2020-2021数学北师大版1课时作业8 映射含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学北师大版必修1课时作业8映射含解析课时作业8映射时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列集合A到集合B的对应关系f是映射的是(A）A．A＝｛－1,0，1｝，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1},B＝{－1,0,1},f:A中的数开方C．A＝Z，B＝Q,f:A中的数取倒数D．A＝R，B＝｛正实数}，f：A中的数取绝对值解析：B中元素1在f下有两个元素±1与之对应，不是映射;C中元素0无倒数，不是映射;D中元素0在B中无元素与之对应,不是映射．2．已知集合M＝｛a，b}，集合N＝｛0，1｝，下列对应不是M到N的映射的是(C)解析：A、B、D均满足映射的定义,C不满足，因为映射是M中任一元素在N中都有唯一元素与之对应,但选项C的集合M中，元素b在N中无元素与之对应．3．已知(x,y）在映射下的像是（x＋y，x－y)，则像(1,2）在f下的原像为(D）A．(eq\f(5，2)，eq\f(3,2）) B．(－eq\f（3，2）,eq\f（1,2))C．(－eq\f（3,2),－eq\f(1，2)） D．（eq\f(3,2),－eq\f(1,2）)解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，x－y＝2))，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(3,2),y＝－\f（1，2）)）。∴原像为(eq\f（3，2),－eq\f（1，2)）．4．设A＝｛x|0≤x≤2｝，B＝｛y｜1≤y≤2｝，下列能表示从集合A到集合B的映射的是(D）解析:对于A，当x＝0时，y＝0∉｛y｜1≤y≤2｝,不是从A到B的映射；对于B，当x＝2时，y＝0∉{y|1≤y≤2}，也不是从A到B的映射；对于C，当x＝0时，y＝1且y＝2，即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应,所以也不是从A到B的映射;对于D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．5．设集合A和集合B都是实数集R，映射f:A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，则在映射f下，像1的原像所组成的集合是（B）A．{1} B．{0，1，－1}C．｛0｝ D．{0，－1，－2}解析:由题意可知f（x）＝x3－x＋1,当f（x)＝1时,解得x＝0，±1。6．已知集合A＝｛1,2,3，4｝,B＝{a,b，c｝,f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有(A）A．7种 B．4种C．8种 D．12种解析：值域C可能为：只含有一个元素时,有{a}，｛b｝，｛c｝，共3种；有两个元素时，有{a,b}，｛a,c｝，{b,c}，共3种；有三个元素时，有{a，b，c}，共1种．所以值域C的不同情况共有3＋3＋1＝7（种）．故选A.7．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1，2，3，4｝,集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是｜a|，则集合B中的元素的个数是(A）A．4 B．5C．6 D．7解析：∵a∈A，A＝｛－3,－2，－1，1,2，3，4}，∴|a｜＝1，2,3，4，即B＝{1，2,3,4}．8．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f:y＝－｜x｜＋2，x∈A,y∈B，对于实数m∈B，在集合A中不存在原像，则m的取值范围是（A）A．m〉2 B．m≥2C．m<2 D．m≤2解析:∵y＝－|x|＋2≤2，∴y的值域为{y|y≤2}，又∵m∈B且在A中不存在原像，即m∉{y|y≤2}，故m>2，故选A.二、填空题9．a，b为实数，集合M＝｛eq\f(b,a)，1}，N＝{a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a＋b的值等于1。解析：因为f：x→x,∴M＝N，∴eq\f（b，a）＝0，a＝1，故a＋b＝1。10．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x,y)｜x∈R，y∈R｝，f:(x，y）→(kx，y＋b)，若B中的元素（6，2）在此映射下的原像是（3，1），则k＝2，b＝1。解析：当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,,y＝1）)时,eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(kx＝3k＝6,,y＋b＝b＋1＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝2，，b＝1。))11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密）,接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b,c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d,4d。例如,明文1,2,3，4对应密文5，7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为6,4,1,7。解析：根据题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14,,2b＋c＝9,,2c＋3d＝23，,4d＝28，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝6,,b＝4，，c＝1,,d＝7.)）∴明文为6，4，1,7。三、解答题12．已知集合A到集合B＝{0，1，2,3｝的映射f：x→eq\f(1,｜x｜－1）,试问集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.解:∵f：x→eq\f(1，｜x｜－1）是从集合A到集合B的映射，∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．令eq\f(1，|x|－1)＝0,该方程无解．故0没有原像．分别令eq\f（1，|x｜－1)＝1,2,3，可得x＝±2，±eq\f(3，2），±eq\f(4，3)。故集合A中的元素最多为6个,即A＝｛2，－2，eq\f(3，2)，－eq\f（3,2），eq\f(4，3），－eq\f(4，3)}．13．已知集合A＝｛a1，a2,a3,a4}，B＝{0,1，2,3｝，f是从A到B的映射．(1）若B中每一元素都有原像,这样不同的f有多少个？（2）若B中的元素0必无原像，这样的f有多少个？（3)若f满足f(a1)＋f（a2)＋f（a3）＋f（a4）＝4，这样的f又有多少个?解：(1）显然对应是一一对应的，即为a1找像有4种方法，a2找像有3种方法，a3找像有2种方法，a4找像有1种方法,所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个）．（2）0必无原像,1，2,3有无原像不限，所以为A中每一元素找像时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个）．(3)分为如下四类:第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有12种方法；第三类，A中有两个元素对应2,另两个元素对应0，有6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3,另两个元素与0对应,有12种方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31（个)．——能力提升类—-14．若一系列函数的对应关系相同，值域相同,但定义域不同，称这些函数为“孪生函数"，则对应关系为f:x→y＝2x2＋1、值域为{5,19}的函数的“孪生函数”共有9个．解析：令2x2＋1＝5，得x＝±eq\r（2),令2x2＋1＝19，得x＝±3，则对应关系f：x→y＝2x2＋1，值域为｛5，19｝的定义域可以为｛eq\r(2）,3}，｛－eq\r(2)，3}，{eq\r(2)，－3｝，｛－eq\r(2），－3},｛eq\r(2），－eq\r(2),3}，{eq\r（2），－eq\r(2），－3}，{eq\r(2)，3,－3｝，｛－eq\r（2)，3,－3｝，{eq\r（2)，－eq\r(2)，3，－3}，所以所求的“孪生函数”共有9个．15．已知映射f：A＝B＝｛（x，y）｜x∈R，y∈R}，f：(x,y)→（x＋2y＋2,4x＋y)．（1）求A中元素（5,5）的像；（2）求B中元素（5,5）的原像；（3)A中是否存在这样的元素(a，b），使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素;若不存在，请说明理由．解：(1）∵x＝5，y＝5，∴(x＋2y＋2，4x＋y）＝（17，25）．∴A中元素（5，5）的像是(17，25)．（2)设元素(5，5）的原像是（m，n)，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋2n＋2＝5，，4m＋n＝5，））∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1,））∴（5,5）的原像是（1,1）．(3）假设A中存在这样的元素（a，b）,则由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\