《匀变速直线运动的规律》教学设计【高中物理必修1】

匀变速直线运动的规律(一)[学习目标定位]1.掌握并会推导匀变速直线运动的速度公式、位移公式，会应用公式进行分析和计算.2.理解各公式中各物理量的物理意义及符号的确定.3.知道匀变速直线运动的v－t图像特点，理解图像的物理意义，会根据图像分析解决问题．知识储备区一、初速度为零的匀变速直线运动图11．速度公式：vt＝at.2．位移公式：s＝eq\f(1,2)at2.3．速度—时间图像如图1所示(1)图线的斜率表示物体运动的加速度．(2)图线下方三角形面积表示t时间内的位移．二、匀变速直线运动的规律1．速度公式：vt＝v0＋at.2．位移公式s＝v0t＋eq\f(1,2)at2.学习探究区一、初速度为零的匀变速直线运动[问题设计]自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动的特例，请你根据自由落体运动的速度公式和位移公式写出初速度为零的匀变速直线运动的一般规律．答案自由落体运动的速度公式为vt＝gt，位移公式为h＝eq\f(1,2)gt2，若初速度为零的匀变速直线运动的加速度为a，则速度公式为vt＝at，位移公式为s＝eq\f(1,2)at2.[要点提炼]初速度为零的匀变速运动，其瞬时速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比．即：1．速度公式：vt＝at.2．位移公式：s＝eq\f(1,2)at2.二、匀变速直线运动的规律及其图像[问题设计]1．设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫做初速度)，加速度为a，经过的时间为t，求t时刻物体的瞬时速度．答案由加速度的定义式a＝eq\f(vt－v0,t)，整理得：vt＝v0＋at.2．一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t图像如图2所示．已知物体的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t，末速度为vt.图2请根据v－t图像和速度公式求出物体在t时间内的位移(提示：v－t图像与t轴所围“面积”表示位移)．答案v－t图线下梯形的面积表示位移S＝eq\f(1,2)(OC＋AB)×OA把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成s＝eq\f(1,2)(v0＋vt)t①又因为vt＝v0＋at②由①②式可得s＝v0t＋eq\f(1,2)at2[要点提炼]1．匀变速直线运动的规律(1)速度公式：vt＝v0＋at.(2)位移公式：s＝v0t＋eq\f(1,2)at2.2.由匀变速直线运动的v－t图像可获得的信息(如图3所示)图3(1)由图像可直接读出任意时刻的瞬时速度，图像与纵轴的交点(截距)表示初速度．(2)图线的斜率表示物体运动的加速度．(3)图线与横轴所包围的“面积”表示位移大小．典例精析一、匀变速直线运动规律的应用例1一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2m/s2，求：(1)第5s末物体的速度多大？(2)前4s的位移多大？(3)第4s内的位移多大？解析(1)第5s末物体的速度由v1＝v0＋at1得v1＝0＋2×5m/s＝10m/s(2)前4s的位移由s1＝v0t＋eq\f(1,2)at2得s1＝0＋eq\f(1,2)×2×42m＝16m(3)物体第3s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3m/s＝6m/s则第4s内的位移s2＝v2t3＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,3)＝6×1m＋eq\f(1,2)×2×12m＝7m答案(1)10m/s(2)16m(3)7m针对训练1由静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1s内的位移为2m．关于该物体的运动情况，以下说法正确的是()A．第1s内的平均速度为2m/sB．第1s末的瞬时速度为2m/sC．第2s内的位移为4mD．运动过程中的加速度为4m/s2答案AD解析由直线运动的平均速度公式eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)知，第1s内的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(2m,1s)＝2m/s，A对．由s＝eq\f(1,2)at2得，加速度a＝eq\f(2s,t2)＝eq\f(2×2,1)m/s2＝4m/s2，D对．第1s末的速度vt＝at＝4×1m/s＝4m/s，B错．第2s内的位移s2＝eq\f(1,2)×4×22m－eq\f(1,2)×4×12m＝6m，C错．题组二对v－t图像的理解及应用例2图4是直升机由地面起飞的速度图像，试计算直升机能到达的最大高度及25s时直升机所在的高度是多少？图4解析首先分析直升机的运动过程：0～5s直升机做匀加速运动；5s～15s直升机做匀速运动；15s～20s直升机做匀减速运动；20s～25s直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t轴上方梯形的面积，即S1＝600m．25s时直升机所在高度为S1与图线CE和t轴所围成的面积S△CED的差，即S2＝S1－S△CED＝(600－100)m＝500m.答案600m500m针对训练2质点做直线运动的v－t图像如图5所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为()图5A．0.25m/s；向右 B．0.25m/s；向左C．1m/s；向右 D．1m/s；向左答案B解析由题图得前8s内的位移s＝[eq\f(1,2)×3×2＋eq\f(1,2)×5×(－2)]m＝－2m，则平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)＝eq\f(－2,8)m/s＝－0.25m/s，负号表示方向向左．B正确．课堂要点小结1．