圆锥曲线基础知识手册

圆锥曲线

一、椭圆及其性质

第一定义平面内一动点P与两定点居、B距离之和为常数(大于匹凡|)的点轨迹

第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹孥=季=e

焦点焦点在C轴上焦点在u轴上

!仅11纯/=!

1B.2

图形：AXF,OcF,JA!*

JV2：1J囱\iC]B，2X

■W-^

1

1LBT；

丁2

标准方程%+方=1(。>6>0)溟+p"=l(a>b>0)

范围-a<c&Q且一b&y&b—bWn&b且一Q&y《a

顶点A](—a,0),A2(a,0)，B(0,-b),B2(0fb)4(0,—a),A.2(0,a),Bj(—6,0),J32(6,0)

=222

轴长长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=\FlF2\2c，c=d—b

焦点月(一c,0)、用(c,0)Fi(0,—c)、B(0,c)

焦半径\PFI\=a+ex(),\PF2\=a-eg|PFj-a-ey0,|P7^|-a+eyQ

焦点弦

左焦点弦|AB|=2a+e(电+电)，右焦点弦|AB|=2a-e(.+x2).

e=f=7^-?(o<e<i)

离心率

/=土尤

准线方程y=±—

c

刖1-_1刖।i

切线方程年十万下十k

通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长以B|=等(最短焦点弦)

(1)由定义可知：|PF||+|PR』=2a,周长为：2a+2c

⑵焦点三角形面积：

⑶当P在椭圆短轴上时，张角。最大，cose>1-2e2

焦点(4)焦长公式：炉尸J:一坟—、居|=———

a—ccosaa+ccosa

三角形

lA^ol_2ab2_2ab2仪\p

1a2-c2cos2ab2+c2sin2a

⑸离心率:黑k2

X

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二、双曲线及其性质

第一定义平面内一动点P与两定点耳、尸2距离之差为常数(大于|尸产的点轨迹

第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=孥=6

焦点焦点在①轴上焦点在夕轴上

J虚

实轴

图形

标准方程g-*=l(a>0,b>0)

范围/—a或c>Q,g6Ry<-a或y>a,c€R

顶点4(—a,0)、42(a,0)4(0,—a)、4(0,a)

222

轴长虚轴长=2b,实轴长=2Q,焦距=\F{F2\=2c,c=d+b

焦点片(一c,0)、凡(c,0)片(0,-c)、£(0,c)

焦半径\PF{\=a+exQf\PF2\=-a+eg左支添“一”

e=W="

离心率L+%(e>l)

劣=土土u=土！

准线方程

c

y=±~r-x

渐近线”b

XQXyy_

切线方程g—y四_i()

a2b2一b2a2~

过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长\AB\=等(最短焦点弦)

通径

(1)由定义可知：|P£|-|PHl=2a

(2)焦点直角三角形的个数为八个,顶角为直角与底角为直角各四个：

⑶焦点三角形面积：$例%=〃+tan?-c-\y\

乙'政,3宓____回同_sin。_sin(a+6)

w"十…—IIP同_|P同1—Isina-sin^l|sina-sin£|

焦点*■

三角形

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三、抛物线及其性质

定义平面内与一个定点尸和一条定直线1的距离相等的点的轨迹称为抛物线.

方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x1——2pg(p>0)

J±L

V

图形%?2

[J*

-T----T

顶点(0,0)

对称轴C轴9轴

F

焦点F管,。）(-i0)尸（。用P(0,+)

准线方程，=一当，二号9=+T

离心率e=l

范围/>0c409>0g

切线方程yoy=p(x+xo)yoy=-p(.x+xo)XoX=pQ+7/0)xox=-p(y+y0)

通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦|43|=2M最短焦点弦）

48为过靖=2RT(P>0)焦点的弦，力31，%)、氏力2演)，倾斜角为Q.则：

⑴|力闭=£]+号|BF|=x2+yAB|=Xi+x2+p,

/\P22

(2)①仔2=丁"功=-p

7

(3)|>1F|~P\BF\-,~p

1—cos。1+cosa\FA\\FB\卜

(4)|AB|.S^OBir?-

sma2sina

AB为过c2=2pg(p>0)焦点的弦，A(孙功)、BdyJ,倾斜）制为a.则：

⑴河=1-G画=1+黑

⑵四fs“=号

焦点弦

sina

0l\

y

oX

II娟=2pKMp>0)Fy2=2?xr(p>0)

