高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义6.1直线圆

第1讲直线圆eq\a\vs4\al\co1()考点1直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).[例1](1)[2019·重庆一中模拟]“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)[2019·河北衡水中学模拟]已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为()A．0B．1C．0或1D．－1或1【解析】(1)由直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，知a(a－1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a＝3或a＝－2.所以“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的充分而不必要条件．故选A.(2)直线l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－?－2?)＝a.当a≠0时，直线l2的斜率k2＝eq\f(－2a－?－1?,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为0或1.故选C.【答案】(1)A(2)C(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.『对接训练』1．[2019·四川联合诊断]与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x－4y＋5＝0B．3x－4y－5＝0C．3x＋4y－5＝0D．3x＋4y＋5＝0解析：设所求直线上某点的坐标为(x，y)，则其关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)，且点(x，－y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x＋4y＋5＝0，故选D.答案：D2．[2019·四川凉山模拟]若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,9)或eq\f(1,3)D．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)解析：由点A和点B到直线l的距离相等，得eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))，化简得6a＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，解得a＝－eq\f(7,9)或a＝－eq\f(1,3).故选D.答案：Deq\a\vs4\al\co1()考点2圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．[例2](1)[2019·北京卷]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________；(2)[2016·天津卷]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为______________________．【解析】(1)因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(4＋5)＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.【答案】(1)(x－1)2＋y2＝4(2)(x－2)2＋y2＝9圆的方程的求法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.『对接训练』3．[2019·河南豫北名校联考]圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是()A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(1,\r(3))＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.故选D.答案：D4．[2019·湖北八校联考]已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()A．x2＋(y－3)2＝18B．x2＋(y＋3)2＝18C．x2＋(y－4)2＝25D．x2＋(y＋4)2＝25解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2)))，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×eq\f(3,2)－eq\f(b,2)－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r＝|CM|＝eq\r(?0－3?2＋?4－0?2)＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C.答案：Ceq\a\vs4\al\co1()考点3直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系判定(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相离．2．圆与圆的位置关系判定(1)d>r1＋r2?两圆外离；(2)d＝r1＋r2?两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2?两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内含．[例3](1)[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________；(2)[2019·江西师范大学附中期末]已知对任意实数m，直线l1：3x＋2y＝3＋2m和直线l2：2x－3y＝2－3m分别与圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝1相交于A，C和B，D，则四边形ABCD的面积为()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．解法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(?－2－0?2＋?－1＋2?2)＝eq\r(5).解法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－?－2?)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(?－2－0?2＋?－1＋2?2)＝eq\r(5).(2)由直线l1：3x＋2y＝3＋2m和直线l2：2x－3y＝2－3m，易得l1⊥l2，得S四边形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD.由题可知，l1，l2过圆心C，所以AC＝BD＝2，所以S四边形ABCD＝2，故选B.【答案】(1)－2eq\r(5)(2)B弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2eq\r(r2－d2)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.『对接训练』5．[2019·山东新泰一中月考]直线ax＋by－a－b＝0(a2＋b2≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交或相切D．相交解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为eq\r(2)，圆心到直线的距离为eq\f(|a＋b|,\r(a2＋b2))，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离eq\f(|a＋b|,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，所以直线与圆相交或相切，故选C.答案：C6．[2019·江苏南师大附中期中]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________．解析：由x2＋y2－6x－6y＝0得(x－3)2＋(y－3)2＝18，则该圆的圆心为(3,3)，半径为3eq\r(2).由于两个圆相切于原点，所以两圆的圆心连线必过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以其圆心也在直线y＝－4上，易得圆心坐标为(－4，－4)，又点(－4，－4)到原点的距离为4eq\r(2)，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0课时作业14直线圆1．[2019·山东平度一中月考]若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B.答案：B2．[2019·安徽六安一中四模]直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：由题意可得，－eq\f(a,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,－5)))＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故选B.答案：B3．[2019·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x－y＋2＝0平行的直线方程是()A．2x－y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x＋y－1＝0解析：设所求直线的方程为2x－y＋a＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a＝0，所以a＝1，故所求直线方程为2x－y＋1＝0.故选B.答案：B4．[2019·湖南衡阳八中月考]已知直线l的倾斜角为θ且过点(eq\r(3)，1)，其中sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，则直线l的方程为()A.eq\r(3)x－y－2＝0B.eq\r(3)x＋y－4＝0C．x－eq\r(3)y＝0D.eq\r(3)x＋3y－6＝0解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(2π,3)，则tanθ＝－eq\r(3)，直线的方程为y－1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－4＝0，故选B.答案：B5．[2019·安徽四校联考]直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是()A．3x＋y－6＝0B．3x－y＝0C．x＋3y－10＝0D．x－3y＋8＝0解析：解法一设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y－3＝k(x－1)．x＝0时，y＝3－k；y＝0时，x＝1－eq\f(3,k).所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×(3－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,k)))＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故选A.解法二依题意，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则可得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0，故选A.答案：A6．[2019·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.答案：C7．[2019·山东济宁期末]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1,1)的直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，直线l的方程为()A．2x－y－1＝0B．x＋2y－8＝0C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－3＝0解析：根据题意，圆C的圆心C(2,3)，半径r＝3.当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时CM的斜率kCM＝eq\f(3－1,2－1)＝2，则AB的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0，故选D.答案：D8．[2019·江西吉安五校联考]若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，则mn的取值范围是()A．(0,1)B．(－1,0)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)解析：x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，∵直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，m≠n)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，∴圆心(2,1)在直线mx＋2ny－4＝0上，得m＋n＝2，n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1，∵m≠n，∴m≠1，∴mn答案：C9．[2019·湖南雅礼中学月考]若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a＝()A．±1B．±eq\f(\r(2),4)C．±eq\r(2)D．±eq\f(\r(3),2)解析：由题意知圆心为(3,1)，半径是2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0的距离为1，所以圆心到直线ax－y＋1＝0的距离是1，即eq\f(|3a|,\r(a2＋1))＝1，得a＝±eq\f(\r(2),4)，故选B.答案：B10．[2019·湖南长沙一模]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．1＋eq\r(2)B．2C．1＋eq\f(\r(2),2)D．2＋2eq\r(2)解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1，故选A.答案：A11．[2019·湖南师大附中月考]点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在2x＋y－3<0表示的平面区域内，则a的值为()A．3B．7C．－3D．－7解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|4a－3×3＋1|,5)＝4，,2a＋3－3<0，))解得a＝－3，故选C.答案：C12．[2019·河南南阳期末]已知点M(－1,0)，N(1,0)．若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足eq\o(PM,\s\up10(→))·eq\o(PN,\s\up10(→))＝0，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C．[－25,25]D．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x－4y＋m＝0与圆x2＋y2＝1有交点时m的取值范围，则eq\f(|m|,\r(32＋?－4?2))≤1，解得－5≤m≤5，故m的取值范围是[－5,5]．答案：D13．[2019·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：当直线过原点时，直线斜率为eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，故直线方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)