人教B版选择性必修第一册2.3.3直线与圆的位置关系作业

2.3.3直线与圆的位置关系选题明细表知识点、方法题号直线和圆的位置关系判定1直线和圆相切问题2,5,7,8直线和圆相交问题6,9直线和圆的综合应用3,4,10,11,12基础巩固1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(B)解析:由圆的方程得圆心坐标为(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=|1|12.(2021·山东临沂期中)过直线y=2x-3上的点作圆C:x2+y2-4x+6y+12=0的切线,则切线长的最小值为(A)A.555B.195 D.解析:圆C:x2+y2-4x+6y+12=0即为(x-2)2+(y+3)2=1,即圆心为C(2,-3),半径r=1,故圆心到直线2x-y-3=0的距离为d=|2×2故切线长的最小值为(45)?23.在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内,已知过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为(D) 解析:化圆x2+y2-4x+2y-4=0为(x-2)2+(y+1)2=9,可得圆心坐标为M(2,-1),半径为3.由圆的弦的性质可得,最长的弦即圆的直径,所以AC的长为6.因为点O(0,0),所以|MO|=5.弦BD最短时,弦BD和MO垂直,且经过点O,此时|BD|=29-故四边形ABCD的面积为12|AC|·|BD|=12×6故选D.4.(多选题)已知圆M:x2+y2+4x+2y-4=0,直线l:x-y+2=0,则(BCD)A.圆心M的坐标为(2,1)D.圆M上的点到直线l的距离的最大值为3+2解析:圆M:x2+y2+4x+2y-4=0转化为标准方程为(x+2)2+(y+1)2=9,故圆心M的坐标为(-2,-1),半径为3,故A错误,B正确;圆心到直线l的距离d=|-2-(-1)+5.已知圆O:x2+y2=5,则圆O在点A(-2,1)处的切线的方程是.解析:由题可得点A在圆O上,且kOA=-12所以圆O在点A(-2,1)处的切线的斜率k=2,所以圆O在点A(-2,1)处的切线的方程为y-1=2[x-(-2)],整理得2x-y+5=0.答案:2x-y+5=06.已知直线l过点(-1,0),且与直线2x-y=0垂直,则直线l的方程为,圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为.?解析:由题意可得直线l的方程为x+2y+1=0,因为x2+y2-4x+8y=0可化为(x-2)2+(y+4)2=20,所以圆心的坐标为(2,-4),半径r=25,所以圆心(2,-4)到直线l的距离d=|2-8所以|AB|=2r2-d2=2答案:x+2y+1=0215能力提升7.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=2,直线l过点A(1,2)且与圆C相切,若直线l与两坐标轴交点分别为M,N,则|MN|等于(C)2 2 D.10解析:因为圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为C(2,3),直线l过点A(1,2),将A点代入圆C的方程可得12+12=2,即点A在圆上,又kAC=3-所以直线l的斜率k=-1k所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3,令x=0可得y=3,令y=0可得x=3,所以M(3,0),N(0,3),所以|MN|=32+38.(多选题)由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的可能取值为(ABCD) B.2 C.3 解析:圆C:(x-3)2+y2=1的圆心为C(3,0),半径为1,设点P在直线x-y-1=0上.由点P引圆C的切线PQ,切点为Q,则PQ⊥CQ,则切线长|PQ|=|PC|2y-1=0的距离,即|3-0-1|29.已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,则|AB|=,过点A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.?解析:圆x2+y2=12的圆心为O(0,0),半径r=23,所以圆心到直线l:x-3y+6=0的距离d=61所以弦长|AB|=2r2-d2=2又直线l的斜率为k=13设直线l的倾斜角为α,则tanα=13,cosα=3如图,过点C作CE⊥BD于点E,则|CE|=|AB|,所以|CD|=|CE|cos答案:23410.(2021·辽宁高二月考)已知圆C经过点A(-1,0)和B(5,0),且圆心在直线x+2y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点D(-1,1),且与圆C相切,求直线l的方程;(3)设直线l′:x+3y-1=0与圆C相交于M,N两点,点P为圆C上的一动点,求△PMN的面积的最大值.解:(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由已知得(-解得a=2,b=0,r=3,所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为直线l与圆C相切,所以圆心C(2,0)到直线l的距离等于半径的长.即|2解得k=43当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1显然与圆C相切.综上,直线l的方程为x=-1或4x-3y+7=0.(3)圆心到直线l′的距离d=|2+0所以|MN|=232-(则点P到直线l′的距离的最大值为r+d=72所以△PMN的面积的最大值为12×35×72=应用创新11.设圆C:x2+y2-2x-3=0,若等边三角形PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的最大值为(C)A.10 3 6解析:化圆C:x2+y2-2x-3=0为(x-1)2+y2=4,如图,连接AC,BC,设∠CAB=θ(0<θ<π2)连接PC,交AB于点D,因为|AC|=|BC|,△PAB是等边三角形,所以D是AB的中点,得PC⊥AB,又圆C的半径为2,所以|AB|=4cosθ,|CD|=2sinθ,所以在等边三角形PAB中,|PD|=32|AB|=23所以|PC|=|CD|+|PD|=2sinθ+23cosθ=4sin(θ+π3)故选C.2+y2-2ax-2by=0(a>0,b>0)关于直线x+2y-2=0对称,则1a+2b的最小值为解析: