天津市西青区2022-2023学年高考5月数学仿真测试模拟试卷（三模）有答案

【高考】模拟

天津市西青区2022届高考5月数学测试模拟试题（三模）

题号一二三四总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选一选）

评卷人得分

j已知集合”={-1,0,1,4,5},8={2,3,4},C={xe7?|0<x<2}（则

（znc）U8=

A.也}B.23}C.{-1,2,3,5}D.023,4}

x—5

<0

2.设xeR,贝是“x—2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

/（x）=xln

3.函数.1一%的大致图象为

O

-1x

A.B.

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C.D.

4.某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分）,

成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说确的是（）

B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在【50，60）内的学生人数为no

5.设。=62,%=1嗝2,c=|n2,则。，/；,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

6.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3,侧面展开图的

面积为3万，则球。的表面积等于（）

81万81万121%⑵万

A.8B.2C.8D.2

上一金=1，

7.已知双曲线/b2的两条渐近线与抛物线V=2px（p>°）的准线

分别相交于点Z,8两点，。为坐标原点.若双曲线的离心率为2,ANOB的面积为百，

贝|JP=（）

A.1B.2C.3D.4

【高考】模拟

8.如图，在海岸线7。一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TD8S,

该曲线段是函数y=Rsin（0x+°）（/＞0,。＞0,0＜夕＜兀），工€-4,0]的图像，图像

的点为8（T，2）,曲线段TD8S上的入口。到海岸线TO的距离为行千米，现准备从入

口D修一条笔直的景观路到O,则景观路的长为（）

A.右千米B.6千米C.近千米D.3千米

仆」x?+go）

/（X）—＜

9,设（4XCOSTX-1（X＜0）,g（x）=foc-l（xe/?））若函数＞=/（x）-g（x）在

xe[-2,3]内有4个零点，则实数人的取值范围是（）

A（26，4）B（234]Ct叫D

第ll卷（非选一选）

评卷人得分

2+i

z=------

10.复数1-i（i为虚数单位），则复数Z的虚部为.

3

11.在IX）的展开式中，厂3的系数是.（用数字作答）

12.已知直线x-2»+”0与圆o：f+V=2相交于48两点（。为坐标原点），且

“0B为等腰直角三角形，则实数a的值为.

4+x+3y

13.已知》＞0,且》+2）'=2,则x3y的最小值为.

评卷人得分

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14.天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题,

且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，

得。分，按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3

212

个问题，学生甲答对的概率分别为4,万，3,则学生甲恰好答对1个问题的概率为

;在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学

期望为.

15.如图，在菱形中，AB=2,44)=60。，E,尸分别为BC,8上的点，

——5—1―-

——►AM=—ABH—AD

CE=2EB,CF=2FD,若线段EE上存在一点"，使得62,则

।而卜,若点N为线段8。上一个动点，则丽•丽的取值范围为

16.在A/IBC中，内角A、B、C的对边分别为4,b,c,

V2cosC(acosB+bcosA)+c=0

(1)求角C的大小；

⑵若。=3,6=2.求：

(i)边长J

(ii)sin(2"C)的值.

17.如图，三棱柱NBC-44G中，平面Z8C,AACB=90°,4C=BC=1,

"4=2,以4B,8C为邻边作平行四边形/BCD,连接和

【高考】模拟

（I）求证：平面8CG与；

（II）求直线与平面°4G所成角的正弦值；

（III）线段8c上是否存在点F,使平面O4G与平面垂直？若存在，求出8F的

长：若不存在，说明理由.

cU

18.已知点A,8分别是椭圆/h2（。>6>0）的左顶点和上顶点，尸为其右焦

点，BABF=\,且该椭圆的离心率为万；

（1）求椭圆0的标准方程；

（2）设点尸为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点/为直线4P与〉轴的交点,

线段4P的中垂线与x轴交于点N,若直线OP斜率为直线的斜率为3且

,,8/

k.k—

°。""一a（°为坐标原点），求直线”尸的方程.

19.已知等差数列也｝中，%=2,%=3（%-%）,数列也｝满足a=2,b"2b”.

（1）求MJ,也｝的通项公式；

（2）记邑为数列｛""｝的前"项和，试比较%+「勺与2S〃M的大小；

_（3a,,+2）Q-2）,〃为偶数

筌，为奇数〃

（3）任意"eN*,"，求数列的前2”项和.

,、a\nx-ax2+a-e

zv、tg（x）=---------------

20.已知函数〃x）=e—x-a,尤（。20）,其中e是自然对数

的底数.

（1）当a=e时,

【高考】模拟

（i）求/（X）在点QJ（D）处的切线方程;

（ii）求/⑴的最小值；

（2）讨论函数g（x）的零点个数；

⑶若存在xe（°，+8）,使得/"”g（x）成立，求。的取值范围

【高模拟

答案:

1.D

先根据交集定义计算“nc,再由并集定义求（/nous.

【详解】

Ac

由题知，^=w,.UnC）U5={l,2,3,4）-

故选：D.

