中考数学专题训练-相似三角形的判定和性质

中考专题训练——相似三角形的判定和性质

1.如图，E是菱形N8C。对角线/C上一点，四边形8GFE是矩形.点凡G分别在OC,

BC上.

(1)求证：NCFG=NABE.

(2)若BE=4,tan/ABE萼，求之〃的长.

2.如图，在团488中，8c于点E,点尸在8c的延长线上，且CF=8E,连接ZC,

DF.

(1)求证：四边形NEED是矩形；

s

(2)若N/CD=90°,AE=4,CF=2,求△AEQ.

2ACFD

3.如图，已知正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为h(b<a),点E在CD

边上，点G在5c延长线上，点，为8C上的点，连接。F,DH.

(1)当。，_L。尸时，求证：△DEFsXHCD.

(2)若点”为8C的中点，在(1)的条件下，求出。与6满足的关系式.

4.已知：如图，在四边形N8CD中，AD//BC,点E、F分别在边42、AD±,DE与CF

相交于点G.CD1=CG'CF,ZAED=ZCFD.

(1)求证：AB=CD；

(2)延长工。至点"，联结CAT,当CF=CA/时，求证：EA*AB=AD'MD.

5.北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为

“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方

形.

如图为“弦图”的一部分，在正方形中，DEVAF,BF±AF.

(1)求证：EF=DE-BF-,

(2)连接8E,若BF2=EF,DE,求证：Z1=Z2.

6.如图，已知：△/8C和△4OE都是等边三角形，其中点。在边8c上，点尸是边上

一点，且8尸=CD

(1)求证：DE//CF-,

(2)联结。尸，设/。、CF的交点为M,如果。求证：DF//AC.

7.如图，ZX/BC中，AB=AC.

(1)尺规作图：作N8的垂直平分线DE,分别交/8、ZC于点E和点。.(保留作图

痕迹，不写作法)；

(2)连接8。，若BD=BC=2,求/C的长.

(3)在(2)的条件下，cosC=

8.如图，在矩形中，AB=4,10.直角尺的直角顶点P在/。上滑动时(点尸

与。不重合)，一直角边经过点C,另一直角边与48交于点E.

(1)求证：RtZUEPsRt/^opc；

9.如图，在矩形Z88中，点£是边8上任意一点(点E与点C、。不重合)，过点/

作交边C8的延长线于点尸，联结E/交边于点G,连接ZC.

(1)求证：△AEFsADAC；

(2)如果FE平分尸8,联结CG,求证：四边形/GCE为菱形.

10.已知：如图，四边形/8CO中，NBAD=NBCD=90°,£为对角线8。的中点，点尸

在边ZO上，CF交BD于点、G,CF//AE,CF=^BD.

2

(1)求证：四边形ZECF为菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求证：AE2=AD'DC.

A

11.如图，在矩形/BCD中，AB=3,BC=5,8£■平分N48C交/。于点E.连接CE,点

F是BE上一动点,过点、F作FG〃CE交BC于点G.将48尸G绕点8旋转得到48尸GI

(1)连接CG,EF,求证：△BEFs^BCG；

(2)当点G，恰好落在直线NE上时，若BF=3,求EG，的值.

备用图

12.如图，正方形/8C。，E、/分别是边8c的中点，AF与DE,分别交于点",

N.

(1)求证：AF=DE,AFVDE.

(2)求4W：MN：府的值.

A

E

B

13.问题背景

如图1,在△ABC中，点。，E分别在NC,4B上,2NEDB+NBDC=180°,/DEB=

90°,求证：AE=BE.

变式迁移

如图2,在四边形DE8C中，2NEDB+NBDC=180°,/DEB=90°,DF//EB,DF,分

别交CE,BC于点G,F,求证：DG=FG.

拓展应用

如图3,在四边形。EC8中，2NDBE+NEBC=180°，ZEDB=ZDCB,也」，且〃

DCn

(1)如图①正三角形48C,边长为4,D、E是边4B、ZC的中点，P在8c边上，则4

PDE的面积为；

问题解决

(2)如图②，某小区有一块五边形空地N88E,CDLDE,AE//CD,CB=CD=40m,

ZE=10米，NABC=NBCD=120°,物业想在这块空地中划出一块区域来种植

草皮，其他区域种植花卉.已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100

元.要求四，N,P分别位于N8,ED,CD边上,旦MN//CD,要使种植费用的造价最

低，种植草皮的△仞VP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值.

