分形在数字全息显示中的应用

关于分形在数字全息显示中的应用3/4/20231第1页，共82页，2023年，2月20日，星期三要目混沌和分形的概念的引入分形理论的数学基础知识分形所描述的自然现象分形图形的产生分形图形在数字全息显示中的应用.Fractal3/4/20232第2页，共82页，2023年，2月20日，星期三混沌与分形Chaos&Fractal什么是混沌?混沌是一种非周期性的动力学过程,混沌是研究无序中的有序。一些杂乱无章,表面看似无序的现象,其实却隐藏着丰富多彩的内涵和一定的规律性。20世纪永远被铭记的三大科学成就是：相对论、量子论和混沌理论。相对论消除了关于绝对空间和时间的幻象;量子论消除了关于可控测量过程的牛顿式的迷梦，质疑了微观世界的物理因果律;混沌理论则否定了包括巨观世界拉普拉斯﹙Laplace﹚式的决定型因果律,即关于决定论的可预测性。3/4/20233第3页，共82页，2023年，2月20日，星期三混沌的故事英文混沌一词chaos

来源于希蜡词χαος,它含有模糊，笼统，混乱的意思。在我国古代有许多有关混沌的故事：《山海经》——“有神鸟，其状如黄囊，赤如丹火，六足四翼，混沌无面目，只识歌舞，实惟帝江也。”混沌便是中华民族的始祖——黄帝。《庄子》——南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。倏与忽时相遇于混沌之地，混沌待之甚善。倏与忽谋报混沌之德，曰：“人皆有七窍，以视听食息，此独无有，尝试凿之。”日凿一窍，七日而混沌死。混沌是初度和谐，是原始无知无识。混沌是宇宙的生成，哲学构架的开始。混沌是由确定性的规律生成，它是一种对初始条件非常敏感并有依赖性和回复性的非周期运动。3/4/20234第4页，共82页，2023年，2月20日，星期三混沌现象的例子Sierpinski三角形二十世纪初，人们发现了Sierpinski三角形，它是根据一个很简单的规则，作一些简单的计算，所绘出的一幅奇妙的三角形图案。考虑一个填满东西的三角形，从其中间挖掉一块，使原三角形剩下三个相等的部分，且每一部分的面积是原来的1/4，对这三个三角形再类似于上述作法各从其中挖去一块，于是便得到了九个三角形，依此类推以至无穷。3/4/20235第5页，共82页，2023年，2月20日，星期三Sierpinski三角形Sierpinski三角形3/4/20236第6页，共82页，2023年，2月20日，星期三Sierpinski三角形的两个重要特性1，一个非常复杂且具有精细结构的图形可以用很少的，非常简单的规则产生。2，取Sierpinski三角形结构的任何一部分，并且放大至足够倍数，就会出现与原三角形一样的结构。这种特性称为自相似性。具有上述两个特性的图形被称为分形图形。3/4/20237第7页，共82页，2023年，2月20日，星期三Sierpinski三角形Sierpinski三角形3/4/20238第8页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形分形“Fractal“这个名词出自拉丁语”Fractus”其意为“碎化，分裂”。1975年美国IBM公司的B.Mandelbrot创造出分形这一名词。Fractal3/4/20239第9页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形几何的概念的提出B.Mandelbrot揭示了分形的本质和特征。他把1，数学中分数维的概念，2，客观事物中一种固有的自相似与无限可分的特征，3，计算机强大的迭代运算功能，结合起来，从而形成了分形几何的概念。分形概念的提出，为准确地描述客观世界和自然景观提供了一个有效的数学模型和工具。B.Mandelbrot3/4/202310第10页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的自相似性分形图形可看成是一种与整体有相似性的若干局部所构成的图形。它的任何一局部都与整体有严格的几何相似性，即比例的自相似性，并且在任意尺度上有无穷细节的精细结构和无限可分。3/4/202311第11页，共82页，2023年，2月20日，星期三Koch雪花曲线分形的自相似性1904年瑞典数学家科赫(H.vonKoch1870-1924)提出一种描述雪花的方法:先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样。这个被称作数学怪物科赫曲线恰是分形图形自相似的例子。3/4/202312第12页，共82页，2023年，2月20日，星期三Koch雪花曲线Koch雪花曲线VonKoch(1870-1924)3/4/202313第13页，共82页，2023年，2月20日，星期三欧氏几何与分形几何Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系。其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范围主要是人造的物体。分形几何由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。

