2021届高中数学综合、交汇习题集26

PAGEPAGE1《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……26篇x2y2

F(c,

F(c,0)

PFx已知椭圆a2

b2 b

0)左右焦点分别为1

，2 若椭圆上一点P满足 2 轴，

2y2

c2 相切，则该椭圆的离心率为（ ）43 1 2 6A．3 B．2 C．2 D．3xOy

2 y2在平面直角坐标系

中，已知双曲线E：x 1的左、右顶点分别为A，B，点P在圆C：4x32y221P与EM.记直线ABMPkk，1 2k3，则k2k3的取值范围是 .3fx的定义域为f2x2fxx12fxx1x2，2若对任意x1,m，都有fx1，则m的取值范围是（ ）22A．6 2

B．6

C．22

D．22y

fxy10xy

fx22x单递区是 .f(x)exg(x)kxf(x的单调递减区间为(0)F(x)f(x)g(x)有且只有一个零点，则k1；③若k(1,e)(e,)，则bR，使得函数f(x)b0恰有2个零点，x2，g(x)b0恰有一个零点且x2，x21.其中，所有正确结论的序号是 .6．圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0,b0)对称，则13的最小值是( )a b323

263

C．4 D．5133已知圆锥的高为3，底面半径为 若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上则这个球的体3积等于 f(x)ax3bx2cxd(a0)fxyfxfxfxfx=0，则称点f(x0)y

f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 g(x)

1 g

2 g

3 g2019= .2 2020 2020 2020 2020 为半圆2弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为3

，则该几何体的体积为（ ）A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π年1x万件与投入实体店体验安装的费用tx3

2t1

函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元产品每1万件进货价格为32万元若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元．ABCDOOAB，ADM、N，若ABmAM,ANnAD(m0,n0)，则m的最大值为（ ）n222A．1 B．2 C．2

D．2n n n n数列a的前项n和为S且满足2S3a3nN*若9(n对一切nN*恒n n n n如图，正方体ABCD的棱长为2，点O为底面的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若OP，则面积的最大值为（ ）4555A．25 B． C．45555

D．25已知F为双曲线E:x2y2 的左焦点过点F的直线与圆O:x2y21(a2b2)于5a2 b2

1(a

0,b 0) 2（A之间EFABP120则双曲线的离心率为（ ）1314B．13143 3

C． D．13 213 214 2已知实数a、b满足log2alog3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（ ）①abba；②aabb；③abba；④abaa；⑤bbba．个 B．2个 C．3个 D．4个《2021届高中数学综合、交汇习题集》第26篇参考答案1/【答案】A【解析】切点为

由通径长得PFb，由椭圆定义得 b，OMc2 2，OF

c，这M 2 a 2a a 2 11样可得出PF21

2

，即得a,b,c的等式，从而可求得离心率e．【详解】PF

2 2 c2如图，设直线 1与圆x

M，连接OM，4

c，2椭圆x2y2的左右焦点分别为Fc,0，F

c,0，a2PF

b2 1 12x轴，PF b，2

2b2 ，2 2 yP=

2a 2a aOMPF1，PF2x轴，OMF1∽PF2F1，OM OM

ac，即2b2

cb2，解得ec 3，PF1

2a a 3a故选：A.2.【答案】3 3,3 3 My0ABk24MPyk3x，yk3x与圆x32y221求解，即可得出结果.0【详解】0y2My0，因为直线EMx2014xy2

24y2，0 4E

2y2的左、右顶点分别为A1,0，B1,0，1x41xy y y2 4x24因此kkk k

000 0 4，12 MA

x1x1 x21 x210 0 0 0P在圆C：x32y221所以直线P与圆C：x32y221所以圆心2到直线的距离小于等于半径1，又kOPkMPk3，所以直线OP的方程为yk3x，即k3xy0，3k323所以圆心2到直线的距离为d1，即8k212k30，334

k

333，34

k21 3 3因此k2k34k333,3 3. 故答案为：3 3,3 3. 3.【答案】Cx(24]x(4,8x(8,16]f(x的值域，根据二次函数图像x(8,16]f(x)1m的最大值.【详解】Qf2x2fx,f(x)2f(x),2x12fxx1x2在3上递减，在3上递增，值域为[10]，2 2 4x(24]x2]f(x)2fx)2(1x1x2)，值域为[1,0]，2 2 2 2 2x(4,8x(24]f(x)

x 1

12)，值域为[1,0]，2f() xx2 22f() xx2f() x(8,16]x(4,8]f(2f()

x 1

12)在(8,12]上递减，在[12,16]上递增，且2x12f(x)minf，

2 8 8xx令f(x)8(1x1)(1x2)1，xx8 82解得1222,x2122 ，2即当8x122

1

fx0，当122

x122

时，f(x)1，222m122222

x1mfx1，2即m的取值范围是1,1222，2故选：C4.【答案】(,0)【解析】由反函数求出f(x)解析式，进而求出其单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性的性质，可求出所求的单调递减区间.【详解】10fx)logxlgx在0gxx22x，x22x0x0x2gx在0单调递减，10在2上单调递增.y故答案为:0.