15.如图，在正方形中，点E在8c边上，连接/E,在8c延长线上作连

接ZF交8于点G,设CE：EBG(A>0).

(1)若4B=2,A=l,求线段C厂的长.

(2)连接EG,若G点为CD的中点，①求证：EGLAF.②求人的值.

16.如图，已知△/8C,点。，E分别在BC,CA±,且满足EB=EC.

(1)用直尺和圆规确定点D,E；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接Z。，EB,AD与EB交于点、F.

①求证：△BDFs^CBA；

②若/A4c=90°,N8=3,NC=4,则Z)F的长为.

17.如图，△/8C是等腰直角三角形，AB=AC,点、D,E,产分别在48,BC,ZC边上,

DE±DF,NDEF=45°,。尸的延长线与8c的延长线相交于点G.

(1)求证：△BDESMEF；

(2)若力。=1,AF=2,求EC的长；

(3)若tan/BDE】,求器的值・

NILD

18.如图，在正方形/BCD中，点E是边/。上的一点(不与力、O重合)，点F在边。C

延长线上，CF=AE,连接8£、BF、EF,EF交BC于点、M,交对角线8。于N.

(1)求证：NBEF=45°；

(2)若BE平分/ABD,求证：BE?=MAB，BM；

(3)若DE：£4=3：2,则EN：NM：MF=(直接写答案).

19.如图1,在四边形Z8C。中，NABC=/BCD,过点Z作ZE〃OC交8c边于点E,过

点、E作EF〃4B交CD边于点、F,连接力9，过点C作CH〃/尸交4E于点“，连接8”.

(1)求证：AABFW4EAF；

(2)如图2,若2〃的延长线经过《尸的中点"，求些的值.

EC

20.如图1,在矩形/8CZ)中，AB=5,AD=S,点E在边8上，tanZBAE=2,点尸是

线改ZE上一点，连接CF.

(1)连接请用尺规作图法作尸G,48,垂足为G点(保留作图痕迹，不要求写出

作法).若tanN/8尸=匹，求线段/尸的长.

3

(2)如图2,若CF=LC,/E的延长线与8c的延长线交于点”，求△CE尸的面积.

参考答案与试题解析

1.如图，E是菱形/8CO对角线/C上一点，四边形8G也是矩形.点、F,G分别在。C,

8c上.

(1)求证：NCFG=NABE.

(2)若BE=4,tan/ABE屈，求尸朋1的长.

4

【分析】(1)根据菱形的性质可得48〃CD,从而可得NC/8=NOC4根据矩形的性质

可得BE〃FG,从而可得/BEM=NFME,然后利用三角形的外角可得NA4E+

ZABE,ZFME=ZACD+ZCFG,即可解答：

(2)根据矩形的性质可得E8=FG=4,NEFG=NFGB=90°,EF//BG,再利用(1)

的结论在RtZ\FGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG,C尸的长，根据菱

形的性质可得4D〃8C,AD=DC,从而可得力。〃跖，NDAC=NDCA,进而可得/

FEC=/DCA,然后利用等角对等边可得FE=R=5,最后证明8字模型相似三角形△

EFMsRCGM,利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】(1)证明：・・,四边形力BC。是菱形，

J.AB//CD,

：.ZCAB=ZDCAf

;四边形8GFE是矩形，

:.BE〃FG,

：.NBEM=/FME,

*.*/BEM=NBAE+/ABE,NFME=/ACD+NCFG,

；.NCFG=/ABE；

(2)解：:四边形8GFE是矩形，

:・EB=FG=4,/EFG=/FGB=9Q0,EF//BG,

：.ZFGC=180°-ZFGB=90Q,

,tan/NCFG=N4BE,

4

tan/C『G=§,

4

.♦.CG=FG,tanNC尸G=4X3=3,

4

•'•FC=VFG2+CG2=V42+32=5，

•；四边形/BCD是菱形，

J.AD//BC,AD=DC,

J.AD//EF,

:.NDAC=NFEC,

•；AD=DC,

：.ZDAC=ZDCA,

:./FEC=ZDCA,

：.FE=FC=5,

VZ£FG=ZFGC=90°,ZEMF=ZCMG,

:*XEFMs[\CGM»

.EF=FM

**CGGM"

.5_FM

,•京4-FM'

2

.♦.F/W的长为

2

2.如图，在四48co中，4ELBC于点E,点尸在8c的延长线上，KCF=BE,连接NC,

DF.