3/4/202314第14页，共82页，2023年，2月20日，星期三Koch

=ProgrammeBASICKoch=ProgrammeBASIC=

DIMx(4096),y(4096)

'nombredepoints.Au-delà,onnedistingueplusrien

n=1

co=.5:si=SQR(3)/2

'cosinusetsinusdelarotation

x(0)=100:y(0)=350:x(1)=500:y(1)=350

'côtéinitial

WHILE1

CLS

MOVETOx(0),y(0)

'pointdedépart,puis1,4,16,...,...,4npoints

FORi=1TOn

LINETOx(i),y(i)

NEXTi

WHILE

INKEY$="":WEND

FORi=nTO1STEP-1

'onboucleendécroissant

x(4*i)=x(i):y(4*i)=y(i)

'sinononécraselesvaleurs

NEXTi

n=4*n

'onsubdivise

FORi=0TOn-4STEP4

dx=(x(i+4)-x(i))/3:dy=(y(i+4)-y(i))/3

'oncoupeen3

x(i+1)=x(i)+dx:x(i+3)=x(i)+2*dx

'onpartdu1/3etontermineaux2/3

y(i+1)=y(i)+dy:y(i+3)=y(i)+2*dy

x(i+2)=co*dx-si*dy+x(i+1)

'onobtientlenouveaupoint,

y(i+2)=si*dx+co*dy+y(i+1)

'sommetdutriangleéquiltéral

NEXTi

'parrotationde60°.

WEND3/4/202315第15页，共82页，2023年，2月20日，星期三Koch曲线分形的自相似性koch3/4/202316第16页，共82页，2023年，2月20日，星期三Koch曲线之VisualBasic源程序ConstPI=3.14159PrivateSubKoch_Click()ScaleTop=50ScaleLeft=0ScaleWidth=100ScaleHeight=-50CallFractal(0,10,100,10)EndSubSubFractal(aXAsSingle,aYAsSingle,bXAsSingle,bYAsSingle)If(bX-aX)*(bX-aX)+(bY-aY)*(bY-aY)<10ThenLine(aX,aY)-(bX,bY)ElseDimcXAsSingle,cYAsSingleDimdXAsSingle,dYAsSingleDimeXAsSingle,eYAsSingleDimlAsSingleDimalphaAsSinglecX=aX+(bX-aX)/3cY=aY+(bY-aY)/3eX=bX-(bX-aX)/3eY=bY-(bY-aY)/3CallFractal(aX,aY,cX,cY)CallFractal(eX,eY,bX,bY)l=Sqr((eX-cX)*(eX-cX)+(eY-cY)*(eY-cY))alpha=Atn((eY-cY)/(eX-cX))If(alpha>=0And(eX-cX)<0)Or(alpha<=0And(eX-cX)<0)Thenalpha=alpha+PIEndIfdY=cY+Sin(alpha+PI/3)*ldX=cX+Cos(alpha+PI/3)*lCallFractal(cX,cY,dX,dY)CallFractal(dX,dY,eX,eY)EndIf

EndSub3/4/202317第17页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形艺术《分形艺术》是属于计算机绘画范畴。分形计算机绘画与一般手工绘画或者一般的计算机绘画的不同之处在于，它充分利用数学公式，通过数学计算求得每一个象素的“数值”,众多象素组合起来构成奇妙的图形。因而这种绘画表现的是美妙的数学结构，展现了数学世界的瑰丽图景。

