北师大版必修第二册6-2直观图学案

5.2直观图新课程标准学业水平要求1.掌握斜二测画法的步骤．2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.1.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图(直观想象)2．会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．(直观想象)3．会根据斜二测画法规则进行相关运算．(直观想象、数学运算)课前篇·自主学习预案1.斜二测画法的步骤(1)画轴：_________________________________________________________________.(2)画线：_________________________________________________________________.(3)取长度：_______________________________________________________________.斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：___________________________________.2.空间几何体直观图的画法步骤(1)画轴：_________________________________________________________________.(2)画平面：_______________________________________________________________.(3)取长度：_______________________________________________________________.(4)成图处理：_____________________________________________________________.答案：1.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半横不变，纵折半，平行位置不改变2.(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴(2)平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线课堂篇·研习讨论导案研习1平面图形直观图的画法[典例1](1)(2020·冀州高一检测)利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中正确的是()A．①②B．①C．③④ D．①②③④(2)斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(3)用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．[自主记](1)[答案]A(2)[答案](4,2)[解析]在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′，即(4,2).(3)[解]第一步：如图①所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的是x轴，分别过B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与x轴分别交于点G，H.画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.第二步：如图②所示，以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过G′，H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴使G′B′＝eq\f(1,2)GB，作H′E′∥y′轴使H′E′＝eq\f(1,2)HE，在y′轴的点O′上方取O′A′＝eq\f(1,2)OA，在y′轴的点O′下方取O′F′＝eq\f(1,2)OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图，如图③所示．①②③[巧归纳]直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴的线段．(2)平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的eq\f(1,2).研习2空间图形直观图的画法[典例2]画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图．[自主记][解](1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝eq\f(\r(3),2).连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图，如图②. ① ②[巧归纳]画空间几何体的直观图的三个原则(1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．(2)要先画出底面的直观图，然后再画出其余各面．(3)与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变．研习3直观图的还原与计算问题[典例3]如图是四边形的直观图，该直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四边形的面积.[解]取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝eq\r(2).再建立一个直角坐标系xBy，如图所示．在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋eq\r(2)，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq\r(2)，高AB＝2，所以四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq\f(1,2)×2×(1＋1＋eq\r(2))＝2＋eq\r(2).[延伸探究]1.(变换条件)若本例条件“直观图”改为“实际图形”，其他条件不变，求直观图的面积．2.(变换条件)若将本例条件“该直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°”改为“该直观图中A′B′＝A′D′＝1，且A′B′⊥B′C′，∠C′＝45°”，求原四边形的周长．[自主记]1.解：以B′C′为x轴，点B′为原点建立如图①所示的坐标系．①②因为上底及腰长均为1，且∠B′＝∠C′＝45°.作A′E′⊥B′C′，D′F′⊥B′C′，则B′E′＝F′C′＝eq\f(\r(2),2)＝A′E′＝D′F′.又E′F′＝1，所以B′C′＝eq\r(2)＋1.作出其直观图，如图②所示．则AE＝DF＝eq\f(\r(2),4)，∠AEF＝45°，过A作AG⊥BC于G.则AG＝eq\f(1,4)，所以四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)AG·(AD＋BC)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×(1＋1＋eq\r(2))＝eq\f(1,8)×(2＋eq\r(2))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),8).2.解：因为A′B′⊥B′C′且A′B′＝A′D′＝1，连接B′D′，则∠D′B′C＝45°，如图①所示，取B′D′为y′轴，B′C′为x′轴，作D′E′⊥B′C′，又∠C′＝45°，故B′E′＝E′C′＝D′E′＝1，B′D′＝eq\r(2). ① ②作出实际图形ABCD，如图②所示．则在原四边形中，BD＝2eq\r(2)，BC＝2，AD＝1，在Rt△BCD和Rt△ABD中，由勾股定理，得DC＝2eq\r(3)，AB＝3，所以原四边形的周长为1＋3＋2＋2eq\r(3)＝6＋2eq\r(3).达标篇·课堂速测演习1.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD.与z′轴成45°且大小为5cm答案：A解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.2.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积为()A．14 B．10eq\r(2)C．28 D．14eq\r(2)答案：C解析：∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝eq\f(1,2)×(2＋5)×8＝28.3.利用斜二测画法画边长为1cm的正方形的直观图，可能是下面的()答案：C解析：正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C．4.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2答案：D解析：S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(6),16)a2.5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．答案：36eq\r(2)解析：在直观图中，设B′C′与y轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq\r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).6.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________．答案：2＋eq\f(\r(2),2)解析：过A作AE⊥BC，垂足为E.∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋eq\f(\r(2),2)，高为2，∴原平面图形的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).7.如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图②所示．①②[误区警示]直观图还原平面图形时易发生的错误[示例]已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[错解]如图①(正解中)，解法一：S△ABC＝eq\f(1,2)B′C′·A′O′＝eq\f(\r(3),4)a2.解法二：∵O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，∠A′M′B′＝45°，∴A′M′＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),2)a＝eq\f(\r(6),4)a2.[错因分析]错解中的解法一，误把A′O′作为△ABC的高，属于不理解画法，思维混乱．错解中的解法二，虽然计算出了A′M′，但忽略△ABC的高AM＝2A′M′，属不能正确变换或粗心马虎所致.[正解]平面直观图及实际图形分别如图①和②.取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′的中点O′且与x′轴正方向成45°角的直线为y′轴．过点A′作A′N′∥O′x′，交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，连接O′A′.在Rt△A′O′M′中，∵O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，故A′M′＝eq\f(\r(6),2)a.∴O′N′＝eq\f(\r(6),2)a.在平面直角坐标系中，在x轴上点