2020-2021数学北师大版（2019）第一册练测评：4.3.3.2 第2课时对数函数的综合应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学北师大版（2019）必修第一册练测评：4.3.3.2第2课时对数函数的综合应用含解析第2课时对数函数的综合应用必备知识基础练进阶训练第一层知识点一利用单调性求范围问题1。若logaeq\f（2，3)〈1,则a的取值范围是(）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（2,3）））B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2,3），＋∞）)C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（2，3）））∪（1，＋∞）2．不等式log2（2x＋3)〉log2（5x－6)的解集为（)A．(－∞,3）B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2），3)）C.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，2)，\f（6,5)）)D。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（6，5），3))3．已知f（x)＝log(x2－ax＋3a)在区间［2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________.知识点二对数函数的实际应用4.某种动物繁殖数量y(只）与时间x(年）的关系为y＝mlog2（x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到(）A．300只B．400只C．500只D．600只5．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0。1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq\f（1,3），则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据:lg2≈0.301，lg3≈0。477)（)A．10B．9C．8D．7知识点三对数函数的综合应用6.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k）的值域为R，则k的取值范围是（)A．0〈k<1B．0≤k〈1C．k≤0或k≥1D．k＝0或k≥17．若函数f(x)＝loga（x＋eq\r(x2＋2a2）)是奇函数，则a＝________。8．已知奇函数f(x）＝lneq\f(ax＋1,x－1）.(1）求实数a的值;(2）判断函数f(x)在(1，＋∞）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)当x∈［2,5]时,ln(1＋x)〉m＋ln（x－1)恒成立,求实数m的取值范围．关键能力综合练进阶训练第二层1．已知实数a＝log45，b＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））0，c＝log30。4，则a，b，c的大小关系为（）A．b〈c<aB．b<a〈cC．c<a<bD．c〈b〈a2．已知函数f(x)＝lgeq\f（1－x，1＋x）,f(a）＝b，则f（－a)等于（)A．bB．－bC.eq\f(1，b)D．－eq\f(1，b)3．函数f(x）＝|logx｜的单调递增区间是（)A。eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）)）B．（0，1]C．（0，＋∞）D．[1，＋∞)4．若函数f（x)是偶函数，且在［0,＋∞）上是减函数,则满足f（lgx)>f（1)的x的取值范围是（）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,10）,1)）B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,10）,10）)C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,10）)）∪（1，＋∞)D．(0,1）∪（10,＋∞)5．若a>0且a≠1，M＝loga（a3＋1），N＝loga(a2＋1），则M，N的大小关系为()A．M〈NB．M≤NC．M>ND．M≥N6．(探究题）当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2〈logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1)B．（1，2）C．(1,2］D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))）7．函数f（x)＝eq\r（log0。62－x）的定义域为________．8．已知函数f(x）＝ln(x＋eq\r(x2＋1)）＋1，若实数a满足f（－a)＝2，则f(a)＝________.9．（易错题）已知y＝loga（2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为________．10．已知a〉0，a≠1且loga3〉loga2,若函数f(x）＝logax在区间［a,2a(1)求a的值；（2)解不等式log(x－1）〉log(a－x)；（3）求函数g(x)＝|logax－1｜的单调区间．学科素养升级练进阶训练第三层1．（多选题）已知函数f（x）＝lneq\f(ex－e－x，2)，则f（x）是（)A．奇函数B．非奇非偶函数C．R上的增函数D．（0，＋∞)上的增函数2．若loga>1，则a的取值范围是________;若logb<1（b>0,且b≠1），则b的取值范围是________．3．（情境命题—生活情境）测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素14C，在植物死亡后，新陈代谢停止,14C就不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年(14C的半衰期）它们的残余量就只有原始含量的eq\f(1，2）。经过科学测定，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足关系式a′＝a·e－kt.现有一出土古植物，其中的第2课时对数函数的综合应用必备知识基础练1．解析:由logaeq\f（2，3）〈1，得logaeq\f（2,3）<logaa，若a>1，由函数y＝logax为增函数，得a〉eq\f(2，3),所以a〉1;若0<a〈1，由函数y＝logax为减函数，得0〈a<eq\f（2，3），所以0〈a<eq\f(2，3).综上所述,0<a〈eq\f(2,3）或a〉1.故选D.答案:D2．解析：由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3〉0，，5x－6〉0，，2x＋3〉5x－6，)）得eq\f(6，5）〈x<3。答案：D3．解析：二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝eq\f(a,2），由已知，应用eq\f（a,2）≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2）≤2，,4－2a＋3a>0，）)解得－4〈a≤4.答案：(－4,4]4．