芒德勃罗特(B.B.Mandelbrot,1924-)提出的“分形”概念，对当代科学和艺术都产生了深刻的影响。特别是对复平面上芒德勃罗特集合和朱丽亚集合的研究，产生了大批同时具有深刻科学内涵和强烈美学感召力的分形图片。3/4/202318第18页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形艺术分形艺术是代表着“数字化”时代的一种新型艺术.尼葛洛庞帝(N.Negroponte)声称的“数字化生存”也包括了数字化艺术，它巧妙而自然地把科学和艺术结合在一起，为科学与艺术的沟通提供了一个活生生的实例。分形图形在建筑装饰、纺织印染、广告设计、全息显示防伪等方面都有许多实际的应用价值，引起了科学界和艺术界重视。

3/4/202319第19页，共82页，2023年，2月20日，星期三混沌游戏的分形图形的数学模型Sierprinski三角形是一个著名的混沌游戏的分形图形，可用迭代函数系统(IteratedFunctionSystemsIFS)模型来描述。仿射变换(AffineTransform)w(x1,x2)=(ax1+bx2+e,cx1+

dx2+f)其中a,b,c,d,e,f均为实数，则称w为二维仿射变换.在直角坐标中其形式为：3/4/202320第20页，共82页，2023年，2月20日，星期三Sierprinski三角形的IFSIFSwabcdef10.5000.51120.5000.550130.5000.550503/4/202321第21页，共82页，2023年，2月20日，星期三IFS的吸引子(Attractor)吸引子是指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后，所有轨迹线都趋向于它。吸引子是稳定的不动点。给定了一个IFS，也即是确定了其中仿射变换的个数及每个变换的六个参数，我们就可以在计算机上绘出其直观的吸引子的形状。3/4/202322第22页，共82页，2023年，2月20日，星期三Sierprinski三角形一个程序：#include“Draw.h”voidDrawPoint(HWND);HWNDhWnd;HDChdc;Intx[3]={360,25,693};Inty[3]={10,490,490};Intvertex,px,py;VoidDrawPoint(HWNDhWnd){HDChDC;hDC=GetDC(hWnd);Vertex=random(3);px=px+(x[vertex]-px)/2;px=py+(x[vertex]-px)/2;SetPixe(hDC,px,px,RGB(200,0,0));ReleaseDC(hWnd,hDC);3/4/202323第23页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的维数对于复杂的几何形体，普通维数的概念可能随尺度不同而改变。例如，直径10厘米的球用1毫米粗的细线做成。从远处看，球是一点。离10厘米远，线球是三维的。在10毫米处，它是一维线团。在1毫米处，每根线变成了圆柱体，整体又一次变成一维，如此等等，维数“交叉”反复从一个值到另一个值。当球用有限数目像原子那么小的微物代表时，它变成零维。

对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。3/4/202324第24页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的维数我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里：一个平面是二维的，一条直线是一维的，一个点是零维.3/4/202325第25页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的维数1，Koch曲线则是1.2618维；2，Sierpinski三角形的维数大约是1.5850.3/4/202326第26页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的维数上面所演示的Koch曲线则是1.2618维的。这条直线接近一个平面，因为它明显地具有“高度”，然而它却并不是一个平面，不是一个二维的曲线。它的维数只有1.2618。因为它高过一维，但却不到二维。在Sierpinski三角形中，先作一个完全填充的三角形（二维）。然后从中间移去一个三角形，再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积等于零了，于是，它的维数自然小于2，但是却永远达不到1，因为，无论何处，它都不接近一条线。所以，它的维数也在2与1之间，经过数学计算，它的真正维数大约是1.5850。3/4/202327第27页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的维数的计算方法维(Dimension)是空间和客体的重要几何参量.分形集的三个要素是形状,概率,维数.而分形图形的分数维比其形状和概率来更易描述分形集合的不规整度或破碎度.通常是用一种近似公式来计算分形集的分数维:

D=lna/lnb其中D是分形图形集的分数维数,a是自相似的概率分片数,b

是伸缩率.即一个有界集合可以分成a个大小为1/b倍的与原集相似的子集.对Koch曲线来说,首次是把它分成4个部分,每个部分都为原来大小的1/3,而每一部分又可以同样地继续再细分.于是Koch曲线的分数维D(Koch)之a=4,b=3.则D=ln4/ln3=1.2619Sierpinski三角形其a=3,b=2,于是