(1)求证：四边形ZERO是矩形；

s

(2)若NZCD=90。，AE=4,CF=2,求.△舞G.

^△CFD

【分析】(1)先证明四边形/EED是平行四边形，再证明/月£尸=90°即可;

(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.

【解答】(1)证明：:CF=3E,

：.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

在团48CD中，ZD〃8c且/O=8C,

：.AD//EFB.AD=EF.

四边形ZEFD是平行四边形.

"：AELBC,

：.ZAEF=90°.

四边形NEED是矩形；

(2)解：；四边形是矩形，

:.NAEC=NDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC+ZECA^90Q,

VZACD=90°,

AZECA+ZDCF=90°,

/.NEAC=NDCF,

：./\AECsACFD,

.AE=CF=21

♦•而DF1而，

：.EC=2AE=8,

e4-XAEXEC-^X4X8

解法一：.•.区区=《--------------=：---------=4.

SACFDyXCFXDFyX2X4

Saaec2

解法二：=(胆)2=(-4)=4.

S/kCFDCF2

3.如图，已知正方形N8CD的边长为a,正方形CEFG的边长为Z>(b<a),点E在CZ)

边上，点G在8c延长线上，点〃为8C上的点，连接DF,DH.

(I)当。，_L。尸时;求证：△DEFsXHCD.

(2)若点，为8C的中点，在(1)的条件下，求出a与b满足的关系式.

【分析】（1）证明NEZ力再结合90°角可以证明△£>£/

（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于。和/）的等式即可得解.

【解答】（1）证明：•.•四边形MCD,CEFG都是正方形，

:.NHCD=90°,ZCEF=ZDEF=90°,

:./DEF=NHCD=90°,

:"HDC+NDHC=90°,

又，：DHIDF,

：.NHDF=90°,

：.NHDC+NEDF=90°,

:./EDF=/DHC,

：.ADEFsAHCD.

（2）解：I•点，为5c的中点，

：.HC=^a,

2

"：CD=a,CE=EF=b,：.DE=a-b,

由（1）可知ADEFsAHCD,

.DEEF

••—9

HCCD

.a-bb

•-r-v

2a

a而b，

即。与6满足的关系式为

2

4.已知：如图，在四边形月8c。中，AD//BC,点、E、尸分别在边48、AD±,DE与CF

相交于点G.CD1=CG'CF,ZAED=ZCFD.

(1)求证：AB=CD；

(2)延长工。至点A/,联结CA/,当CF=CM时，求证：EA*AB=AD-MD.

【分析】(1)根据已知可得型=受，从而可得△CDGS^CFD,然后利用相似三角形

CGCD

的性质可得NC£>G=N仃D,从而可得NCDG=N4ED,进而可得AB//CD,最后证明

四边形N8CD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；

(2)根据等腰三角形的性质可得从而可得然后利用平行

线的性质可得=从而可证进而利用相似三角形的性质即

可解答.

【解答】证明：(1),:B=CG-CF,

.CD=CF

'*CGCD)

NDCG=NDCF,

：./\CDG^/\CFD,

：.ZCDG^ZCFD,

,：NAED=NCFD,

:.NCDG=NAED,

：.AB//CD,

■:AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD；

(2)如图：

"：CF=CM,

：.ZCFD=ZM,

"：NAED=NCFD,

：.ZAED=ZM,

'：AB//CD,

：.AA=ACDM,

：.△AEDSXDMC,

•_^_=AD

"DMDC,

：.AE'DC^AD'DM,

,:AB=DC,

：.EA・AB=AD,MD.

5.北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为

“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方

形.

如图为“弦图”的一部分，在正方形/8CO中，DELAF,BFA.AF.

(1)求证：EF=DE-BF-,

(2)连接8E,若BF?=EF,DE,求证：Z1=Z2.