本题考查集合交、并运算，掌握集合运算的定义是解题基础.

2.B

【分析】

先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性

是否成立.

【详解】

x-5_

,,,“----<0

解不等式1xT|<4,得-3<x<5；解不等式x-2,得2cx<5.

设集合/={x|-3<x<5},B={x\2<x<5}

充分性：因为集合A不是集合8的子集，故充分性不成立；

必要性：因为8。”成立，故必要性成立；

x-5A

.-A----<0

综上可得“IxT1<4，，是“X-2”的必要不充分条件.

故选：B

3.D

根据函数奇偶性排除A、C.当0<x<1时/(X)>0排除B

【详解】

14-X//X11—X.(1—X、I+X、

/(x)=xln---/(-^)=-^ln----=xln=x\n----=/(x)

解：由,1-X可得1+xU+xJ1-X

所以函数为偶函数，排除A、C.

【高考】模拟

l+xI「/、11+X八

--->1f(x)=xIn---->0

因为0<x<l时,1-x1-x排除B.

故选：D.

4.B

【分析】

根据所有矩形的面积和为1求出“，然后逐一判断即可.

【详解】

由（0.01+。+0.035+0.03+0.01）x10=1可得〃=o.0i5,故A错误

前三个矩形的面积和为0」+°15+0.35=0.6,所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位

数为80,故B正确

70+80”

------=75

这20名学生数学考试成绩的众数为2，故C错误

这20名学生数学考试成绩落在[50，60）内的学生人数为20x0.1=2,则总体中成绩落在

1000c1AA

vox----x2=100

[50,60）内的学生人数为20,故D错误

故选：B

5.C

【分析】

对“力通过估计值可以直接比较；对于,力需要换底公式以及不等式的性质进行比较.

【详解】

a=62=C,因为2<新<3,所以2<a<3；

因为y=log3X在R上单调递增，且&<2<3,所以bg36<bg32<log33,即

—<log,2<1—</><!

2,所以2；所以b<a

/>=log32=-^。=1112=柜

又蛇，—

因为因为）=lgx在R上单调递增,且2<e<3,所以Ig2<lge<lg3,即Ig2<lge<lg3,

_L>_L>_L1>柜>柜

所以Ig2IgeIg3,又因为lg2>0,所以Igelg3,即l>c>b,

综上

【高考】模拟

故选：C.

6.A

【分析】

由圆锥侧面面积求得圆锥的底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形

求得球半径，从而可得球表面积.

【详解】

设底面半径为厂，圆锥母线为，=3,所以加7=3夕=3%，所以厂=1,

如图，是圆锥轴截面，外接圆°是球的大圆，。是圆锥底面的圆心，

设球半径为R,则/8=3,BD=\,所以AD=JAB?-BD?=5/^1=2&,

如图I,BHD\即心1+（"0-皿2=1+6一2⑸，

尺=也=匡＜4。=2亚=我

解得8、32,不符合题意，

当为如图2时，艮严=1+（“。-，。）』+（2&-4

R=9&s=4;rR2=4^rxf8br

解得一丁，所以球表面积为I8，

故选：A.

方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径.在球圆锥或圆柱、圆台问

题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球

半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系.

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7.B

【分析】

e=+

由公式\Vr~。一可得渐近线斜率，数形根据三角形面积列方程可得.

【详解】

如图，记抛物线的准线与x轴交于点。，

屋=2"6

由题知，Va,解得4

AAOD=-

所以3,

OD=BBD=ODtan-=^-

因为2,所以32

Six®,

所以22,解得P=2

【分析】

图像中的数据求出函数y="sin（3x+e）的解析式，由此可求。的坐标，再求的长.

【详解】

7'=4[-1-(-4)]=12

由图像可得函数，=人皿8+0）的值为2,周期

【高模拟

24冗

co————

所以4=2,T6,又函数V=/sin(ox+°)的图像点8(7,2),

712)

2=2sin(——+(p)(p-

所以6口，又A0<0<兀，所以Y3,

、.产,2乃

y=2sin(—x+——)

所以,63,

因为。到海岸线TO的距离为仃千米，可设。的坐标为"x。，/),

V3=2sinf—x0+—'l

所以163)t又Tv/vO,

所以飞=-2,

所以景观路。。的长为="(千米)，

故选：C.

9.D

【分析】

2人2

x+—,x>0x+-,x>0

kx〃(x)=<X

4cos^x,x<04cos^x,x<0

由于x=°不是函数的零点，则令将零点个数问

题转化为函数〃(x)与函数y="的交点个数问题，图象，即可得出实数人的取值范围.

【详解】

很明显°不是函数的零点

令函数y=/(x)_g(x)=O,则XHO

2

XH--,X>0

k=<x

皿[4cos^rx,x<0

2

x+一,%>0

力(x)=〈X

4cos^x,x<0

令

则函数〃(X)的图象与y=%在xe[-2,3]内有4个交点

函数的图象如图所示：

【高考】模拟

故选：D

本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.