D=ln3/ln2=1.5853/4/202328第28页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图形的特征1,分形图形具有无穷细微的结构如Sierprinski三角形所描述的,在任意比例尺下(或任意放大后)仍包含有丰富,细緻的微结构,放大的越大,人眼可见的细节越多。2，分形图形无法用经典的数学方法来描述它既不是满足某一几何条件的点的轨迹，也不是数学方程的解集。3，分形图形具有自相似性如Sierprinski三角形，它的任意局部与全图有严格的几何相似性。4，分形图形可用迭代(IFS)方式生成分形图形虽然其固有的结构很复杂，但其定义却很简明，而且往往可用迭代的方式生成。Sierprinski三角形其结构虽然较复杂，但其模型仅由三个收缩仿射变换中的18个系数唯一确定。5,分形图形具有分数维3/4/202329第29页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集Julia集和Mondelbrot集是两种典型的分形图形集Julia集是由复平面上的一个二次映射的迭代行为所产生的图形.Pc(z)=z^2+c,式中z,c是复平面C上的点,c=a+ib,z=x+iy.引入到平面直角坐标系中,则有:Pc(x+iy)=(x+iy

)^2+a+ib=x^2–y^2+a+i(2xy+b)x

n+1=xn^2–yn^2+a,yn+1=2xnyn+

b式中a,b皆为实参数.通过上面的关系式,对平面上任意起始点(x0,y0)进行迭代,经过数次迭代以后,某些起始点的轨迹将逐渐走向无穷远,即以原点O为中心向四周无限扩展.而其它一些点的轨迹将没有此特性.在平面上这两类点群的分界线就是Julia集.3/4/202330第30页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集Mandelbrot集Julia集3/4/202331第31页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集Julia集3/4/202332第32页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集分形图形Julia集分形图形3/4/202333第33页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集分形图形3/4/202334第34页，共82页，2023年，2月20日，星期三Mandelbrot集Mandelbrot集是Julia集的延伸和扩展.Mandelbrot集有非常复杂的结构,其特征是由一个主要的心脏形结构和一系列圆盘形的“芽苞”突起连接在一起,每个“芽苞”又被更细小的“芽苞”所环绕,依此类推.此外,还有更为精细的“发状”似的分枝从“芽苞”向外长出.这些细发在它的每一段上都带有与整个M集相似的微型样本.M集的每个“芽苞”上的每一点,都分别对应著一个参数C的值.如果取一点并显微该点尽可能小的邻域,它存在无限细节,放大后便得到一个分形图.3/4/202335第35页，共82页，2023年，2月20日，星期三Mandelbrot集1980年B.B.Mandelbrot用简单的数学迭代方法画出下面的分形图形,引起人们的惊叹.如此复杂的图形竟然以如此简单的迭代方法实现.因而它被称为数学恐龙.3/4/202336第36页，共82页，2023年，2月20日，星期三Mandelbrot集Mandelbrot集分形图形的演化3/4/202337第37页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集的关系Mandelbrot集的边界有着极丰富的细节.局部采样缩进放大,不论多少级地显微下去,都可得到奇幻的有无限细节的分形图形.3/4/202338第38页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集的关系在Mandelbrot集的某个芽苞上的某个点,它对应着参数C的值,当显微放大这一点的一个尽可能小的邻域时由于存在无限细节的性质,会得到一个分形图形.这时会发现一个奇异的现象:这个分形图形与以该点C为参数的P的Julia集极其相似.打个比喻,Mandelbrot集是一本很大的书,而一个Julia集只是其中的一页.根据C点在Mandelbrot集中的位置就能预测与之相关的Julia集的外形及大小.Mandelbrot集是一本可以查阅所有Julia集的词典.3/4/202339第39页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集的关系13/4/202340第40页，共82页，2023年，2月20日，星期三Julia集与Mandelbrot集的关系3/4/202341第41页，共82页，2023年，2月20日，星期三Newton/Nova

分形

Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些数学方法。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程Z^6+1=0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，就可以得到一个怪异的分形图形。和Julia分形一样，能永远放大下去，并有自相似性。3/4/202342第42页，共82页，2023年，2月20日，星期三Newton/Nova

