理科数学-全真模拟卷02（新课标Ⅱ卷）（解析版）

全真模拟卷02（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数的实部为1，则其虚部为A． B． C． D．【答案】A【解析】详解：∵z=（2﹣ai）（1+i）=2+a+（2﹣a）i的实部为1，∴2+a=1，即a=﹣1．∴其虚部为3．2．若集合,,则集合()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，又，所以.3．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以.4．现有人坐成一排，任选其中人相互调整座位（这人中任何一人都不能坐回原来的位置），其余人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意，分步进行分析：①从人中选出人，相互调整座位，有种选法；②记选出相互调整座位的人分别为、、，则有种坐法，、只有种坐法，、、相互调整座位有种情况．因此，则不同的调整方案有种，5．刍甍，中国古代数学中的一种几何体.《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．14 B． C．16 D．【答案】B【详解】根据三视图画出其立体图形：如图茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为；等腰三角形的底边长为2，高为，故侧面积为．即需要茅草覆盖面积至少为，6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】作出不等式组表示的可行域,如图，设，由图可知，当直线经过点时，取到最大值，联立可得，代入可得取得最大值．7．申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下，A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知其中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）A．A同学 B．B同学C．C同学 D．D同学【答案】A【详解】假设参赛的是A同学，则A、C同学估计正确，B、D同学估计错误，则只有2人的估计是正确，即参加联赛的是A同学；假设参赛的是B同学，则B、C、D同学估计正确，A同学估计错误；假设参赛的是C同学，则A、B、C、D同学估计错误；假设参赛的是D同学，则A、B、C同学估计错误，D同学估计正确；8．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1010项和【答案】C【详解】由程序框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和．9．已知椭圆与抛物线的交点为A，B．A，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由抛物线和椭圆的对称线可设，，将点代入椭圆和抛物线方程可得，所以，所以．10．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，当且仅当时取等号，因为侧面与底面成角，则，，，所以，故外接球的表面积为.11．已知等边的面积为，动点在的边上，若线段为内切圆的一条直径，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设的边长为，则，解得，设内切圆圆心为，，可知当点在的顶点位置时，有最大值，此时，，故实数的取值范围为.12．若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题：,即解得.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，，若，则实数m＝_____．【答案】【详解】由，，所以，又因为，所以，解得，14．已知的展开式中的常数项为60，则__________.【答案】【详解】的展开式通项公式为：，当时，即当时该项为常数项，因为的展开式中的常数项为60，所以，15．一个圆的圆心在抛物线上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，则该圆的标准方程是_________.【答案】【解析】试题分析：抛物线的顶点和焦点分别是（0,0）和（4,0），所以圆心在直线上，将代入得，即圆心为，从而圆的标准方程为.16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则______.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）【答案】【详解】如图，连接PQ，则PQ中点为球心O，PQ与平面ABC交于，即三角形ABC中心，且平面，设三角形ABC边长为2，取AB中点E，连接CE，PE，则在上，且，即为的侧面与底面所成的角，，，设球半径为R，在直角三角形中，，即，解得，,则，.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，解得或，所以或；（2）当时，，此时；当时，，此时.18．师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数．（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．【详解】（1）设表示所取人中有个人是“极幸福”，至多有人是“极幸福”记为事件，则由茎叶图可得：；（2）由题意，的可能取值为，，，，从该社区任选一人，幸福度为“极幸福”的概率为，所以，则，，，，则的分布列为：

∴期望为.19．在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，侧面为等边三角形，、分别为、的中点，平面，，，，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【详解】（1）在中，、分别为、的中点，，又因为平面，平面，所以平面，（2）过作的平行线交于点，以为建立空间直角坐标系，如图：由侧面为等边三角形，，，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则.20．已知椭圆C:，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．（1）求椭圆C的方程；（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；【详解】试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，则由题意的，解得所以椭圆C的方程为.（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，若k＝0，则A（，0）或（－，0），B（0，2），此时ΔAOB面积为，AB＝．若k≠0，则直线OA：y＝kx与椭圆联立得：（1＋2）＝2，可得OA＝直线OB：y＝x与y＝2联立得：B（－2k，2），则OB＝2，SΔOAB＝OA×OB＝，令t＝>1，则SΔOAB＝，所以SΔOAB的最小值为，在k＝0时取得，此时AB＝．21．设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若a＝1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．【详解】(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，所以，当时，解得，当时，解得，所以函数f(x)的单调减区间是，单调增区间是.（2），因为函数f(x)在区间(0，1]上是减函数，所以在区间(0，1]上恒成立，所以在区间(0，1]上恒成立，令在区间(0，1]上是减函数，所以所以，所以实数a的取值范围是．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）（1）已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．（2）把曲线C1：化为极坐标方程．【详解】（1）由，得，所以．由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以．即点A到直线l的距离为；（2）将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)＝|2x－3|.（1）求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；（2）若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．【详解】（1）因为f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，所以当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，所以x>2；当－2<x<时，原不等式化为(3－2