fx22x的单调递减区间是,0.【答案】①③f(xx201，即可确定b，进而可判断③.【详解】x0f(x)e

exx0f(x)ex

ex1x单调递减，所以函数f(x)的单调()e()递减区间为(,0)；即①正确；0 0 ykxyexx0)yexx0)F(x)f(xg(x有且只有一个零yx与yex,(x0)切点为(x,ex0)yexex0k,Qex0xx,keykxyexx0)k0 0 由图可知x1x20,x31,则bk，所以③正确；故答案为：①③【答案】D【解析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】解：圆x2y22x6y10，(x1)2(y3)29圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0,b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，把圆心(1,3)代入直线axby30(a0,b0)，得：a3b30a3，a0，b013113(a110110

3b3a51a b

a b

3 a b3

a b 3 时取得最小值为51a b 3故选：D．32π【答案】3【解析】设圆锥的顶点为P，A为底面圆上一点，底面圆的半径为r，圆心为O1，设球心为O，球的半径为R，连结OA，可得OA2OA2OO2，即可求出R，由球体的体积公式V4πR3，可求出答1 1 33案.3【详解】PAr，圆心为设球心为O，球的半径为R，连结OA，

3，r ，则OA2OA2OO

2R2r23R2，1 1R233R2，解得R2.πR3

4π23

32π.故答案为：

32π.3

3 3 3【答案】0【详解】PAGEPAGE10由g(x)2x33x21可得g(x)6x26x，g(x)12x6，令g(x)12x60解得x1，g()2

21131113121=0，由题意可得函数g(x)2x33x21122222关于点2

2,0中心对称，所以g1xg(x)0，所以 g 1 g 2 g 3 2020 2020 2020 2020g

1 g2019g

2 g2018g10. 2 2020 2020 2 故答案为：09.【答案】A【详解】设D在底面半圆上的射影为D1，连接AD1交BC于O，设A1DB1C1O1.BC4ABACBAC90D为半圆弧的中点，BC且O分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，则与上下底面垂直，所以OB,OO1OA,OAOB，以OB,OA,OO1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为hh0，则B20D0hA002h，BD22h22h，由于异面直线BD和AB所成的角的余弦值为2，1 3BDBDAB BDAB1

2， 8h28h2h2h2即8

2,3

16,h4.12241424162 2故选：A【答案】37.5【解析】根据题意，得到t【详解】

23

1,(1x3)，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.x万件与投入实体店体验安装的费用tx3

2，t1即t

23

1,(1x3)，y48

t)x32x3t16xt316x 1 1162x 2 3x 21645.5[16(3x)

13

]45.52

37.5，当且仅当16(3x

13

x11时取等号，4即月最低利润为37.5万元.故答案为:37.5【答案】A【解析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得m12，再用基本不等式即可求得结果.n【详解】

11AO

AB2

AD，又ABmAM,ANnAD(m0,n0)，故可得

m

，又O,M,N三点共线，AO AM AN2 2n故可得m11，即m12.2 2n nm 1 1 12 故nmn4mn1，当且仅当mn1时取得最大值1. 故选：A.12.【答案】518 【详解】n12S13，，3，n22Sn13an13，2SnSn13nn12nnn1，an3an1，n 所以数列a33a3n，代入已知n9n3对一切nN*n

9n3n

nN

恒成立，当1n39n3001，3n 4n41，解得：5，9 18n5时，取

9n3

n311 1，n

bn1

3n

3 3n4所以bnbn1

n5时，数列n41b4

1，解得：5，9 18那么(41)an

9(nnN*恒成立，则实数的取值范围是5.18518 13【答案】CFOCOF，由线面垂直的判定与性质可得CFP的轨迹为线段CF的最大值即可得解.【详解】F，连接OF、CF、BO、，如图：因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，22所以BF1,DOBOOC ，222A1B1C1D1，C1D1平面BB1C1C，

，BB1平面ABCD，BB1平面OD2DDOD2DD21

6，OF

，

3，OB2BF23DB2BF211 1所以OD2OF2OB2BF23DB2BF211 11 1 1 1所以OD1OC，OD1OF，由OCOFO可得OD1平面OCF，所以OD1CF，所以点P的轨迹为线段