2020-2021数学北师大版第一册课时分层作业47数学建模活动（一）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册课时分层作业47数学建模活动（一）含解析课时分层作业(四十七）数学建模活动(一）（建议用时：40分钟）1．A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电,为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ＝0。25.若A城供电量为20亿度/月，(1）求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．[解]（1）x的取值范围为[10,90]；(2）y＝0。25×20x2＋0。25×10（100－x)2＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2（10≤x≤90）；(3）由y＝5x2＋eq\f（5，2）(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(100，3)）)eq\s\up8（2）＋eq\f(50000，3）。则当x＝eq\f(100，3)km时，y最小．故当核电站建在距A城eq\f（100,3）km时，才能使供电费用最小．2．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y（t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？[解]根据题意可列方程组eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(f（1）＝a＋b＋c＝100，，f（2）＝4a＋2b＋c＝120，,f(3）＝9a＋3b＋c＝130.)）解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＝－5，，b＝35，，c＝70。))所以y＝f(x）＝－5x2＋35x＋70。 ①同理y＝g(x）＝－80×0.5x＋140. ②再将x＝4分别代入①与②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135（t）.与f（4）相比，g（4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x）＝pqx＋r作为模拟函数较好．3．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t（天)的函数，且日销售量近似地满足g（t）＝－eq\f(1，3)t＋eq\f（112，3)（1≤t≤100，t∈N).前40天价格为f(t)＝eq\f（1，4）t＋22(1≤t≤40，t∈N),后60天价格为f(t)＝－eq\f（1，2)t＋52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．[解]当1≤t≤40,t∈N时,S（t)＝g(t）f(t）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，3）t＋\f（112，3）））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）t＋22）)＝－eq\f（1，12)t2＋2t＋eq\f(112×22，3)＝－eq\f(1，12)(t－12)2＋eq\f(2500,3),所以768＝S（40)≤S(t)≤S（12）＝eq\f(2500，3).当41≤t≤100,t∈N时，S(t)＝g（t）f（t）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)t＋\f(112,3)））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)t＋52））＝eq\f（1，6)t2－36t＋eq\f(112×52,3)＝eq\f(1,6）（t－108)2－eq\f(8，3），所以8＝S（100)≤S（t)≤S(41)＝eq\f（1491，2)。所以，S（t）的最大值为eq\f（2500，3），最小值为8.4．某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止，供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t(小时,且规定早上6时t＝0)的函数关系为W＝100eq\r（t)。水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨,以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？［解］设进水量选为第x级,则t小时后水塔中水的剩余量为y＝100＋10xt－10t－100eq\r(t），且0≤t≤16.由题意得0＜y≤300，所以0＜100＋10xt－10t－100eq\r（t）≤300。当t＝0时，结论成立．当t＞0时,由不等式100＋10xt－10t－100eq\r(t)＞0可得x＞1＋10eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，\r（t))－\f（1，t)))。令f(t）＝1＋10eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，\r（t))－\f(1，t）)），则f(t)＝－10eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，\r(t）)－\f（1,2)）)eq\s\up8（2)＋3。5，由于0≤t≤16,所以当t＝4时，f（t)取最大值3。5.故x＞3。5。又由100＋10xt－10t－100eq\r(t）≤300可得x≤1＋eq\f（20,t)＋eq\f(10,\r（t））.令g(t)＝1＋eq\f（20,t）＋eq\f（10，\r(t）），由于0＜t≤16，所以当t＝16时，g(t)取最小值4.75,故3.5＜x≤4。7