【分析】(1)利用正方形的性质可得ZBAD=90Q,从而可得NA4F+ND4E

=90°,根据垂直定义可得,从而可得/A4尸+乙48尸=90°,然后

利用同角的余角相等可得从而可证。进而可得。E=

AF,AE=BF,即可解答；

(2)利用(1)的结论可得。E=/RNBAF=NADE=N2,从而可得此=更，进而

EFBF

可得△在8Es△见儿然后利用相似三角形的性质可得/1=/氏4尸，即可解答.

【解答】证明：(1)•.•四边形/8C。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.NBAF+NDAE=90°,

'：DEYAF,BFLAF,

；.NAED=/F=90°,

:./BAF+NABF=90°,

:.NDAE=NABF,

：./\ABF^/\DAE(AAS),

：.DE=AF,AE=BF,

'：EF=AF-AE,

：.EF=DE-BF；

(2);A4BF@ADAE,

：.DE=AF,NBAF=NADE=Z2,

"：BF1=EF'DE,

.BF=DE

**EF丽，

.BF=AF

,•丽BF)

NF=ZF,

：./\FBE^/\FAB,

Z1=ZBAF,

.\Z1=Z2.

6.如图，已知：△48C和△/OE都是等边三角形，其中点。在边8c上，点尸是48边上

一点，且BF=CD

(1)求证：DE//CF；

(2)联结。尸，设b的交点为M,如果。/2=尸加•尸C,求证：DF//AC.

【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ZC£）@Z\C8凡得出/。。=/8。尺由等边

三角形的性质及三角形外角的性质得出N8QE=NC4。，进而得出N8DE=N8CF,即

可证明。E〃CF；

（2）先证明△DEW"△CFD,得出NFDW=NPC£>,由/C/£>=N8CF,得出NF0M

=NCAD,即可证明。尸〃ZC.

【解答】证明：（1）如图1,

A

图1

•：/\ABC是等边三角形，

:.AC=BC,/ACB=NB=60°,

在和△CB尸中，

'AC=CB

<ZACD=ZB>

CD=BF

:AACD会/\CBF(SAS),

:./CAD=4BCF,

''/\ADE是等边三角形，

；.NADE=NACB=60°,

ZADE+ZBDE=NACB+NCAD,

ZBDE^ZCAD,

：.NBDE=NBCF,

.'.DE//CF；

(2)如图2,

图2

'：DF1=FM'FC,

•.•DF,=FC,

FMDF

*：ZDFM=/CFD,

・・・ADFMs丛CFD,

：.ZFDM=NFCD,

■:/CAD=/BCF,

ZFDM=ACAD,

J.DF//AC.

7.如图，△NBC中，AB=AC.

（1）尺规作图：作的垂直平分线OE,分别交/8、NC于点E和点D（保留作图

痕迹，不写作法）；

（2）连接BD,若BD=BC=2,求ZC的长.

（3）在（2）的条件下，cosC=返」.

一4一

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）求出证明//=36°,再利用相似三角形的性质证明即可;

（3）过点B作BHLCD于点H.求出CH,可得结论.

【解答】解：（1）如图，直线。£即为所求；

・・,点。在48的垂直平分线上，

:.DA=DB,

，NA=NDBA,

■:BD=BC,

:・/BDC=/C,

,/ZBDC=ZA+ZDBA=2ZA,

AZC=2ZJ,

*：AB=AC,

・•.NABC=/C=2/A,

•・・//+//8C+NC=180°,

・・・5N4=180°,

AZA=36°,

：・/CBD=/ABD=NA=36°,

VZC=ZC,

:.丛CBDs^CAB,

:.CB?=CD・CA,

A22=CZ)*(CD+2),

・・・CO=«-1(负值已经舍去)，

:・AC=CD+AD=a+1；

(3)过点、B作BHLCD于点H.

■:BC=BD,BHLCD,

:.CH=DH="二1,

2

.•.胡C=^=扈

BC4

故答案为：近二1.

4

8.如图，在矩形中，AB=4,AD=10.直角尺的直角顶点P在力。上滑动时(点尸

与人。不重合)，一直角边经过点C,另一直角边与N8交于点£

(1)求证：RtA/4EP^RtA£)PC；

(2)当NCPD=30°时，求NE的长.

