应用数学论文-定积分在生活中的应用

.../定积分在生活中的应用引言通过学习了定积分后,我了解到定积分在生活中有很重要的应用。定积分作为大学里很重要的一部分,在生活有广泛的应用；微积分是与应用联系发展起来的,最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律,此后,微积分极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展,而且随着人类知识的不断发展,微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义设函数在区间上有界,在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间：有且各个小区间的长度依次为,,…,。在每个小区间上任取一点,作函数与小区间长度的乘积〔,并作出和。记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分〔简称积分,记作,即==,其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。2．定积分的性质.设函数和在上都可积,是常数,则和+都可积,并且性质1=;性质2=+=-.性质3定积分对于积分区间的可加性设在区间上可积,且,和都是区间内的点,则不论,和的相对位置如何,都有=+。性质4如果在区间上1,则==。性质5如果在区间上,则。性质6如果在上,,则性质7〔积分中值定理如果在上连续,则在上至少存一点使得3．定理及方法1、定理定理1微积分基本定理如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是==.定理2原函数存在定理如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.定理3牛顿-莱布尼茨公式.如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则=称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.2、方法定积分的换元法假设函数在区间上连续,函数满足条件<1>,;<2>在<或>上具有连续导数,且其值域,则有=,上面的公式叫做定积分的换元公式.定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,有简写为=或=.二、定积分的应用㈠计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用1、利用定积分计算平面图形的面积〔1设连续函数和满足条件,．求曲线,及直线所围成的平面图形的面积．〔如图1解法步骤：第一步：在区间上任取一小区间,并考虑它上面的图形的面积,这块面积可用以为高,以为底的矩形面积近似,于是．第二步：在区间上将无限求和,得到.图2〔2上面所诉方法是以为积分变量进行微元,再求得所围成图形的面积；我们还可以将作为积分变量进行微元,再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形〔图2的面积为：图2例1求由曲线,及两直线,所围成的图形的面积A．解〔1作出图形,如图所示．易知,在上,曲线与的交点为；〔2取为积分变量,积分区间为．从图中可以看出,所围成的图形可以分成两部分；〔3区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为,,所以,所求图形的面积为=+．例2求椭圆的面积.解 椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 利用椭圆的参数方程应用定积分的换元法,,且当时,时,,于是2．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块,每一块的厚度为,假设每一个基本的小块横切面积为,为上连续函数,则此小块的体积大约是,将所有的小块加起来,令,我们可以得到其体积：。例2求由曲线,直线,,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解先画图形,因为图形绕轴旋转,所以取为积分变量,的变化区间为[1,4],相应于[1,4]上任取一子区间[,+]的小窄条,绕轴旋转而形成的小旋转体体积,可用高为,底面积为的小圆柱体体积近似代替,即体积微元为==,于是,体积==1616=12.求曲线的弧长〔1设曲线在上有一阶连续导数〔如下图,利用微元法,取为积分变量,在上任取小区间,切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度,即.得弧长微元为：,再对其积分,则曲线的弧长为：〔2参数方程表示的函数的弧长计算,设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为：即则曲线的弧长为：例3<1>求曲线上从0到3一段弧的长度解由公式=〔知,弧长为=====.<2>求摆线在上的一段弧的长度〔．解取为积分变量,积分区间为．由摆线的参数方程,得,,．于是,由公式〔16-13,在上的一段弧的长度为㈡、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v<t><v<t>≥0>在时间区间[a,b]上的定积分,即例1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这1min行驶的路程是：答：汽车在这1min行驶的路程是1350m.2、定积分在变力作功的应用例1一物体在恒力F〔单位：N的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移〔单位：m>,则力F所作的功为W=Fs.探究如果物体在变力F<x的作用下做直线运动,并且物体沿着与F<x>相同的方向从x=a移动到x=b<a<b>,那么如何计算变力F<x所作的功W呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样,可以用"四步曲"解决变力作功问题．可以得到例2设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到15cm．现要把弹簧由15cm拉长到20cm,需作多少功？解以弹簧所在直线为轴,原点为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律,当把弹簧拉长m时,所需的力为, 〔1其中为弹性系数,是常数．根据题意,当把弹簧由原长10cm拉长到15cm时,拉伸了0.05m,把代入式〔1,得,,所以 ．因此当把弹簧由15cm拉长到20cm,即从变到时,所需作的功为．3、定积分在在电学中的应用例1、有一均匀带电圆盘,其半径为,电荷面密度为〔如下图,求圆盘轴线上与盘心O相距为的任一给定点处的场强？分析：因为圆盘带电均匀分布,所以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的,要知道各细圆环在点处的场强,我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元,求出每一电荷元在点的场强,那么由场强叠加原理,最后即可求出圆盘在点处的总场强。解：从圆盘上任取一半径为,宽度为的细圆环,因为圆盘的面密度,则细圆环所带的电荷量为.那么我们先来计算一下这个圆环<假设带电量为>在点激发的场强。如下图所示,在圆环上任取长度元,电荷线密度,则上所带的电荷量为：在点处所激发的场强为：式中是从指向点的矢量,其大小,由于圆环上各电荷元在点激发的场强的方向各不相同,为此把分解为平行于轴线的分量和垂直于轴线的分量。根据对称性,各电荷元的场强的分矢量相互抵消。所以点的合场强是平行于轴的那些分矢量之和,即从而,带电细圆环在点激发的场强为：那么,带电圆盘就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和,即场强的方向与圆盘相垂直,其指向则视的正负而定,,的方向与同向；,与反向。3总结从上面的论述中可以看出,定积分的应用十分的广泛,利用定积分来解决其他学科中的一些问题,是十分的简洁、方便,由此可见是学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习,各个学科之间都是有联系的,若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用,则不仅能加深对知识的理解,贯通了新旧知识,还能拓宽知识的应用范围、活跃思维,无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.参考文献：[1]《数学分析》上册〔第二版复旦大学数学系编.高等教育出版社