分形3/4/202343第43页，共82页，2023年，2月20日，星期三Newton/Nova

分形PaulDerbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为“Nova”的分形图形。“Nova”类型分形图形如下图：3/4/202344第44页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何欧几里得几何学它无法描写大自然中的云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。自然界的许多图样都是如此地不规则和支离破碎。这些图样的存在，使我们去探索那些被欧几里得认为是“无形状可言的”形状，去研究“无定形”的形态学。于是就产生了分形几何学。3/4/202345第45页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交叉性的学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，都与分形融合与关联。分形理论对方法论和自然观产生了强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的.3/4/202346第46页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何自然界存在的一些形状及其结构诸如星系、闪电、泥裂、材料断口、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、小肠绒毛、大脑皮层等等。尽是分形。3/4/202347第47页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——自相似。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。3/4/202348第48页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。分形能伪造海岸线、山峦和云团。以致用分形制作《星际旅行II》那样的影片的一些场景。

“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。其部分放大便能进一步揭示其深层结构。

3/4/202349第49页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形几何模型所建立的简单的几何结构，其与所生成的自然结构特征相同。从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。3/4/202350第50页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形英国的海岸线有多长？1967年Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题。长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。3/4/202351第51页，共82页，2023年，2月20日，星期三英国的海岸线有多长？Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。

3/4/202352第52页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界中的分形分形在自然界中普遍存在.大自然丰富多彩的面貌,人类社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动、曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动等等。Mandelbrot试图通过分形几何学统一去描述自然界和社会的一切现象.分形是一个新的数学领域--有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、小麦根系、海岸线等自然现象，而且在生物医学,天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。3/4/202353第53页，共82页，2023年，2月20日，星期三自然界的树并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是所谓超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到1500万到3000万光年之遥。但仍然存在着尺度超过30000万光年的大空白区。

分形已经对文化有重要影响，而且已被看作是新艺术形式的成果。有些分形是对真实的模拟，而另一些却完全是虚构和抽象。数学家和艺术家出乎意料地看到了这样一种文化上的相互作用。

应用分形最活跃的领域是在物理学和生命科学.它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。

分形图最后的副产品是它对年青人的吸引,正在唤起他们对科学的兴趣。曼德布罗特集和其他分形图现在出现在T血衫和招贴画广告上，这将使青年人感受到数学的美丽和她的富于表现，感受到她们和真实世界之间深奥的关系。

自然界中的分形3/4/202354第54页，共82页，2023年，2月20日，星期三生命作为自然界最复杂的存在方式，必然有分形的参与。生命现象从宏观到微观的各个层次，都存在着分形现象。分形还全面体现在生物的生化组成、生理、病理、形态等各个方面。这种现象绝非偶然，而是与生命的本质与特征密切相关。分形在生物医学图像领域里的应用研究异常活跃。分形与生命3/4/202355第55页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形的应用分形分维的经络形态及解剖结构肝脏超声图像分形特性的研究分形理论在医学图像边缘增强和检测中的应用研究分形几何在医学图像处理中的应用分形与经济学分形与气象学分形音乐3/4/202356第56页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形音乐如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一种波动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的噪音的定义是指任何量Ｖ随时间t的不可预测的变化。现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音乐节律都模仿一种噪音。3/4/202357第57页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形音乐分形音乐是分形艺术的一个重要部分，分形音乐是由一个算法的多重迭代而产生。利用分形几何的自相似特性来建构一些带有自相似小段的合成音乐。主题在带有小调的多次的返复循环中重复，在节奏方面加上一些随机变化，所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐。有人把著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为《倾听曼德勃罗集》（HearingtheMandelbrotSet），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。3/4/202358第58页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形在数字全息显示中的应用数字点阵全息图(DigitalDot

MatrixHologram)分形图的编码3/4/202359第59页，共82页，2023年，2月20日，星期三数字点阵全息图数字点阵全息图是由计算机控制的激光光束干涉点阵刻蚀而成.它是依赖计算机产生图形并通过计算机精密地控制干涉激光束在记录介质上刻蚀点阵衍射光删来实现。应用混沌和分形的理论，以带有无限变量重复码的方式来产生一系列类似于万花筒中观察到的随机花样的图案