AD

【分析】(1)利用“一线三直角”模型，即可证明RtZ\NEPsRt△。尸c；

(2)由矩形的性质结合已知条件得出8=/3=4,利用含30度角的直角三角形的性质

得出PC=8,利用勾股定理求出的长度，进而求出ZP的长度，再利用相似三角形的

性质即可求出/£的长.

【解答】(1)证明：；四边形/8CD是矩形，

AZD=Z/4=9O°,

:.NPCD+NDPC=90°,

'：ZCPE=90°,

：.ZER4+ZDPC^90°,

ZPCD=ZEPA,

.♦.RtZUEPsRgopc；

(2)解：•.,四边形/BCD是矩形，AB=4,

：.CD=AB=4,

在RtZ\PCD中，NCPD=30°,CD=4,

：.PC=S,

APD=7PC2-CD2=4V3>

••.AP=AD-PD=10-4V3.

VRtA/lEP^RtAOPC,

.PDCD0n4734

AEAPAEIO-4V3

•,.AE=10V3-12.

9.如图，在矩形/8CO中，点E是边C£>上任意一点(点E与点C、。不重合)，过点/

作交边C8的延长线于点F,联结ER交边N8于点G,连接4C.

(I)求证：△4EFS/\DAC；

(2)如果在平分ZZ尸8,联结CG,求证：四边形/GCE为菱形.

「

FBC

【分析】（1）根据矩形的性质可得AB//CD,AB=DC,ZBCD=ZDAB=ZABC=ZD

=90°,根据垂直定义可得/E4E=90°,从而可得NB4F=ND4E,进而可得△ZB尸

s^ADE,然后利用相似三角形的性质可得匹•=迪，再利用两边成比例且夹角相等的

ADAE

两个三角形相似证明，即可解答；

（2）根据角平分线的定义可得从而证明△4FE名△CFE,进而可得/F

=CF,AE=EC,然后再证△/人?丝△CFG,从而可得/应G=NFCG,再结合（1）的

结论可得ND4E=NR2G,最后利用等角的余角相等可得NCCG=N/E。，从而可得

AE//CG,进而利用菱形的判定方法即可解答.

【解答】证明：（1）；四边形/BC。是矩形，

：.AB//CD,AB=DC,NBCD=NDAB=NABC=ND=90°,

二//8尸=180°-NN8C=90°,

'：AEVAF,

：.ZFAE=90°,

ZFAE-NBAE=ZDAB-ZBAE,

：.NBAF=ZDAE,

,:ND=NABF=90°,

/\ABF^^\ADE,

.AB=AF

*'ADAE,

.DC=AF

**ADAE'

"：ZD=ZFAE=90a,

△4EFS4D4C；

（2）如图：

平分N4F8,

NAFE=ZCFE,

•；NE4E=NBCD=90°,EF=EF,

.♦.△AFE空/\CFE（AAS）,

：.AF=CF,AE=EC,

,:FG=FG,

:.XAFGqMCFG（SAS）,

：.ZE4G=ZFCG,

,/NBAF=NDAE,

/.ZDAE=ZFCG,

•；NDAE+N4ED=90°,NBCG+NDCG=90°,

ZDCG=ZAED,

J.AE//CG,

•:AB"CD,

四边形AGCE是平行四边形,

:AE=EC,

二四边形ZGCE为菱形.

10.已知：如图，四边形488中，NBAD=NBCD=90°,E为对角线8。的中点，点尸

在边/。上，CF交BD于点、G,CF//AE,CF=、BD.

2

(1)求证：四边形NECF为菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求证：AE2^AD'DC.

A

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线可得CE=1BD,再结合已

22

知CF——BD,从而可得AE=CF,进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据

2

AE=CE,即可解答；

(2)利用(1)的结论可得ZE=CF=DE,AD//CE,从而可得乙4DE=NDEC,进而可

得N4DE=NDCG,再利用平行线的性质可得NC尸。，然后证明△ZOEs4

FCD,利用相似三角形的性质即可解答.

