切线与法平面

关于切线与法平面第1页，共33页，2023年，2月20日，星期三问题的提出

我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量第2页，共33页，2023年，2月20日，星期三切线方程为法线方程为的某邻域内满足隐函数定理条件，则

一.

平面曲线的切线与法线第3页，共33页，2023年，2月20日，星期三求曲线上过点的切线方程，这里㈠设曲线用参数方程表示为二.空间曲线的切线与法平面第4页，共33页，2023年，2月20日，星期三由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程在上式各端的分母都除以第5页，共33页，2023年，2月20日，星期三由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是第6页，共33页，2023年，2月20日，星期三曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是㈡如果曲线的方程表示为可以把它写成如下的以为参数的参数方程于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：第7页，共33页，2023年，2月20日，星期三㈢一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：设，设上述方程组在点确定了一对函数由这两个方程可解出这时容易把它化成刚才讨论过的情形：第8页，共33页，2023年，2月20日，星期三从而可得曲线在点的切线方程：和法平面方程第9页，共33页，2023年，2月20日，星期三解：在（1，1，1）点对应参数为t=1切线方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲线在点处的切线及法平面方程。第10页，共33页，2023年，2月20日，星期三例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。法平面方程：x-z=0切线方程：第11页，共33页，2023年，2月20日，星期三例求曲线在点的切线与法平面方程解在曲线方程中分别对求导，得对应于点的参数，于是从而切线方程为法平面方程为第12页，共33页，2023年，2月20日，星期三例求两柱面的交线在点：处的切线方程。第13页，共33页，2023年，2月20日，星期三解在方程组中分别对求导数，得于是从而在点有：第14页，共33页，2023年，2月20日，星期三所以切线方程为：即此直线可看作是平面与平面的交线。第15页，共33页，2023年，2月20日，星期三三曲面的切平面与法线㈠设曲面方程为过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为显然有在上式两端对求导，得第16页，共33页，2023年，2月20日，星期三曲线在M处的切向量第17页，共33页，2023年，2月20日，星期三上式说明向量与切线向量正交。从而曲面在点的切平面方程为由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。在点（设点对应于参数）有第18页，共33页，2023年，2月20日，星期三过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为该法线的一组方向数为：第19页，共33页，2023年，2月20日，星期三综上所述若曲面方程为则该曲面在点的切平面方程为过点的法线方程为第20页，共33页，2023年，2月20日，星期三设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为第21页，共33页，2023年，2月20日，星期三㈡若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在（这里）点的切平面方程为法线方程为第22页，共33页，2023年，2月20日，星期三㈢若曲面方程为参数形式：如果由方程组可以确定两个函数：于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。代入方程，得因此需分别计算对的偏导数。第23页，共33页，2023年，2月20日，星期三将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有解方程组，得第24页，共33页，2023年，2月20日，星期三法线方程于是曲面在点的切平面方程为第25页，共33页，2023年，2月20日，星期三例1求球面在点的切平面及法线方程解设则所以在点处球面的切平面方程为法线方程第26页，共33页，2023年，2月20日，星期三曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例2证明对任意常数，球面与锥面是正交的。第27页，共33页，2023年，2月20日，星期三即证明球面的法线方向数为锥面的法线方向数为在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。第28页，共33页，2023年，2月20日，星期三解切平面方程为法线方程为第29页，共33页，2023年，2月20日，星期三解令切平面方程法线方程第30页，共33页，2023年，2月20日，星期三解设