2020-2021数学北师大版1-2课时作业7 3.1.1归纳推理含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学北师大版选修1-2课时作业73.1.1归纳推理含解析课时作业7归纳推理时间：45分钟满分:100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为(）□●▲▲■○●△A.■B．△C．□D．○【答案】A【解析】图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．2．已知数列｛an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r（3)，\r（3)an＋1）（n∈N＋)，则a20等于(）A．0 B．－eq\r（3）C。eq\r(3） D.eq\f(\r（3)，2)【答案】B【解析】a2＝eq\f(0－\r（3)，0＋1）＝－eq\r(3),a3＝eq\f(－\r（3）－\r(3),－\r(3)·\r（3)＋1)＝eq\r（3)，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－eq\r(3），eq\r（3）依次重复出现．因为20＝3×6＋2,所以a20＝－eq\r(3).3．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在第1,2，3,4号座位上(如图所示），如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位,…，这样交替进行下去,那么第2009次互换座位后,小兔坐在第()号座位上．(）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得第4次互换座位后,四个小动物回到了原位，即每经过4次互换座位后,小动物回到原位,所以第2009次互换座位后的结果与第1次互换座位后的结果相同，小兔坐在第1号座位上．故选A。4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是（）A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31。5．我们把1,4，9，16，25,…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形（如下图)，则第n个正方形数是（）A．n(n－1） B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1）2【答案】C【解析】第n个正方形数的数目点可排成每边都有n个点的正方形,故为n2.6．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于（)1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113【答案】B【解析】由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1111111。7．观察（x2)′＝2x，(x4）′＝4x3，(cosx）′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f（－x)＝f（x），记g（x）为f(x)的导函数，则g（－x)＝（)A．f(x) B．－f（x)C．g(x) D．－g(x)【答案】D【解析】通过观察所给的结论可知，若f（x)是偶函数,则导函数g（x）是奇函数，故选D。二、填空题（本大题共3个小题,每小题7分，共21分)8．考查下列式子：1＝12;2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的结论是_________________．【答案】n＋(n＋1)＋（n＋2)＋…＋（3n－2）＝(2n－1）2【解析】从数值特征看，等式左边首数为n时，共有连续2n－1个数，右边为(2n－1）2。9．经计算发现下列正确不等式：eq\r(2)＋eq\r（18)〈2eq\r（10)，eq\r（4.5)＋eq\r(15.5）〈2eq\r（10），eq\r（3＋\r（2）)＋eq\r（17－\r(2))〈2eq\r（10)，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a,b成立的条件不等式:________.【答案】当a＋b＝20时,有eq\r(a)＋eq\r（b）≤2eq\r(10）(a〉0,b>0）【解析】各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20。10．观察下列不等式1＋eq\f(1,22）〈eq\f(3,2），1＋eq\f（1，22）＋eq\f(1，32）〈eq\f（5,3)，1＋eq\f(1，22）＋eq\f(1，32）＋eq\f(1,42）<eq\f（7，4）,……照此规律，第五个不等式为__________________．【答案】1＋eq\f（1,22）＋eq\f(1,32）＋eq\f(1，42）＋eq\f（1，52）＋eq\f（1,62）〈eq\f(11,6)【解析】本题考查了归纳的思想方法．观察可知1＋eq\f（1,22)＋eq\f(1，32)＋…＋eq\f（1,n2)〈eq\f(2n－1，n），所以第五个不等式为：1＋eq\f（1，22）＋eq\f(1，32）＋eq\f（1，42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1，62)〈eq\f（11,6)。在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分,13题16分,共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2，3)且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，计算S1，S2，S3,S4，并猜想Sn的表达式．【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＋eq\f(1，Sn）＋2＝Sn－Sn－1.∴eq\f（1,Sn）＋Sn－1＋2＝0.当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2）＝－2－S1＝－eq\f(4，3）,∴S2＝－eq\f(3，4）；当n＝3时，eq\f（1,S3)＝－2－S2＝－eq\f（5，4），∴S3＝－eq\f(4,5);当n＝4时,eq\f（1，S4)＝－2－S3＝－eq\f（6，5），∴S4＝－eq\f(5,6)。猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2）（n∈N＋）．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；⑤sin2（－25°)＋cos255°－sin(－25°）cos55°。（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2)根据（1）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解析】解法一：(1)选择(2）式，计算如下:sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f（1，2）sin30°＝1－eq\f(1，4）＝eq\f（3，4).(2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos(30°－α)＝eq\f（3,4）。证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f（3，4）cos2α＋eq\f（\r(3)，2)sinαcosα＋eq\f（1,4）sin2α－eq\f（\r(3)，2)sinαcosα－eq\f(1,2）sin2α＝eq\f(3，4)sin2α＋eq\f（3，4)cos2α＝eq\f(3，4）.解法二:（1)同解法一．（2）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α）＝eq\f（3,4）.证明如下:sin2α＋cos2（30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f（1＋cos60°－2α，2)－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）＝eq\f（1,2）－eq\f(1,2）cos2α＋eq\f(1，2)＋eq\f（1,2）(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f（\r(3)，2)sinαcosα－eq\f（1，2）sin2α＝eq\f(1，2）－eq\f（1,2)cos2α＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，4)cos2α＋eq\f(\r（3），4)sin2α－eq\f(\r(3），4)sin2α－eq\f（1，4）（1－cos2α）＝1－eq\f(1，4）cos2α－eq\f（1,4)＋eq\f(1，4)cos2α＝eq\f(3，4）.13．设{an}是集合{2t＋2s｜0≤s<t且s,t∈Z｝中所有的数从小到大排列组成的数列，即a1＝3,a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表．35691012__________________（1）写出这个三角形数表的第四行与第五行各数；（2）求a100。【解析】（1）第四行的数分别为17、18、20、24，第五行的数分别为33、34、36、40、48.（2)设n为an的下标，三角形数表第一行第一个元素下标为1。第二行第一个元素下标为eq\f(2×2－1,2)＋1＝2.第三行第一个元素下标为eq\f(3×3－1，2）＋1＝4.……第t行第一个元素下标为eq\f(tt－1，2）