掌握匀变速直线运动的基本规律：(1)速度公式：vt＝v0＋at(2)位移公式：s＝v0t＋eq\f(1,2)at2注意上述三个公式中s、v0、vt、a均具有方向性，应用公式解题时首先应选定正方向，然后再确定各量的正、负，一般取v0方向为正方向．2．会分析v－t图像(1)由图像可知任意时刻的瞬时速度，纵截距表示物体的初速度．(2)图线的斜率表示物体的加速度．(3)图线与t轴所围的面积表示位移大小.自我检测区1．(速度公式的理解及应用)物体做匀加速直线运动，已知第1s末的速度是6m/s，第2s末的速度是8m/s，则下面结论正确的是()A．物体零时刻的速度是3m/sB．物体的加速度是2m/s2C．任何1s内的速度变化都是2m/sD．第1s内的平均速度是6m/s答案BC解析物体做匀加速直线运动，由已知可求出a＝2m/s2，则初速度为4m/s；第1s内的平均速度应小于6m/s.2．(位移公式的理解及应用)某质点的位移随时间变化的关系是s＝4t＋4t2，s与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是()A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s2C．2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s答案BC解析将位移随时间变化的关系与位移公式s＝v0t＋eq\f(1,2)at2相对照即可判定v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确．把t＝2s代入公式可得s＝24m，C正确．由于vt＝v0＋at，即vt＝4＋8t，把t＝2s代入可得vt＝20m/s，D错误．3．(v－t图像求位移)某物体运动的v－t图像如图6所示，根据图像可知，该物体()图6A．在0到2s末的时间内，加速度为1m/s2B．在0到5s末的时间内，位移为10mC．第1s末与第3s末的速度方向相同D．第1s末与第5s末加速度方向相同答案AC解析在0到2s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(2,2)m/s2＝1m/s2，故A正确.0到5s末的时间内物体的位移等于梯形面积s＝(eq\f(1,2)×2×2＋2×2＋eq\f(1,2)×1×2)m＝7m，故B错误．第1s末图像在时间轴上方，速度为正，第3s末速度图像也在时间轴上方，速度也为正，故方向相同，故C正确．第1s内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5s内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1s内与第5s内物体的加速度方向相反，故D错误．4．(位移与时间关系的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为s，则它从出发开始经过eq\f(s,4)的位移所用的时间为()A.eq\f(t,4)B.eq\f(t,2)C.eq\f(t,16)D.eq\f(\r(2),2)t答案B解析由位移公式得s＝eq\f(1,2)at2，eq\f(s,4)＝eq\f(1,2)at′2，所以eq\f(t2,t′2)＝4，故t′＝eq\f(t,2)，B正确．学案4匀变速直线运动的规律(二)[学习目标定位]1.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义.2.会用公式veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as进行分析和计算.3.掌握三个平均速度公式及其适用条件.4.会推导Δs＝aT2并会用它解决相关问题．学习探究区一、速度位移公式的推导及应用[问题设计]我国第一艘航空母舰“辽宁号”已有能力同时起飞3架歼15战机，如图1为辽宁舰上3个起飞点示意图，1、2号位置为短距起飞点，起飞线长105米；3号位置为远距起飞点，起飞线长195米．如果歼15战机起飞速度为50m/s，起飞时航母静止不动，且不使用弹射系统，则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少？(设跑道水平)图1答案根据vt＝v0＋at①s＝v0t＋eq\f(1,2)at2②由①得t＝eq\f(vt－v0,a)③把③代入②得s＝v0eq\f(vt－v0,a)＋eq\f(1,2)a(eq\f(vt－v0,a))2整理得：veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as将v0＝0，vt＝50m/s，s＝195m代入上式得：a≈6.41m/s2.[要点提炼]1．匀变速直线运动的速度位移公式：veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．若v0方向为正方向，则：(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．(2)位移s>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，s<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．2．两种特殊情况(1)当v0＝0时，veq\o\al(2,t)＝2as.(2)当vt＝0时，－veq\o\al(2,0)＝2as.3．公式特点：该公式不涉及时间．二、中间时刻的瞬时速度与平均速度[问题设计]一质点图2做匀变速直线运动的v－t图像如图2所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为vt.(1)这段时间内的平均速度(用v0、vt表示)．(2)中间时刻的瞬时速度veq\f(t,2).(3)这段位移中间位置的瞬时速度veq\f(s,2).答案(1)因为v－t图像与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为s＝eq\f(v0＋vt,2)·t①平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)②由①②两式得eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋vt,2)(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2).