专题08 解密二项分布和超级几何分布的区别（解析版）

专题8解密二项分布和超级几何分布的区别一、填空题1．（2020·广东省深圳中学高三期末）已知随机变量，，若，，则__________．【答案】【解析】∵随机变量服从，∴，解得：.又，∴故答案为：0.12．（2020·湖北省高三月考）“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较髙，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有n个水平相同的人也在相互独立地研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5，这个人的团队解决项目M的概率为，若，则n的最小值是______________.【答案】5【解析】依题意,设个人组成的团队不能解决项目的概率为.故当时,,因为,故.即的最小值是5.故答案为：53．（2020·北京高三期末）春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】由题意可知：∴，即,∴故答案为：二、解答题4．（2020·山西省大同一中高三月考）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率;（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.【答案】（I）；（II）分布列见详解；期望为.【解析】（I）设“世博会会徽”卡有张，由故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为；（II）；

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．5．（2020·钦州市第三中学高三月考）2020年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部50人，B镇有基层干部80人，C镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图．（1）求这40人中有多少人来自B镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X，求X的数学期望．【答案】（1）16人，5700户（2）【解析】（1）A，B，C三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B镇应选取（人）40名基层干部走访贫困户的平均数量x为用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为（户）（2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，则，，，，，所以X的分布列为X43210P6．（2020·山东省潍坊一中高三月考）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析【解析】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）由题意，的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量的分布列为：012故；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从市到市．7．（2020·湖北省高三）某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表男生身高（单位：厘米）频数710191842女生身高频数分布表女生身高（单位：厘米）频数31015633（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在的概率；（3）在样本中，从身高在的女生中任取3名女生进行调查，设表示所选3名学生中身高在的人数，求的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）【答案】（1）（名）（2）0.49（3）详见解析【解析】（1）样本中男生为60名，女生为40名.估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）.（2）由表知样本中身高在的人数为，样本容量是100，样本中身高在的概率为.估计这1000名学生中身高在的概率为0.49.（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3.，，，.的分布列为0123.8．（2020·陕西省西北工业大学附属中学高三月考）小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）A（0~2000步）1人，B（2001-5000步）2人，C（5001~8000步）3人，D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？健康型进步型总计男20女20总计40（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望．附：．【答案】（I）列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为.【解析】（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：健康型进步型总计男20女20总计221840所以，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II）女性好友超过步的有人，男性好友超过步的有人，共有人超过步，从中抽取人，其中女性好友的人数的可能取值为.且，，.所以分布列为数学期望为.9．（2020·广东省高三月考）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布.（1）从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率；（2）现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差.参考数据：若，则，，.【答案】（1）0.84；（2）【解析】（1）因为学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，，所以.（2）因为总体平均分为，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以的可能取值为0，1，2，3则，，，，所以，.10．（2020·重庆南开中学高三月考）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级比例赋分区间而等比例转换法是通过公式计算：其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分等级设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：，即：，所以，得：，显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，，，则分布列为0123则期望为：11．（2020·山西省高三月考）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度(含4200度)，执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：用户编号12345678910年用电量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.【答案】（1）2822.38元（2）见解析（3）k＝4.【解析】(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4.,，,，故的分布列为01234所以．（3）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知，由,解得，，所以当时概率最大，故.12．（2020·湖南省高三月考）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．【答案】（1）（2）（3）①②【解析】（1）如果,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为检测结果恰有两份次品的概率．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,由已知得,的所有可能取值为,=要减少检验次数,则,则∴,,即,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为,,则由（2）知,,,②设这组采用混合检验的检验次数分别为,,,,,,且检验总次数,,,所以检验总次数的数学期望．13．（2020·海南省海南中学高三月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）平均温度21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714（1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式.【答案】（1）更适宜，；（2）①，；②，【解析】（1）根据散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；对两边取自然对数，得；令，得；因为，；所以z关于x的回归方程为；所以y关于x的回归方程为；（2）（i）由，得，因为，令，得，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，；（ii）由（i）知，当取最大值时，，所以，所以X的数学期望为，方差为.14．（2020·全国高三月考）为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“，，”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示.测试分数的范围分数对应的等级贡献的积分等1分等2分等3分（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“等”和“非等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“等”的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“等”的人数为，求的分布列和数学期望；（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为和，用样本估计总体，求和的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色