【解答】证明：(1)'：ZBAD=90Q,E为5。的中点，

：.AE=DE=—BD,

2

；CF=LBD,

2

:.AE=CF=DE,

'JCF//AE,

，四边形AECF是平行四边形，

VZBCD=90°,E为的中点，

:.CE=LBD,

2

：.AE=CE,

四边形AECF为菱形；

(2)♦.•四边形/EC/为菱形，

：.AD//CE,

：.NADE=NDEC,

,：4DCG=/DEC,

：.N4DE=/DCG,

'JAE//CF,

：.NEAD=NCFD,

：.AADESMCD,

.AD=DE

**CFCD>

：.CF'DE=AD-CD,

,:AE=CF=DE,

：.AE2=AD-DC.

11.如图，在矩形/8C£>中，AB=3,BC=5,BE平分NABC交4D于点、E.连接CE,点

F是BE上一动点、,过点尸作尸G〃CE交8c于点G.将△8FG绕点8旋转得到459Gl

(1)连接CG,EF,求证：△BEF's/XBCG；

(2)当点G”恰好落在直线/E上时，若8尸=3,求EG的值.

备用图

至一=凶二，从而证明了结论;

【分析】(1)可证得NFBE=NCBG'

BEBC

（2）先求得8G的长，进而求得8G',然后解直角三角形/8G'求得结果.

【解答】（1）证明：：尸6〃。£,

/\BFGs/\BEC,

.BF=BG

**BEBC'

•BFy_BG7

BEBC

:NF'BG'=NEBC,

：.ZFBG'+AEBG'=ZEBC+ZEBG',

即/F'BE=NCBG,

：./\BEF's/\BCG'；

.•./D=/Z=N/8C=90°,

■:BE平分/ABC,

ZABE=^-ZABC=45Q,

2

ZAEB=90a-ZABE=45°,

NAEB=NABE,

.\AE=AB=3,

:.BE=3®

由（1）知：型=幽，

BEBC

.3_BG

■,37T~T,

2

:.BG'=BG=^^~,

2

在Rl^ZBG'中，由勾股定理得,

AG，=VBGy2-AB2=^(^-)2-32=^-'

：.EG'=AE-AG'=36-V14,

22

EG”6->V14

-2~，

综上所述：EG'=6±后.

2

12.如图，正方形4BCD,E、尸分别是边力氏8c的中点，4F与DE,分别交于点M,

N.

(1)求证：AF=DE,AFLDE.

(2)求4环MN：液的值.

【分析】（I）根据S/S证明△/£>£■丝/XB/斤，即可得AF=DE,NADE=NBAF,故N

ADE+NAED=NBAF+NAED=90°,AF1DE；

(2)设正方形ABCD的边长为2x,则AE=BF=x,由勾股定理和面积法可得AM^

AE・AD=WLx,证明AMiDsANFB,可得NF=LF=^X,即可得到答案.

DE533

【解答】(1)证明：•.•正方形

：.AB=DA,/ABC=NBAD=9Q°,

:E、F为边AB、8c的中点，

：.BF=AE,

在A4DE与△BqF中,

，AD=AB

<ZEAD=ZFBA-

AE=BF

AAADE^ABAF(SAS),

：.AF=DE,AADE=ZBAF,

:.NADE+N4ED=NBAF+N4ED=90°,

AZAME=9Q0,

J.AFLDE-,

(2)解：设正方形/BCD的边长为2x,则工后二^/二刀，

在VA/\ADE中，DE=rAD2+AE2=

由（1）知DE=4F,

•*•AF=，

2s3DE=4E*AD=DE*AM,

.^=A^AD=2V5.X）

DE5

■:AD//BC,

:./ADN=NNBF,NNAD=NNFB,

：./\NADS2NFB,

•.A•N_AD,_O乙,

FNBF

:,AN=2FN,

...NF=工/尸=返X,

33

，MN=AF-AM-NF=^^-,

15

：.AMtMN：NF=M^-X：-^-X：匹X=6：4：5.

5153

13.问题背景

如图1,在△4BC中，点。，E分别在NC,4B上,2NEDB+NBDC=180°,NDEB=

90°,求证：AE=BE.

变式迁移

如图2,在四边形。E8C中，2NEDB+NBDC=18Q°,NDEB=9Q°,DF//EB,DF分

别交CE,8c于点G,F,求证：DG=FG.