解析：由已知第一年有200只，得m＝200.将m＝200，x＝7代入y＝mlog2（x＋1),得y＝600。答案：D5．解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq\f(2,100）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3)))n≤eq\f(1，1000）,即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，3)））n≤eq\f（1，20)，由nlgeq\f（2,3)≤－lg20，即n(lg2－lg3）≤－（1＋lg2），得n≥eq\f（1＋lg2,lg3－lg2）≈7.4,所以选C。答案：C6．解析：令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k）的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.答案：C7．解析：∵x＋eq\r(x2＋2a2)>0恒成立，∴函数f(x)的定义域为R，又∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即logaeq\r（2a2）＝0，∴eq\r（2a2)＝1,∴a＝eq\f(\r(2），2).综验证，此时函数y＝loga（x＋eq\r(x2＋1)）为奇函数，满足题意，故a＝eq\f(\r(2），2).答案:eq\f（\r（2）,2）8．解析:(1）∵f(x)是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即lneq\f（－ax＋1，－x－1）＝－lneq\f(ax＋1,x－1)，∴eq\f(ax－1,x＋1)＝eq\f(x－1，ax＋1）即（a2－1）x2＝0，解得a＝±1,经检验,a＝－1时不符合题意,∴a＝1。（2）f（x)在（1,＋∞）上为减函数．证明如下：由(1)知，f（x)＝lneq\f（x＋1，x－1），任取x1,x2∈(1，＋∞）,且x1〈x2，则f（x1)－f（x2)＝lneq\f(x1＋1，x1－1）－lneq\f(x2＋1，x2－1)＝lneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋1,x1－1)·\f(x2－1，x2＋1)））＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2＋x2－x1－1,x1x2＋x1－x2－1）)），∵x1<x2，∴x2－x1>0，eq\f(x1x2＋x2－x1－1，x1x2＋x1－x2－1)>1，∴f(x1)－f（x2）〉0，即f（x1)〉f（x2）,∴f（x）在(1，＋∞)上为减函数．(3)由已知得m<ln（1＋x)－ln（x－1）,即m〈lneq\f（x＋1，x－1).由(2）知f(x)＝lneq\f（x＋1,x－1)在［2，5]上为减函数，∴当x＝5时,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（ln\f(x＋1，x－1)））min＝lneq\f（3,2)，∴m〈lneq\f(3,2）。关键能力综合练1．解析：由题意知，a＝log45〉1，b＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))0＝1，c＝log30。4〈0，故c〈b〈a.答案：D2．解析:由eq\f(1－x，1＋x）〉0,得f(x)的定义域为（－1，1)．因为f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x）＝－lgeq\f(1－x，1＋x)＝－f(x）,所以f(x）是奇函数，所以f(－a）＝－f(a）＝－b.答案：B3．解析：f（x）的图象如下图所示，由图象可知单调递增区间为[1,＋∞）．答案:D4．解析：因为函数f（x）是偶函数，所以f(－x)＝f(x），又f(x）在[0，＋∞)上是减函数，所以f（x)在(－∞，0]上是增函数．因为f（lgx)>f（1),所以－1〈lgx<1，即eq\f（1,10)〈x<10，故选B.答案:B5．解析：当0〈a<1时,对数函数y＝logax（x>0）为减函数，此时易知0<a3＋1〈a2＋1，所以loga(a3＋1）>loga（a2＋1)，即M>N;当a〉1时，对数函数y＝logax(x>0）为增函数，此时易知0〈a2＋1〈a3＋1,所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1），即M〉N。故选C.答案:C6．解析：设f1（x)＝(x－1）2，f2(x）＝logax,要使当x∈（1,2)时，不等式(x－1）2〈logax恒成立，只需f1(x)＝（x－1)2在(1，2)上的图象在f2（x)＝logax的下方即可．当0〈a〈1时，显然不成立．当a>1时,如图所示，要使在（1，2）上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2（x）＝logax的下方，只需f1（2)≤f2（2），即(2－1）2≤loga2,∴loga2≥1,∴1〈a≤2。答案：C7．解析：要使函数f（x）有意义,则需满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log0.62－x≥0，,2－x〉0，））解得1≤x<2。答案：eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜1≤x〈2）)8．解析：设g（x）＝ln(x＋eq\r（x2＋1）),则g（－x)＝ln(－x＋eq\r(－x2＋1)）＝lneq\f(1,x＋\r(x2＋1)）＝－ln(x＋eq\r（x2＋1））＝－g(x)，又g(x)的定义域关于原点对称,所以g（x）为奇函数．因此f（－a）＝g(－a）＋1＝2,所以g(－a）＝1,从而g（a）＝－1，所以f（a)＝g（a）＋1＝－1＋1＝0。答案:09．解析：题目中隐含条件a〉0，且a≠1，u＝2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在［0,1]上是减函数,则a>1，且2－ax在x∈[0，1］时恒为正数,即2－a>0，故可得1<a<2.答案：（1，2）10．解析:（1）∵loga3>loga2，∴a>1，∴y＝logax在［a，2a∴loga(2a）－logaa＝1，∴a(2)依题意可知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1〈2－x，，x－1>0，,2－x〉0，)）解得1<x<eq\f（3，2),∴所求不等式的解集为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))）.(3）∵g（x）＝｜log2x－1｜，∴g(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（log2x－1，x≥2，，1－log2x，0<x〈2.)).∴函数g(x)在(0，2）上为减函数，在[2，＋∞）上为增函数，即g(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为［2,＋∞）．学科素养升级练1．解析：由eq\f（ex－e－x，2)>0，得x>0，故f（x）不具有奇偶性，B正确，又函数v＝eq\f（ex－e－x，2)在（0，＋∞)上为增函数，所以函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，D正确．故选B、D.答案:BD2．解析：由logeq\f（2,5)a〉1＝logeq\f（2，5)eq\f（2