC(2)求AA1→解:(1)由图可得AC1→=AA1→+A1所以|AC1→|2=22+12+12+2×2×1×cos120°+2×1×1×2×2×1×cos120°=4+1+1-2-2=2,则|AC1→(2)因为BD→=AD→-所以AA1→·BD→=AA1→·(AD→-AB→)=AAcos120°-2×1×cos120°=0.应用创新12.(2022·山东济宁育才中学期中)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:a×b规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图1);③|a×b|=|a||b|sin<a,b>.如图2,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列结论错误的是(C)A.AB→×AD→B.长方体ABCDA1B1C1D1的体积V=(AB→×AD→)·C.AB→×AD→=ADD.(AB→+AD→)×AA1→=AB→解析:对于A,AA1→同时与AB→,AD→垂直,A手系,且|AB→×AD→|=|AB→||AD→|sin<AB→,AD→>=2×2所以|AB→×AD→|=|AA1→|,故AB题意;对于B,长方体ABCDA1B1C1D1的体积为2×2×4=16,又因为(AB→×AD→)·CC1→=AA1ABCDA1B1C1D1的体积V=(AB→×AD→)·对于C