2020-2021数学人教版选择性第二册课时4.2.1 第2课时 等差数列的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册课时分层作业：4.2.1第2课时等差数列的性质课时分层作业(四）等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知数列｛an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an｝的公差d等于（)A．－1B．－2C．－3D．－4C[由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6,d＝－3。]2．已知数列｛an｝满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2），a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9,即a3＋a4＝(）A．6 B．7C．8 D．9B［∵2an＝an－1＋an＋1,∴{an｝是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7。］3．在等差数列｛an｝中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝(）A．10 B．15C．20 D．25C［由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d)＝20，故选C.]4．下列说法中正确的是（)A．若a，b,c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b,c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a,b,c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列C[因为a，b,c成等差数列,则2b＝a＋c,所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2）＝（a＋2)＋(c＋2),所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．］5．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位）,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为(）A．eq\f(5,4)钱B．eq\f（4,3）钱C．eq\f(3，2)钱 D．eq\f（5,3)钱B［根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d,a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5, ①a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， ②联立①②得a＝1，d＝－eq\f（1，6)，则甲所得为1－2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,6)）)＝eq\f（4,3).]二、填空题6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________。132［在等差数列｛an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33。∴a45＝33＋3×33＝132.］7．若a,b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．1或2［∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c,∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c）2－4ac＝(a－c）2≥0。∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8．（一题多空)在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃,则2km,4km，8km高度的气温分别为________、________、________.2℃－11℃－37℃［用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8。5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8。5＋4d＝－17.5,解得d＝－6。5，∴an＝15－6。5n。∴a2＝2,a4＝－11，a8＝－37，即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.］三、解答题9．在等差数列｛an}中,若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．［解］法一：设｛an｝的首项为a1，公差为d,则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4,∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d）×4×(4＋5d）＝28，即d＝±eq\f（3，5)。当d＝eq\f(3,5)时，a1＝－eq\f（1，5），an＝eq\f（3,5）n－eq\f(4,5)；当d＝－eq\f(3，5)时，a1＝eq\f(41，5)，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f（44，5）.法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.a3a8a13＝（a8－5d)a8（a8＋5d）＝28，∴16－25d2＝7，∴d＝±eq\f（3,5）。当d＝eq\f(3，5)时,an＝a8＋(n－8）d＝eq\f（3,5)n－eq\f（4,5)；当d＝－eq\f(3,5）时,an＝－eq\f（3,5）n＋eq\f(44,5)。法三:∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a3＋a13＝8,,a3a13＝7，）)∴a3,a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a3＝1，，a13＝7））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a3＝7,,a13＝1。))由a3＝1,a13＝7，得d＝eq\f（a13－a3，13－3)＝eq\f（3,5），∴an＝a3＋(n－3)d＝eq\f（3，5)n－eq\f（4,5）.同理,由a3＝7，a13＝1,得an＝－eq\f（3,5）n＋eq\f（44,5）.10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．［解]法一：设这三个数为a，b，c(a<b〈c），则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝18,，a2＋b2＋c2＝116，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，，b＝6，,c＝8.))法二:设这三个数为a－d,a，a＋d,由已知得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－d＋a＋a＋d＝18，①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②））由①得a＝6，代入②得d＝±2,∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4，6,8.11．（多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列｛an}的四个命题，正确的是（)A．数列{an}是递增数列B．数列{nan｝是递增数列C．数列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（an,n)))是递增数列D．数列{an＋3nd}是递增数列AD[在等差数列｛an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b,则nan＝dn2＋bn,当b＜0时,可能是先减后增,∴B错误；eq\f(an,n）＝eq\f（dn＋b,n)＝eq\f(b,n)＋d.当b＞0时,数列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f（an，n）)）递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列．故D正确,应选AD。］12．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的eq\f（1，7)是较小的两份之和，则最小的一份的量为(）A．eq\f(5，2）个B．eq\f(5，4)个C．eq\f（5,3)个D．eq\f（5,6)个C［易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d（d＞0），根据题意，有［20＋（a1＋3d）＋（a1＋4d）]×eq\f(1，7）＝a1＋(a1＋d），解得a1＝eq\f（5，3）.故最小一份的量为eq\f(5，3)个，故选C。］13．(一题两空）设数列｛an}，{bn｝都是等差数列，且a1＝25，b1＝75,a2＋b2＝100,则a3＋b3＝________，an＋bn＝________.100100［设两个等差数列的公差分别为d1,d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2,即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0。∴a3＋b3＝a1＋b1＝100,∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn｝是常数列，即an＋bn＝100。]14．若m≠n，两个等差数列m,a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq\f（d1,d2)的值为________．eq\f（4，3)[n－m＝3d1，d1＝eq\f（1，3）(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f（1,4）(n－m）．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3）n－m，\f（1，4)n－m)＝eq\f(4，3)。]15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请您根据提供的信息说明，求:(1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；（2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3）哪一年的规模最大？请说明理由．［解］由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an｝，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn｝,公差为d2，且b1＝30，b6＝10.从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列｛cn}，则cn＝anbn。（1）由a1＝1，a6＝2，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝1，，a1＋5d1＝2,））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝1，，d1＝0。2）)⇒a2＝1。2;由b1＝30，b6＝10，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,d2＝－4)）⇒b2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31。2。（2）c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．(3）∵an＝1＋(n－1）×0.2＝0.2n＋0。8，bn＝30＋(n－1)×（－4)＝－4n＋34（1≤n≤6