(3)对前半位移有veq\f(s,2)2－veq\o\al(2,0)＝2aeq\f(s,2)对后半位移有veq\o\al(2,t)－veq\f(s,2)2＝2aeq\f(s,2)两式联立可得veq\f(s,2)＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,t),2))[要点提炼]1．中间时刻的瞬时速度veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2).2．中间位置的瞬时速度veq\f(s,2)＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,t),2)).3．平均速度公式总结：eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)，适用条件：任意运动．eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋vt,2)，适用条件：匀变速直线运动．eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)，适用条件：匀变速直线运动．注意对匀变速直线运动有eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2).[延伸思考]在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度veq\f(t,2)与中间位置的瞬时速度veq\f(s,2)哪一个大？答案如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t′对应，故有veq\f(s,2)>veq\f(t,2).三、重要推论Δs＝aT2的推导及应用[问题设计]物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为s1，紧接着第二个T时间内的位移为s2.试证明：s2－s1＝aT2.答案证明：设物体的初速度为v0自计时起T时间内的位移s1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2①在第二个T时间内的位移s2＝v0·2T＋eq\f(1,2)a(2T)2－s1＝v0T＋eq\f(3,2)aT2.②由①②两式得连续相等时间内的位移差为Δs＝s2－s1＝v0T＋eq\f(3,2)aT2－v0T－eq\f(1,2)aT2＝aT2，即Δs＝aT2.[要点提炼]1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝aT2.2．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δs＝s2－s1＝s3－s2＝……＝sn－sn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．(2)求加速度利用匀变速直线运动中连续相等时间内的位移差Δs，可求得a＝eq\f(Δs,T2).典例精析一、速度与位移关系的简单应用例1A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则sAB∶sBC等于()A．1∶8B．1∶6C．1∶5D．1∶3解析由公式veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as，得veq\o\al(2,t)＝2asAB，(3v)2＝2a(sAB＋sBC)，联立两式可得sAB∶sBC＝1∶8.答案A二、eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)的灵活运用例2一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s，4s内位移为20m，求：(1)质点4s末的速度；(2)质点2s末的速度．解析解法一利用平均速度公式4s内的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)＝eq\f(v0＋v4,2)，代入数据解得，4s末的速度v4＝8m/s2s末的速度v2＝eq\f(v0＋v4,2)＝eq\f(2＋8,2)m/s＝5m/s.解法二利用两个基本公式由s＝v0t＋eq\f(1,2)at2得a＝1.5m/s2再由vt＝v0＋at得质点4s末的速度v4＝(2＋1.5×4)m/s＝8m/s2s末的速度v2＝(2＋1.5×2)m/s＝5m/s答案(1)8m/s(2)5m/s针对训练一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图像如图3所示，那么0～t和t～3t两段时间内()图3A．加速度大小之比为3∶1B．位移大小之比为1∶2C．平均速度大小之比为2∶1D．平均速度大小之比为1∶1答案BD解析两段的加速度大小分别为a1＝eq\f(v,t)，a2＝eq\f(v,2t)，A错．两段的平均速度eq\x\to(v)1＝eq\x\to(v)2＝eq\f(v,2)，C错，D对．两段的位移s1＝eq\f(1,2)vt，s2＝vt，B对．三、对Δs＝aT2的理解与应用例3做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4s的时间间隔内通过的位移分别 是48m和80m，则这个物体的初速度和加速度各是多少？解析解法一根据关系式Δs＝aT2，物体的加速度a＝eq\f(Δs,T2)＝eq\f(80－48,42)m/s2＝2m/s2.由于前4s内的位移48＝v0×4＋eq\f(1,2)a×42，故初速度v0＝8m/s.解法二设物体的初速度和加速度分别为v0、a.由公式s＝v0t＋eq\f(1,2)at2得：前4s内的位移48＝v0×4＋eq\f(1,2)a×42前8s内的位移48＋80＝v0×8＋eq\f(1,2)a×82解以上两式得v0＝8m/s，a＝2m/s2解法三物体运动开始后第2s、第6s时的速度分别为：v1＝eq\f(s1,T)＝eq\f(48,4)m/s＝12m/s，v2＝eq\f(s2,T)＝20m/s故物体的加速度a＝eq\f(v2－v1,Δt)＝eq\f(20－12,4)m/s2＝2m/s2初速度v0＝v1－a·eq\f(T,2)＝12m/s－2×2m/s＝8m/s答案8m/s2m/s2课堂要点小结自我检测区1.