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四、圆锥曲线的通法

Q点差法与通法

1、圆锥曲线综述：

联立方程设交点,韦达定理求弦长;变量范围判别式，曲线定义不能忘；

弦斜中点点差法，设而不求计算畅:向量参数恰当用，数形结合记心间.

★2、直线与圆锥曲线的位置关系

(1)宣线的设法：

①若题目明确涉及斜率，则设直线：y=far+b,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论；

②若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线：z=7ny+a,可避免对斜率进行讨论

《)研究通法:联立W：ax2+bx+c=0

2W，y)=0

到别式:A-b2—4ac,韦达定理：g+◎=—A,7@2=套

《3)次长公式：\AB\=J("-O；2)2+(%—仇)2=+火山-铀|

=1(1+h2)•[31+?)2—=J1+吉[(%+与产一4yly21

3、硬解定理

设直线g=/Ki:+9与曲线■^+,=1相交于471，%)、B(如例)

<»/—ICT'-G

»，可得：(九+?71%2)"+2k07712+?72(02—m)=0

{nx"+my-=mn

22

判另I」式：△=4mn(n+mfc—<p)韦达定理：Xi+x2=一翌墨,力遇2=卫笑一鲁

TI十TTlKTl十TTLK

由：\x}-X2\=J(g+/2)2-4Ci02,代入韦达定理：山—x2\=—2^心2

Tt1TTLrZ

★4、点差法：

若直线Z与曲线相交于M、N两点，点。(羯%)是弦MN中点，MN的斜率为期小，

则:在椭圆++=l(a>b>0)中，有/CATN*~~=-/；

在双曲线当—告=l(a>6>0)中,有k^N,%=%;

arbz工。ar

在抛物线y2=2px(p>0)中，有kMN,班=p.

(«■)

设M、N两两点的坐标分别为(如功)、(如功)，

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量1

=±

—十

则有I62M

1

对I/-X

S+

F/O-F.Jx

⑴一⑵，得至卓+七驾=。

CL0

.二一%.例+幼__出

-2

"X2-XxX2+Xja'

v..L_y「y、3_2y_y....y_-_^_

MN2

X.HMN-,+-2x~x,"x~a-

置律曲线的参数方程

1、参数方程的概念

x=f(t)

在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标土〃都是某个变数t的函数

.y=g(t)

并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上,该方程

就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

派2、直线的参数方程

'=。。+忙。$&（£为参数）

⑴过定点P（g,他）、倾斜角为a（a*爰）的直线的参数方程

y=yQ+tsma

（2）参数t的几何意义：

参数土表示直线，上以定点地为起点，任意一点M（z,妨为终点的有向线段的长

度再加上表示方向的正负号，也即|西必|=用，

⑶表示直线上任一点M到定点Mn的距离.

当点M在跖上方时，t>0；

当点加在M。下方时，tVO；

当点”与他重合时，t=0；

,=©+tcosa(t为参数)

⑶直线方程与参数方程互化：夕—%=tanaQ-与）o

y=yo+tsma

x=x+at、，人““、

⑷直线参数方程:0,（t为参数）,

9=为+机

当a?+〃=1时,参数方程为标准型参数方程,参数的几何意义才是代表距离.

X=Xo-h「:若t

当a2+〃wi时，将参数方程化为V然后在进行计算.

"=仇+下才

★3、圆的参数方程

x=a-\-rcosO..公文心、

(1)圆心(a,b),半径r的圆(x—a)24-(y—b)?=r?参数方程八，.A(6为s参数);

n=b+rsina

x=rcosd,日

参数方程为:…心是

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可得圆方程：Q-a}2+(y—b)2=r2

★4、椭圆的参数方程

⑴椭圆岑+9=l(a>b>0)的参数方程为—：c°s?g为参数).

a(g=bsin<p

椭圆£■+若■=l(a>b>0)的参数方程为ebC°S<P(<p为参数)；

ab(y=asin(p

(2)+救。的几何意义:参数6表示椭圆上某一点的离心角.

