华东师大初中数学九年级下册圆周角-知识讲解(提高)

圆周角—知讲解（提高【习标1．理解圆周角的概念．了解圆角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等•都等于这条弧所对的心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直；4．练掌握圆周角的定理及其理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【点理要一圆周角圆周角义像图中AEB、∠ADB、ACB这的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角理推：半圆（或直径）所对的圆周角是直角°的圆周角所对的弦是直径．要诠：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆.（）心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在周角的外部．（如下图）

【型题类一圆角圆角弧弦间关及用1.（2016厦门校级模拟）如图，∠AOB=90，是于点E，．求证：．

的三等分点，连接AB分交，OD【思路点拨】连接AC，BD根据得∠的数，由等腰三角形的性质求出的度数根理得出ACO≌故得出∠∠OCD根等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD由此可得出结论．【答案与解析】证明：连接ACBD，∵在⊙O中半径⊥C、为弧AB的三等分点，∴∠∠AOB=×°=30．∵OA=OB∴∠OAB=∠°∵∠∠BOD=30，∴∠OEF=∠OAB∠°+=75，理OFE=75，∵，是

的三等分点，∴，在△ACO与DCO，，∴△≌△（SAS∴∠∠．∵∠OEF=∠OAE°+，OCD=∴∠OEF=∠，∴CD∥，∴∠AEC=，∴∠∠AEC∴，

，

同理，BF=BD又∵∴AE=BF=CD【点评】本题考查的是圆心角、、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．举反：【变】如所示，已知AB是O直径、N分别AO、BO的点CM⊥，DNAB．求证：

ACBD

．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD则OCOD∵OA＝OB，且

1OA，OB，22∴OM＝ON，而CM⊥，DN⊥，∴eq\o\ac(△,Rt)COM≌eq\o\ac(△,Rt)，∴∠COM＝DON，∴

ACBD

．证法二：如下图，连、、OCOD．∵M是AO的中，且CM⊥AB∴AC＝OC，同理BD＝，OC＝OD．∴AC＝BD，

∴

ACBD

．类二圆角理应2.（2015南京二模）如图OAOB是O的径且OAOB，作OA的垂直平分线交O于C、，接CBAB求证：∠∠CBO．【答案与解析】证明：连接、，如图，∵直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△是边三角形，∴∠°，ABC=∠°，在BOC中∠BOC=AOC+AOB=150，∵OB=OCCBO=15，∴∠∠．【总结升华本考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟的掌握所学知识点是解题的关.举反：【变】如，是⊙O的弦AOB＝80则弦AB所对圆周角是.【答案40°或°

3.如图，是⊙的径C、DE都是O上的点，则1+∠【答案90°.【解析如图，连接OE，则【总结升华】把圆周角转化到圆.举反：【变•玄区二模）如图，四边形ABCD⊙的接四边形，连接AC、，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°则．【答案96°；提示：解：连结OC，图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案为96．

4.已知，如图，O上三A、、，∠ACB=60°AB=m，试求⊙的径.【答案与解析】如图所示，作⊙O的径AC′，结C′，则∠AC′∠C=60°又∵AC′⊙的直径，∴∠ABC′=90°即⊙的直为