2020-2021人教版数学2课时2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修2课时分层作业：2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质含解析课时分层作业(十五)直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质(建议用时：45分钟）一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（）A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行B[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]2．已知m，n为两条不同直线，α,β为两个不同平面,给出下列命题:①eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m⊥α，m⊥n)）⇒n∥α；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥β，n⊥β））⇒m∥n；③eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β）)⇒α∥β；④eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m⊂α,n⊂β，α∥β)）⇒m∥n.其中正确命题的序号是()A．②③ B．③④C．①② D．①②③④A［①中n，α可能平行或n在平面α内;②③正确；④两直线m,n平行或异面，故选A。］3．如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α,垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A。EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB［因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B。］4．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥αB[A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α。］5．如图，点P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADD[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD。又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD,则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D。］二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．6[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.］7．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α,m∩n＝M,直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a,b的位置关系是________．a∥b[因为直线a⊥m,a⊥n，直线m⊂平面α,直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b。］8．空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图,过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD。∴∠ADO＝45°。]三、解答题9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC,PD于E，F,G,求证：AE⊥PB.［证明]因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE,因为PC∩BC＝C,所以AE⊥平面PBC。因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.10．如图,已知平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，[解］连接BC.∵α⊥β,α∩β＝AB,BD⊥AB，∴BD⊥平面α。∵BC⊂α,∴BD⊥BC，在Rt△BAC中,BC＝eq\r（AC2＋AB2）＝eq\r（32＋42)＝5，在Rt△DBC中，CD＝eq\r（BC2＋BD2）＝eq\r（52＋122)＝13，∴CD长为13cm1．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN,且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM,EN是异面直线B［取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD。设正方形ABCD的边长为2,则EO＝eq\r（3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2。过M作CD的垂线,垂足为P，连接BP,则MP＝eq\f(\r（3），2）,CP＝eq\f(3，2）,所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，2)))eq\s\up10（2）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)））eq\s\up10(2）＋22＝7，得BM＝eq\r(7），所以BM≠EN。连接BD,BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点,即EN，MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线，选B。]2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB,DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．eq\r(6)［取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2）。因为平面ABCD⊥平