如图所示，点P对应的离心角为8=/Q0r(过P作

PQ_L工轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q),

切不可认为是0=NPQr.

5、双曲线的参数方程

(1)双曲线9一毯■=l(a>b>0)的参数方程=为参数)；sec«==一

a~blg=btan0cos©

双曲线%—番=l(a>b>0)的参数方程，一儿°t@m为参数)；cscp=

ab[夕=acsc(psm。

(2)介数0的几何章义:参数。表示双曲线上某一点的离心角.

派6、抛物线的参数方程

(1)抛物线娟=2px参数方程r=2区，。为参数，力=-1-):

[y=2pttana

(2)参数t的几何恚义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=4

KOP

Q仿射变模与齐次式

1、仿射变换:

在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.

派2、椭圆的变换：

椭圆62X2+a2g2=a2b2

(x,=xx=x'z'=知：1=若。'

变换内容储=却_

=苑’

y、y'=y\y=yr

圆方程x2+y2=d2x2+y2=b2

图示科

C

-4I>(\JX\

----\

A

统)a如京

T4(b)

点坐标A(xa,yn)A'(-xn,yn)

fr

k=卡k,由于瓦vc•kbc=_1.k=卡k，由于kA>c>-*c=—1.

斜率变化B，C，

=—^AC*ksc=■比va，~CL^二一曾

f^AC*kBC—壬kA'G・

则AB=Nl+短|干—x2|

弦长变化9,2

nA'B=V14-k\xx—T2|

=Jl+借浓|电_的|

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S4ABe=EC，(水平宽不变，铅SAABC=黄必《畛(水平宽扩大，铅

面积变化

锤高缩小)垂高不变)

3、中点弦问题，Wb的B=—4,中垂线问题替=耳，且加.=与故=一曾，

(IgMP(ICL0

拓展1:椭圆内接△HBC中,若原点O为重心,则仿射后一定得到△OB，。为120°的等

腰三角形；△49。为等边三角形；

拓展2:楠圆内接平行四边形OAPB(力、P、B)在椭圆上,则仿射后一定得菱形OAPB，

4、面积问题：

⑴若以椭圆考■+4=1对称中心引出两条直线交椭圆于43两点，且％r4汨=一彩

ab-ar

则经过仿射变换后kOA-生星=一1，所以SfOB为定值.

(2)若椭圆方程亳+号=1上三点A,B,Af,满足:①心"koB=--^7

②S4AoB=③OM—sintzOA+cosaOB[ot€(°,£))，三者等价

派5、平移构造齐次式：(圆锥曲线斜率和与积的问题)

(1)题谈:过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于4、3,在直线P4

和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下,直线4B过定点或者AB定斜率的问题.

⑵步*①将公共点:平移到坐标原点(点平移:左加右减上减下加)找出平移单位长.

②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C',所有直线方程统一写为=1

③将圆锥曲线。'展开，在一次项中乘以小7+九y=1,构造出齐次式.

④在齐次式中，同时除以炉,构建斜率去的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积(和).

0圄律曲线考点归类

(一)条件方法梳理

1、椭圆的角平分线定理

(1)若点4B是椭圆营+，=1(&>6>0)上的点，人3与椭圆长轴交点为川\在长轴

上一定存在一个点M,当仅当则//工N=&2时，乙4MN=/BM/V,即长轴为角平分线；

(2)若点A、B是椭圆手■+，=1(4>6>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N,在短轴

上一定存在一个点M,当仅当则"犷&=〃时，/4WN=NBMV,即短轴为角平分线；

派2、关于角平分线的结论：

若直线AO的斜率为e,直线CO的斜率为MEO平分AAOC

则有：k\+k2—tana+tan(n—a)=0

角平分线的一些等价代换条件:作/轴的对称点、点到两边的距离相等.

