文科数学-全真模拟卷03（新课标Ⅲ卷）（解析版）

全真模拟卷03（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，或，则=（）A． B．C．或 D．【答案】B【详解】因为，或，所以.故选：B.2．若直线与曲线有交点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得：，，如图所示，符合题意的直线夹在，之间，的斜率为，直线与曲线相切时有，解得或所以的斜率为所以k的取值范围是故选：A3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.4．已知单位向量，满足，则与的夹角是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【详解】因为单位向量，满足，所以，解得，所以，，因为，所以，故选：C5．已知函数恒过定点，且点在椭圆上，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知：函数恒过定点又点在椭圆上，所以又所以当且仅当，即时，取等号.故的最小值为96．设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个对称中心为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在单调递减【答案】D【详解】由函数，选项A.的对称中心满足则，当时，，所以为的一个对称中心，故A正确；选项B：的对称轴满足：即，当时，，故B正确；选项C：令，得，故C正确；选项D：由的增区间满足，当时，，所以在单调递增，故D错误，7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（）A． B．或 C． D．或【答案】D【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，可得，所以，又由，所以或.故选：D.8．已知三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由三棱锥的三条侧棱两两垂直，且可把三棱锥补成一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球和补成的长方体的外接球为同一个球，设外接球的半径为，可得，解得，所以外接球的表面积为.故选：D.9．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】在抛物线上，故，即，抛物线方程为，设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线.联立，得，故，由得，故，联立，得，故，由得，故，故，又由在抛物线上可知，直线的斜率为，故直线的方程为，即.10．已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：令，即，即与有两个交点，分别画出与的图象，如下所示：由图可知：当时，即时，与有两个交点，故.11．已知双曲线的两个焦点是、，点在双曲线上．若的离心率为，且，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【详解】在双曲线中，，，因为双曲线的离心率为，，，由双曲线的性质可知，由双曲线的定义可得，解得或.12．数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论：①存在正整数，使得；②存在正整数，使得；③记则数列有最小项，其中所有正确结论的序号是（）A．① B．③ C．①③ D．①②③【答案】C【详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整数，使得，所以①正确；由，可得当时，，且单调递增，当且时，可得，，所以；当且时，，当且仅当时等号成立，综上可得，不存在正整数，使得，所以②不正确；由数列的通项公式为，可得，且当时，，且单调递增，所以，所以当时，数列有最小项，所以③正确.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．小赵、小钱、小孙、小李每人去、、、四地之一，去的地方各不相同．小赵说：我去小钱说：我去或或地；小孙说：我去地；小李说：我去地；①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．（填写你认为正确的序号）【答案】③或④【详解】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了地、地、地，则小赵去了地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.同理，若小钱说错了，则小钱必须去地，这与小赵去地矛盾，所以小钱说对了.若小孙说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.若小李说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.14．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值是________．【答案】9【详解】画出表示的可行域，如图所示：，可得交点，可变为，当过点时，有最大值，且为9.15．某城市2018年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．【答案】【详解】由题意可知，时，空气质量达到良或优，故该城市2018年空气质量达到良或优的概率为.16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成的角的余弦值为，SA与圆锥底面所成的角为45°，若的面积为，则圆锥的侧面积为_________．【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，因为SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的母线长，因为母线SA，SB所成的角的余弦值为，所以母线SA，SB所成的角的正弦值为，所以，所以，解得，所以，所以圆锥的侧面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求的通项公式．【详解】（1）由可得：因为各项都为正数，所以，所以是公比为3的等比数列.（2）构造，整理得：所以，即所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以（）18．为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的100名中学生是否近视的情况，得到三个列联表如表所示．甲地区乙地区丙地区近视不近视合计近视不近视合计近视不近视合计男212950男252550男232750女193150女153550女173350合计4060100合计4060100合计4060100（1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率；（2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地区分别是哪个地区？附：，其中．【详解】解：（1）甲地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为，乙地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为（2），，，因为，所以，故在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱．19．如图，在三棱锥中，（1）证明：平面平面．（2）在侧面内求作一点H，使得平面，写出作法（无需证明），并求线段的长．【详解】（1）证明：因为，所以，则因为，平面所以平面，又平面所以平面平面（2）解：（作法）取的中点E，连接，过作，垂足H即为要求作的点如图因为，平面，所以平面，连接，则由（1）知，则，则由等面积法可得，故．20．已知椭圆右焦点，是分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，三角形的面积.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点，点，若(是坐标原点)，求的值.【详解】（1）由题：，，设，则，又，代入可得，所以椭圆方程为（2）联立方程组得，设，所以，解得；则由，可得，即，即，解得.满足.故21．已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）若方程有三个不同的解，求b的取值范围．【详解】（1）当时，，，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：12300可得当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，在上的值域为；（2）方程有三个不同的解，即有三个不同的解，由（1）知，在单调递增，在单调递减，在处取得极大值为，在处取得极小值为，，解得.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.【详解】（1）消去，可得；曲线的极坐标方程为.由，，，可得，即曲线的直角