第1章 第1节 集合

PAGEPAGE1全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现.2.考查内容从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题.集合[考试要求]1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR提醒：根据元素的互异性可判断所求参数的值是否符合要求．2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B提醒：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}eq\a\vs4\al([常用结论])1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材习题衍生1．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[a＝2eq\r(2)∉N，则a∉A，故选D.]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1)(－∞，3)[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.[答案]{x|x是直角}4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．64[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，∴M∪N的子集有26＝64个．]考点一集合的含义与表示解决与集合中的元素有关问题的一般思路1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，故选A.]2．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2021＋b2021＝________.－1[由已知得a≠0，则eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝－1.]3．(2020·北京人大附中期中)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．集合T＝{1,2,3,5}，T的“孤立元”是________；对给定集合S＝{1,2,3,4,5,6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有________个．516[(1)依次判断每个元素是否为“孤立元”：对于1,2∈T，不是“孤立元”；对于2,1∈T,3∈T，不是“孤立元”；对于3,2∈T，不是“孤立元”；对于5,4∉T,6∉T，是“孤立元”．故T中的“孤立元”是5.(2)由S中的3个元素构成的所有集合有Ceq\o\al(3,6)＝20(个)，不含“孤立元”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，共4个，故含“孤立元”的集合有16个．]考点二集合间的基本关系判断集合关系的三种方法[典例1](1)(多选)(2020·辽宁葫芦岛月考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0},则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}(2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为()A．3 B．4C．7 D．8(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．(1)ACD(2)A(3)(－∞，2][(1)由题意得，集合A＝{0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0,2}，所以C，D正确，B错误．故选ACD.(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A.(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，此时2－a≥1＋a，即a≤eq\f(1,2).②若B≠∅，由B⊆A得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＜1＋a,2－a≥－1,1＋a≤3))，解得eq\f(1,2)＜a≤2.由①②知a的取值范围为(－∞，2]．]点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．(2020·北京模拟)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是()A．{0,1} B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0} D．RA[因为0∈M,1∈M，所以{0,1}⊆M，故选A.]2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝()A．0 B．1C．±1 D．0或1A[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＝1,m2＝m，))解得m＝0，故选A.]考点三集合的基本运算集合运算三步骤集合的交、并、补运算[典例2－1](1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．6(2)(多选)(2020·河北邯郸市第一中学一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，N＝{x|log2x＞1}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．M∩(∁UN)＝M D．(∁UM)∩N＝N(1)C(2)CD[(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.(2)由2x＜1，得x＜0，则M＝{x|x＜0}．由log2x＞1，得x＞2，则N＝{x|x＞2}．所以M∩N＝∅，故A不正确；M∪N＝{x|x＜0或x＞2}，故B不正确；M∩(∁UN)＝{x|x＜0}∩{x|x≤2}＝M，故C正确；(∁UM)∩N＝{x|x≥0}∩{x|x＞2}＝N，故D正确．]点评：解决集合中的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合．若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心．根据集合的运算结果求参数[典例2－2](1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数aA．[2，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) D．(－∞，2](1)B(2)C[(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B.(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥eq\f(4,3)，故选C.]eq\a\vs4\al([跟进训练])1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}D[由题意可知A∩C＝{1,2}，则(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故选D.]2．(2021·全国统一考试模拟演练)已知M，N均为R