分形图像和探索应用分形图像制作数字像元全息图时逐点的仿射对应关系。d=λo/2sinθ光强周期分布光栅方程3/4/202360第60页，共82页，2023年，2月20日，星期三光栅点的编码这种标志的图案是由一些极小的光栅点（约几十至一百微米左右）组成的，而每一个光栅点又包含非常微细的光栅（小于一微米），在制作过程中，电脑按制作要求对光栅点逐点进行编码使每一个点上的光栅的方向或密度发生变化从而达到预定的视觉效果；对光栅点的编码方式和方法是根据图案的具体设计而定，他人极难模仿。譬如以分辨率为300dpi制作的图案，在一平方厘米的面积内就接近有1.4万个光栅点，除了图案的设计，若要仿制出同样视觉效果的图案必须要求这1.4万个光栅点的编码要与原图案一致。3/4/202361第61页，共82页，2023年，2月20日，星期三光栅点的编码j3/4/202362第62页，共82页，2023年，2月20日，星期三多通道全息图编码多通道编码3/4/202363第63页，共82页，2023年，2月20日，星期三光栅点的编码点阵光栅的取向与间距3/4/202364第64页，共82页，2023年，2月20日，星期三光栅的间距与方向光栅的间距光栅的方向3/4/202365第65页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图案与点阵全息图刻蚀分形图案的设计分形图案是在所编制的专用电脑程序上输入有关的数据通过某一种算法来产生的在自然界并不存在但却非常奇异和富有装饰性的图案。3/4/202366第66页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形图案分形图案可以用点阵全息技术制作成为全息图的一部分或整体，也可以叠加在原注册商标上作为背景图案，由此而制成的标志具有极好的防伪性能，只要我们保留这些数据不外泄，任何人都不能产生相同或相类似的分形图案。另外，用点阵分形全息术制作的全息图案，由于其特性所决定不能通过照相、复印或电脑扫描等手段来复制。

3/4/202367第67页，共82页，2023年，2月20日，星期三全息图的分形图案分形分形FRACTALFRACTAL+3/4/202368第68页，共82页，2023年，2月20日，星期三全息图的分形编码FRACTAL3/4/202369第69页，共82页，2023年，2月20日，星期三全息图的分形编码全息3/4/202370第70页，共82页，2023年，2月20日，星期三全息图的显示灰度和点光栅条纹3/4/202371第71页，共82页，2023年，2月20日，星期三数字点阵全息图刻写典型刻写光路环形全息光栅3/4/202372第72页，共82页，2023年，2月20日，星期三数字点阵全息图刻写机d3/4/202373第73页，共82页，2023年，2月20日，星期三数字点阵全息图刻写机c中科院广州电子所3/4/202374第74页，共82页，2023年，2月20日，星期三分形全息图a3/4/202375第75页，共82页，2023年，2月20日，星期三数字全息图模压机b中科院广州电子所3/4/202376第76页，共82页，2023年，2月20日，星期三点阵全息图E-Beam3/4/202377第77页，共82页，2023年，2月20日，星期三参考文献1,M.F.Barnsley,R.L.Devaney,B.B.Mandelbrotetal.<TheScienceofFractalImages>Springer-Verlag,(1988),682,T.J.Wang,etal.,SPIE’sInternationalSymposiumonLaser,Optoelectronic&Microphotonics,Beijing(1996),T13,T.J.Wang,etal.,SPIE’Photonics’97West,Optoelectronics’97,SanJose,USA,(1997),694,张志三,<漫谈分形>,湖南教育出版社,(1993),35,王东生,曹磊<混沌,分形及其应用>中国科学技术大学出版社,(1995),456刘华杰,<混沌之旅>山东教育出版社,(1997)7,王天及,李耀棠,杨世宁等,<分形图形与激光防伪技术>,“物理”Vol.27,No.11(1998),6803/4/202378第78页，共82页，2023年，2月20日，星期三参考文献8,

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