3、四种常用直线系方程

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(1)定点直线系方程：经过定点区(而,仇)的直线系方程为y-n产Mx-g)(除直线/=铀)，其中k是待定

的系数;经过定点国附加的直线系方程为A(x-g)+—%)=0,其中48是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线小AR+B出+G=0」2：47+3%+。2=0的交点的直线系方程为

+Biy+G)+A(A2X+B2y+Q)=0(除。)，其中4是待定的系数.

⑶平行直线系方程:直线夕=kz+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+

。=0平行的直线系方程是人，+国+4=0(/100)"是参变量.

(4)垂直直线系方程:与直线Ar+By+C=0(Ar0,B片0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+A=0,A是参变

量.

4、圆系方程

(1)过直线/：力工+向/+。=0与圆。:一+娟+Dr+坳+F—0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+

R+4Ar+3u+C)=0"是待定的系数.

(2)过圆G：d+炉+Dix+E{y+R=0与圆C?:"+靖+D2x+E.2y+£=0的交点的圆系方程是d+炉+

22

DlX+Ely+Fl+A(x+y+D2x+E2y+B)=(M是待定的系数.

★(二)圆锥曲线过定点问题

1、直线过定点的背景：

(1)直线过定点模型：AB是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中a,£分别为M4,MB的倾斜角，则：

①、加•诟为定值o直线43恒过定点；

②、kMA•以出为定值=直线AB恒过定点；

③、a+6=8(0<8<n)Q直线AB恒过定点.

(2)抛物线中直线过定点：是抛物线y2=2px(p>0)上的两动点,a,8分别为OAQB的倾斜角,则：

OA±OB^kOA-kOB=-1ola-01=号=直线AB恒过定点(2p,0).

(3)椭圆中直线过定点模型：4B是椭圆受+$=l(a>b>0)上异于右顶点D的两动点，其中分别

为。4D3的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：

2

DA±DBokDA.kDB=T。la-61=等o直线AB恒过定点(令江,0)

2、定点的求解方法：

①含参形式简单的直线方程,通过将直线化为y—y产k(x-x„)可求得定点坐标(3,涣)

②含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.

交操主元法:将直线化为无(应妨+43，访=0,解方程组：乃了'?二:可得定点坐标.

U(rc,y)=0

eg:直线方程：(2m+1)x+(m—5)y+6=0,将m看作主元，按照降塞排列：(2工+沙)m

+x—5y+6=0,解方程组：解得：<此",求得直线过定点(—"

3、关于以A3为直径的圆过定点问题：

(1)直接法:设出参数后，表示出圆的方程.

H的直径式方程:(工一⑨)3-g)+(y-yi)(y一例)=0

(2)由特殊到一般:利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，

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/\

g该交点即为圆所过的定点,再利用向量数量积为。证明点恒在圆上.

I★(三)圆锥曲线面积问题

41、面积的求解方法：

6(DSA4BC=J|MN|-d,从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.

g(2)S“BC=，X水平宽x铅锤高，主要以点的坐标运算为主.

B⑶s^AOB-+瓦|统一出幼।

H例题1.在平面直角坐标系xOy中，己知点。(0,0),4知如,B(X2、y.D不共线，

田证明：A4OB的面积为S^QB=2战功—

LA\______________________________________________________________________________________z

也2、面积中最值的求解

S(1)/(0=&\+/”+"型:令1=c+7inc=t—八进行代换后裂项转化为：n=at+与

1.Xi-TV0

I⑵/㈤=鬲4型冼在分母中配出分子式/㈤=…2贷")+“

令力=2十n,此时：y=,9~^——，分子分母同时除t,此时沙=/J「，再利

慎5at~+At+Dat+-^+A

上用对勾函数或不等式分析最值.

F⑶/3)=竿+S型：令t=十=3—九进行代换后裂项，可转化为：y=at+与

QVx+n(

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五、椭圆的二级结论

1.\PFX\+M=2a

2.标准方程£+后=1

4.点P处的切线PT平分△FEB在点P处的外角.