(速度与位移关系的简单应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶eq\r(2)D．2∶1答案B解析由0－veq\o\al(2,0)＝2as得eq\f(s1,s2)＝eq\f(v\o\al(2,01),v\o\al(2,02))，故eq\f(s1,s2)＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，B正确．2．(eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)的灵活应用)汽车自O点出发从静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中在6s内分别经过P、Q两根电线杆，已知P、Q电线杆相距60m，车经过电线杆Q时的速率是15m/s，则下列说法正确的是()A．经过P杆时的速率是5m/sB．车的加速度是1.5m/s2C．P、O间的距离是7.5mD．车从出发到经过Q所用的时间是9s答案ACD解析由于汽车在P、Q间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值，即eq\f(s,t)＝eq\f(vP＋vQ,2)，故vP＝eq\f(2s,t)－vQ＝5m/s，A对．车的加速度a＝eq\f(vQ－vP,t)＝eq\f(5,3)m/s2，B错．从O到P用时t′＝eq\f(vP,a)＝3s，P、O间距离s1＝eq\f(vP,2)·t′＝7.5m，C对．O到Q用时t′＋t＝3s＋6s＝9s，D对．3．(对Δs＝aT2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得sAB＝15cm，sBC＝20cm.试问：图4(1)小球的加速度是多少？(2)拍摄时小球B的速度是多少？(3)拍摄时sCD是多少？答案(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m解析小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．(1)由推论Δs＝aT2可知，小球加速度为a＝eq\f(Δs,T2)＝eq\f(sBC－sAB,T2)＝eq\f(20×10－2－15×10－2,0.12)m/s2＝5m/s2.(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝eq\x\to(v)AC＝eq\f(sAC,2T)＝eq\f(20×10－2＋15×10－2,2×0.1)m/s＝1.75m/s.(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以sCD－sBC＝sBC－sAB所以sCD＝2sBC－sAB＝2×20×10－2m－15×10－2m＝25×10－2m＝0.25m.2.3匀变速直线运动的规律(三)[学习目标定位]1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式及其特点并能熟练应用其解决问题.2.能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式.3.能熟练应用自由落体运动的规律解决问题．知识储备区1.匀变速直线运动的两个基本公式：(1)速度公式：vt＝v0＋at；(2)位移公式：s＝v0t＋eq\f(1,2)at2.2．匀变速直线运动的三个常用的导出公式：(1)速度位移公式：veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as.(2)平均速度公式：①eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)，即某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度；②eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋vt,2)，即某段时间内的平均速度等于初、末速度的平均值．(3)在连续相等时间间隔T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝aT2.3．自由落体运动的规律(1)速度公式vt＝gt.(2)位移公式h＝eq\f(1,2)gt2.(3)速度位移公式veq\o\al(2,t)＝2gh.学习探究区一、匀变速直线运动基本公式的应用1．对于公式vt＝v0＋at和s＝v0t＋eq\f(1,2)at2，要理解好各个物理量的含义及其对应的关系．两个公式涉及5个量，原则上已知三个量可求另外两个量，可以解决所有的匀变速直线运动的问题．2．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．例1一个物体以v0＝8m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则()A．1s末的速度大小为6m/sB．3s末的速度为零C．2s内的位移大小是12mD．5s内的位移大小是15m解析由t＝eq\f(vt－v0,a)，物体冲上最高点的时间是4s，又根据vt＝v0＋at，物体1s末的速度为6m/s，A对，B错．根据s＝v0t＋eq\f(1,2)at2，物体2s内的位移是12m，4s内的位移是16m，第5s内的位移是沿斜面向下的1m，所以5s内的位移是15m，C、D对．答案ACD二、三个导出公式的应用1．速度与位移的关系veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单．2．与平均速度有关的公式有eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)和eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2).