拓展应用

如图3,在四边形。EC8中，2NDBE+NEBC=180°,NEDB=NDCB,9」，且〃

DCn

>1,直接写出现的值.

BE

D

【分析】问题背景：由2NEZ)8+N8£)C=180°,N4D8+/8Z)C=180°,得出

=NEDB,由ND£8=90°,得出/£>胡=NC£8=90°,即可得出△£>£■♦畛/XOEB,

进而证明AE—BEi

变式迁移：延长CT),BE交于点、M,则ME=8£,由DF〃BE,得出△CDGs/XCNE,

△CFGs^CBE,进而得出段里，即可证明。G=FG；

MEBE

拓展应用：在C8的延长线上截取8P=8E,连接。P,由''问题背景"可知：NDBP=

ZDBE,进而得出△D8E出△Z58P,得出NEDB=NPDB,由NEDB=NDCB,得出N

PDB=NDCB,继而证明△DP8sZ\CP。，得出坦=况=里=工，设BP=1,则

DCPDPCn

=n,得出尸C=〃2,求出8C=〃2-],继而得出些_=〃2-i.

BE

【解答】问题背景：证明：如图1,

V2Z£DS+Z5DC=180°,ZADB+ZBDC=]S00,

二ZADB=2ZEDB,

：.NADE+NEDB=2ZEDB,

，NADE=NEDB,

VZDEB=90°,

AZDEA=ZDEB=90Q,

在ADEA和△DE2中，

"ZADE=ZBDE

<DE=DE，

ZDEA=ZDEB

:ADEA沿/XDEB(ASA),

：.AE=BE；

变式迁移：证明：如图2,延长8,BE交于点、M,则

图2

'：DF//BE,

:.乙CDG=4M,ZCGD^ZCEM,NCGF=NCEB,NCFG=/CBE,

:.XCDGsMCME,△CFG^ACSf,

.DGCGGF_CG

''HE'CE'BE"CE'

.DG_FG

"HE"BE"

,:ME=BE,

：.DG=FG；

拓展应用：解：如图3,在C8的延长线上截取2P=8E,连接。尸，

图3

由“问题背景"可知：NDBP=NDBE,

在△O8E和△/)8P中，

'BE=BP

<ZDBE=ZDBP-

BD=BD

:.丛DBE94DBP(SAS),

NEDB=/PDB,

NEDB=NDCB,

4PDB=/DCB,

'：NP=NP,

：.△DPBsfPD,

.DB=BP=PD

*'DCPDPC)

.•.DB=—1，

DCn

.DB=BP=PD=1

"DCPDPC'n)

设8P=1,则PD=〃，

•.・-1---n-，

nPC

.\PC=n2,

：.BC=PC-BP=n1-1,

2

.BCBCn-l„2.

BEBP1

14.问题提出

(1)如图①正三角形48C,边长为4,D、E是边4B、4C的中点，尸在8c边上，则4

PDE的面积为，百

问题解决

(2)如图②，某小区有一块五边形空地48CDE：,CDLDE,AE//CD,C8=CD=40/w,

4E=10米，NABC=/BCD=120°,物业想在这块空地中划出一块△MVP区域来种植

草皮，其他区域种植花卉.已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100

元.要求“，N,P分别位于”，ED,CD边上,旦MN//CD、要使种植费用的造价最

低，种植草皮的△脑VP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值.

E

图①图②

【分析】(1)过点/作加/，8。于“，根据三角函数求出4”,由中位线定理得出DE的

长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；

(2)延长交。C延长线于点G,要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即4

MNP面积最大，作于点F,设0〃=加，用加的代数式表示出的面积，

利用二次函数的性质求最值即可.

【解答】解：(1)过点/作AHLBC于H,

是等边三角形，D、E是边4B、ZC的中点，

J.DE//BC,DE=LBC=2,

2

•.1"=tan=4百，

XPDE的高为」,

2

/.△&)£的面积为微■XZXZ料=2F，

故答案为：

(2))延长N8交。C延长线于点G,

要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即AMN尸面积最大,

作A/尸_LZ)C于点F,

.../G8C=N8CG=60°,

...△G8C为等边三角形，

即GC=BC=40m,GD=GC+CD=SOm,

作〃F_LC£）于F,设GF=x,

则A//=GQtan60°=Mx,

,JMN//CD,MFLCD,NDLCD,

四边形MNZJF是矩形，

：.MN=FD=GD-GF=80-m,

:.S&MNP=^X（80-W7）X愿…率（m-40）2+80073.

