文科数学-全真模拟卷02（新课标Ⅲ卷）（2月）（解析版）

全真模拟卷02（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，解得：，，，.故选：B2．设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】，，因此，复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3．已知向量，，若，则x的值为（）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得.故选：D4．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员场比赛所得分数的甲乙茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲所得分数的中位数为 B．乙所得分数的极差为C．两人所得分数的众数相等 D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【详解】甲所得分数的中位数为，A正确，不符合题意；乙所得分数的极差为，B正确，不符合题意；甲所得分数的众数为，乙所得分数的众数也为，C正确，不符合题意；甲所得分数的平均数为，乙所得分数的平均数为，故甲所得分数的平均数大于乙所得分数的平均数，则D错误，符合题意．故选：D.5．在中，角的对边分别为，点D在边上，已知，，则（）A．8 B．10 C． D．【答案】A【详解】如图所示：在中，，由余弦定理可得，，得，因为，由正弦定理得，因为，得，因为，，所以，又因为，所以，，所以三角形为等边三角形，即.故选：A6．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】，是奇函数，故A错误；，故BD错误.7．已知函数的部分图象如图所示，则（）．A．1 B．-1 C． D．【答案】B【详解】由图象可得且，因为，故，故.由图象可得为轴右侧第一个最低点，故，故，故，所以，故选：B.8．在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（）．A．4 B．3 C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为，则，解得，设直三棱柱的高为，则，即，解得，所以直三棱柱的高为，故选：D9．已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设已知两直线交点为，由于两直线的斜率分别为和，因此它们垂直，则以为直径的圆过点，由，解得，即，过作轴垂线，为垂足，为圆与轴切点时圆半径最小，此时即为圆直径．所以圆半径为，面积为．故选：C．10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中①处可以填入（）A． B． C． D．【答案】C【详解】第一次循环：，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为7．所以判断框中的条件可填写“”．11．已知双曲线的左焦点为，、为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，设点在第一象限，因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上.，解得.又因为，所以.在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.12．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（）．A． B．C． D．【答案】C【详解】或，时，，，时，，递减；时，，递增，∴的极小值为，又，因此无解．此时要有两解，则，又是奇函数，∴时，仍然无解，要有两解，则．综上有．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.【答案】；【详解】由题意得，，所以，因为切线与直线垂直，所以，且，解得.14．若满足约束条件则的最大值为__________．【详解】由线性约束条件作出可行域如图，由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点时，取得最大值，由可得，所以，所以15．设为双曲线上的一个动点，点到的两条渐近线的距离分别为和，则的最小值为______.【答案】【详解】双曲线的渐近线方程是，设是双曲线上任一点，不妨设，，，∵在双曲线上，∴，即，所以，当且仅当，即或时等号成立．∴的最小值为．16．如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】【详解】平面，，将三棱锥补成长方体，

则三棱锥的外接球直径为，所以，，设球心为点，则为的中点，连接，、分别为、的中点，则，且，设过点的平面为，设球心到平面的距离为.①当时，；②当不与平面垂直时，.综上，.设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18．某保险公司给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示.年龄(单位：岁)保费(单位：元)6090120150180（1）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；（2）现分别在年龄段中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于260元的概率.【详解】（1）由题意得：，解得，设该样本年龄的中位数为，则，所以解得.（2）回访的这5人分别记为，，，，，从5人中任选2人的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，事件“两人保费之和大于260元”包含的基本事件有：，，，，共4种，所以这2人所交保费之和大于260元的概率.19．如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上（不含端点）的动点，．（1）证明：平面；（2）求到平面的距离．【详解】（1）证明：取的中点，连接，．因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四边形，则．因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：连接，，，记到平面的距离为，则到平面的距离为．在中，，高为，所以的面积为．因为三棱锥的高为，所以的体积为．在中，，，所以的面积为．因为的体积与的体积相等，所以，所以．故到平面的距离为．20．已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，(为坐标原点).直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【详解】解：（1）由题意可得解得，（2）设直线的方程为，，联立整理得，则，因为，所以，所以所以，即整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、．①求的取值范围；②证明：．【详解】（1）函数的定义域为，.（i）当时，对任意的，，在上单调递增；（ⅱ）当时，若，则，在上单调递增；若，则，在区间上单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）①令，可得，令，其中，由于函数有两个零点、，所以，函数与函数的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值所以，函数的极小值为，如下图所示：当时，，由图象可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，因此，所求的取值范围为；②由题意，两式作差可得，则，两式相加得，要证，只要证，即，只要证，即证，即证，其中且，令，，所以，函数在上单调递增，则，即，故不等式成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求.【详解】（1）∵，，∴，的普通方程为，由可得，故的普通方程为.（2）的参数