其中eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)普遍适用于各种运动，而eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)只适用于匀变速直线运动．利用eq\x\to(v)＝eq\f(s,t)和eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内的位移差为常数，即s2－s1＝aT2.例2一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10s内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8m(相邻车厢连接处长度不计)，求：(1)火车加速度的大小；(2)这20s内中间时刻的瞬时速度；(3)人刚开始观察时火车速度的大小．解析(1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a，人开始观察时火车速度大小为v0，车厢长L＝8m，则Δs＝aT2，8L－6L＝a×102，解得a＝eq\f(2L,100)＝eq\f(2×8,100)m/s2＝0.16m/s2(2)由于veq\f(t,2)＝eq\x\to(v)＝eq\f(8L＋6L,2T)＝eq\f(14×8,20)m/s＝5.6m/s(3)由veq\f(t,2)2－veq\o\al(2,0)＝2·(－a)·8L得v0＝eq\r(v\f(t,2)2＋16aL)＝7.2m/s[还可以：由veq\f(t,2)＝v0－aT得v0＝veq\f(t,2)＋aT＝(5.6＋0.16×10)m/s＝7.2m/s]答案(1)0.16m/s2(2)5.6m/s(3)7.2m/s三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)(1)T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、……，第n个T内位移之比sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为s)(1)通过前s、前2s、前3s、…前ns时的速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)(2)通过前s、前2s、前3s、…前ns的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)(3)通过连续相等的位移所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))注意①以上比例成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动．②对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．例3一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时()A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶nC．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…解析设每节车厢为l，由2as＝veq\o\al(2,t)得第一节车厢经过观察者时v1＝eq\r(2al)，同理，第二节经过观察者时v2＝eq\r(2a·2l)……第n节经过观察者时，vn＝eq\r(2a·nl)，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)，选项A正确．相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，选项C正确．答案AC针对训练做匀减速直线运动的物体经4s后停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s内的位移是()A．3.5mB．2mC．1mD．0答案B解析物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由eq\f(14m,7)＝eq\f(s1,1)得，所求位移s1＝2m.四、自由落体运动1．自由落体运动的基本规律(1)速度公式：vt＝gt.(2)位移公式：h＝eq\f(1,2)gt2.(3)速度位移公式：veq\o\al(2,t)＝2gh.2．匀变速直线运动的其他规律，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的比例式同样适用于自由落体运动．注意若分析自由落体运动过程中的一段，则该过程是初速度不为零的匀变速直线运动，相应的速度公式和位移公式分别为vt＝v0＋gt、h＝v0t＋eq\f(1,2)gt2.例4如图1所示，悬挂着的一根长为15m的直杆AB，在直杆正下方5m处有一个无底圆筒CD.若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为2s，求无底圆筒的竖直长度(g取10m/s2)．图1解析取杆的下端B点为研究对象，设下降5m时B点的速度的大小为v0，根据veq\o\al(2,t)＝2gh可得，v0＝eq\r(2gh)＝eq\r(2×10×5)m/s＝10m/s，直杆通过圆筒的时间是从B点进入圆筒开始，到A点离开圆筒时结束，设圆筒的竖直长度为l，则在2s内杆下降的距离为l＋15，由位移公式可得，l＋15＝v0t＋eq\f(1,2)gt2，即l＋15＝10×2＋eq\f(1,2)×10×22，解得l＝25m.答案25m课堂要点小结1．熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式(1)vt＝v0＋at(2)s＝v0t＋eq\f(1,2)at22．对应题目中的场景灵活选用三个导出公式(1)veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as(2)eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋vt,2)(3)Δs＝aT23．会推导和应用初速度为零的匀变速直线运