：-亚＜0,

2

当加=40时，丛MNP的面积最大为800百，

作Z0_LMV于°,则MQ=A/N-NQ=MN-NE=80-40-10=30,

.*.N0=MQ・tan6O°=30^,

止匕时花卉种植面积为SJW/EOG-SABCG-SAMVP=*（10+80）X（30V3+40V3）--j-X

40X2073-800V3=1950V3.

.,.总费用为800Mxi00+1950百乂200=470000我（元），

即要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积最大，费用的最小值为470000

M元.

15.如图，在正方形Z8CD中，点£在8c边上，连接4E;在BC延长线上作连

接ZE交C。于点G,设CE：EBG(人＞0).

(1)若4B=2,入=1,求线段CF的长.

(2)连接EG,若G点为8的中点，①求证：EGLAF.②求人的值.

【分析】(1)根据/8=2,入=1,可以得到8E、CE的长，然后根据正方形的性质，可

以得到4E的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到E尸的长，从而可以

得到线段CF的长；

(2)①要证明点G为C。边的中点，只要证明△/OG丝△FGC即可，然后根据题目中

的条件，可以得到△NOG四△FGC的条件，从而可以证明结论成立；

②根据题意和三角形相似，可以得到CE和E8的比值，从而可以得到人的值.

【解答】解：(1)•••在正方形/8CO中，

:.NDAG=NF,

又..1G平分ND4E,

NDAG=/EAG,

：.NEAG=NF,

：.EA=EF,

*8=2,NB=90°，点E为5c的中点,

:.BE=EC=1,

：.AE=yjAB2+BE2=V5>

：.EF=yf5>

：.CF=EF-EC=4S-1；

(2)①证明：点G为CO的中点，

：.DG=CG,

在△NOG和△FCG中

2D=NGCF

<NAGD=NFGC，

DG=CG

.•.△/QG丝△FCG(AAS),

：.AG=FG,

"：AE=EF,

：.EGLAF；

②设CD=2a,则CG=a,

由①知，CF=D4=2a,

'：EG±AF,ZGCF=90°,

：.NEGC+NCGF=90°,NF+NCGF=90°，ZECG=ZGCF=90°,

・•./EGC=/F,

：.AEGCSAGFC,

.EC=GC

••而而'

VGC=a,FC=2a,

•.•—G-C_-~1,

FC2

.EC-1

••，

GC2

.•.EC=L,BE=BC-EC=2a-

222

1

EBJ.3

2a

16.如图，已知△4BC,点Q,E分别在SC,CA±,且满足4D=/8,EB=EC.

(1)用直尺和圆规确定点。，E；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接4D,EB,AD与EB交于点F.

①求证：△BDFs^CBA；

②若NB/C=90°,AB=3,AC=4,则。尸的长为皂.

一25一

【分析】(1)以/点为圆心18长为半径画弧交8c于点。，作8c的垂直平分线交4c

于E即可；

(2)①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似；

②过点4作4HLBD于点H,根据勾股定理求出8c的长度，刘勇三角函数求出8”,根

据等腰三角形的性质得出BD,再根据相似三角形对应边成比例求出DF即可.

【解答】解:(1)作图如下:

/ABD=NADB,

'：EB=EC,

：.NEBD=NC,

.♦.△BDFs/\CBA；

②过点A作AH±BD于点H,

VZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,

:,BC=^/AB2+AC2=V32+42=5)

•.♦cos48〃=地理，

ABBC

•.•BH_-3,

35

:.BH=^,

5

9

\AB=ADf

:.BD=2BH=退,

5

由①知

•••B—D——BC11■,

DFAB

18

即工工

DF3

解得。尸="，

25

故答案为：54

25

17.如图，△/8C是等腰直角三角形，AB=AC,点、D,E,尸分别在ZB,BC,ZC边上,

DE±DF,ZDEF=45°,的延长线与8c的延长线相交于点G.

(1)求证：ABDEsA