K________________________________________________________________________________________________

’5.PT平分下在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

X._________________________________________________________________________________________________________-

6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7.以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

\,_______________________________________________________________________________________________.

8.设4、4为椭圆的左、右顶点，则在边。月(或上的旁切圆，必与44所在的直线切于A2

(或A).

.

Z'

9.椭圆，+£=l(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于g.E时

AP与4R交点的轨迹方程是岑—告=1.

ab

X__________________________________________________________________________________________________________

Z、

22

10.若点入(3,他)在椭圆3+方=l(a>b>0)上,则在点气处的切线方程是等+喘=1.

X.________________________________________________________________________________________________________,

/1

11.若入(判,物)在椭圆/+£■=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为必、鼻,则切点弦PR的直线方

程是笔+普=1.

arbz

K_______________________________________________________________________________________________.

12.是椭圆/+4=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点,则自加•和B=—

arb-a

X,________________________________________________________________________________________________

13.若居3°,仅)在椭圆/+£■=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是等+耦=苧+等.

\,,

/'

14.若8(3,物)在椭圆《+哲=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是《+若=义挈+普.

ab*aVab-

X.________________________________________________________________________________________________________.

Z----------------------------------------------------------------------------------------------,

15.若PQ是椭圆5+1•=l(a>b>0)上对中心张直角的弦，则去+十=3•+*(n=|OP|,r2=

IOQI).

X__________________________________________________________________________________________________________

(------------------;----------------------------------------------------------------------------------------

16.若椭圆与+4=l(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(力BW0),则(1)4+

aba

X—yl2+B2-(i\L—2Ja%2+>贷

b2，-A+J3,(2)L-Q?4+biB2-

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/X

•9/一

17.给定椭圆C：b2x2+a2y2=a2b'\a>6>0),C：b'2x2+d2y2=(曲),510

x23*

⑴对G上任意给定的点P(g,仇)，它的任一直角弦必须经过G上一定点河(0篝g,一方/为).

匕⑻对G上任一点P闺，端)在G上存在唯一的点使得W的任一直角弦都经过P'点.

14<___________________________________________________________________________________________________________________________________________________7

018.设P(g,仍)为椭圆(或圆)。:£+/=1(0>0,»>0)上一点，。岛为曲线。的动弦,且弦吗小

后斜率存在，记为防后,则直线P岛通过定点M(M,—m涣)(mW1)的充要条件是自•居=一栏霍•4-

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________/

[AZx

iW19.过椭圆£+$=l(a>0,6>0)上任一点A(g,2)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于3,。两

S点，则直线BC有定向且他°=孕(常数).

4Q〜级)

Q<_________________________________________________________________________________________________________________________________________________y

%Q/、

20.椭圆/+g=l(a>b>0)的左右焦点分别为BB，点P为椭圆上任意一点^F{PF.2=y,则椭圆的

222

匕焦点三角形的面积为SwL/tan*,P(±fA/c-6tan-^>±-ytan^-).

r=^\_______________________________________________________________________________________________

\Jz、

乜21.若P为椭圆，+£■=l(Q>b>O)上异于长轴端点的任一点,FL是焦点,NPF以=a,/PEE=£,

乜q则-与a+*c=tan#2tan-2y.

、_________________________________________________________________________________________________________________________________________________y

zx

f®22.椭圆号+菅•=l(a>b>0)的焦半径公式：|MFJ=a+ex0,|MF,|=a-eg出(—c,0),F,(c,O),M(xtt

r®，明)).

「二l/

/---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------X

[123.若椭圆。+%=1(。>&>°)的左、右焦点分别为”、4，左准线为乙，则当

弓V2-l<e<10t,可在椭圆上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

----------------------------------------------------------------------------------------------

「°(、

上24.。为椭圆[+4=1(£1>6>0)上任一点，/，玛为二焦点，人为椭圆内一定点，则2a-|4码《

L少ab

|之|P*+|PR|&2a+|月园，当且仅当A,月,P三点共线时,，等号成立.

、__________________________________________________________________________________________________________________________________________________y

口(

25.椭圆考•+