3

10.2##1.5

【分析】

根据复数的除法运算化简z,再由虚部的定义求复数z的虚部.

【详解】

2+i_（2+i）（l+i）l+3i13.

因为z=m=（iT）（i+i）=^=5+T,

3

所以复数z的虚部为5,

3

故答案为.5

11.60

【分析】

根据二项式定理写出展开项的通项公式，令x的指数为3即可求解.

【详解】

6-3r

26T亍

由二项式定理可得:

【高考】模拟

6-3r_3

令2,r=4,

.3的系数工㈠2〜。；

故60.

12.土石##石或一石

【分析】

分析图中的几何关系，即点到直线x-2y+“=°的距离为1,利用点到直线的距离公式即

可求解.

【详解】

如图：

也=1

因为A/BO是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线x-2y+a=°的距离为五一

应用点到直线的距离公式得:

13.

【分析】

将目标式中4代换成2x+4y,展开由基本不等式可得.

【详解】

因为x+2y=2

【高考】模拟

4x+3y2x+4yx+3y.4yx、，4G

所以x3yx3>yx3yV33

4y_x

A3ya同V3-1

x

当且仅当I"v_i_2r^、，=_2c,即=3-v3,y=---2--时，取等号，

3喂3+迪

所以x3y的最小值为3

]_23

14.4##o.2512

【分析】

根据互斥和的概率计算公式求学生甲恰好答对1个问题的概率：题意确定X可能取的值分

别为°」，2,3,求出对应的概率，即可计算期望.

【详解】

设甲答对第i个问题为4,0=123),

3

m)=4p(4)=；P(4)=：

由已知可得4

学生甲恰好答对1个问题可以表示为444+444+444,

又444,444444互斥，且4,4,4两两相互,

所以「(4%无+444+444)

=p«无石)

=p(4

4x(14M1-1)+(14)xr(1-tX,4M14)xr

学生甲恰好答对1个问题的概率为z,

由题意，随机变量X的可能取值分别为：°J，2,3；

31

P(X=O)=1X1-1x

所以I*424

【高考】模拟

xLlx、2xU+3xL纪

E（X）=O

因此,24424412

123

故4；~\2

7_37[

3L3653.

【分析】

以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得

再用坐标表示出丽•丽，由二次函数性质可得所求范围.

【详解】

因为为菱形，所以/CJ.8O,以B。、/C所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标

系，

因为工8=2,^BAD=60°,所以08=00=1,0。=0/=石

百

则AO,-73),5(1,0),0(-1,0),设阳加，丁，N(〃,0)

AB=(1,V3),而=(-1,百)，屈=(初等),AN=(〃,省),

AM=—AB+—AD(tn,―—(—1,V3)

因为62,所以362

W=(n--,--)

又33

1137

AN-MN=n(n——)-1=5——)2——

所以3，6，36

1_37

n=­

因为TO41,所以当6时,丽•丽有最小值36,

【高模拟

当"=T时，丽•丽有值3,

-_371

所以丽•砺的取值范围为136'工

7[_371

故「公3

sin(28_(7)=_*

⑵⑴；

16.(1)4.c=M(ii)

(1)利用正弦定理化简已知条件，求得cosC的值，由此求得角C的大小.

(2)(i)已知两边和夹角，用余弦定理求得边J

(ii)由两角差的正弦公式求得sin(28-O的值.

【详解】

解：(1)由已知及正弦定理得ecosC(sin4cos8+sin8cos')+sinC=0

cosC=_V2

V2COSCsinC+sinC=0>2

C=—

<0<C<乃4

C=%

(2)(i)因为a=©b=2,-4,

c2=a2+b2-labcQsC=2+4-2xV2x2x(---)=10

由余弦定理得2

-^―=-^―sin5=—cosB=—

(ii)由sinCsin55,因为8为锐角，所以5

【高模拟

•Gn)逐2642D-2D3

sin28=2x——x---=-cos28=cos8—sinB=-

555,5,

sin(28-C)=sin2BcosC-cos2BsinC=1x(-¥)-gx*=-^

本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍

角公式以及两角差的正弦公式.

在

17.(1)平面8℃四；(2)5.(3)线段8C上不存在点E,使平面与平

面4。7垂直.

【详解】

试题解析:(1)连结-C,•.•三棱柱/8C-44G中.•.4A///3且4与=45

由平行四边形ABCD得CDHAB且CO=48

CD

...A}B}//CDq=

.•・四边形"ECO为平行四边形，4O//BC

...8]Cu平面8C'G814。＜/:平面灰：。[8]

...AXD//平面BC,GA

【高考】模拟

(2)由N4C5=90。，四边形/8CO为平行四边形得/CLNZ),底面/8C

如图，以A为原点建立空间直角坐标系kz,则C(O,1,O),0(1,0,0)(

4(0,0,2)C,(0,l,2)

，，

.•而=(0,0,2),通二(1,0,-2),4C,=(0,1,0)

设平面04G的法向量为"=（x，y，z）,则

nAD=0,x-2z=0

{-―l■{

n-A}Cx=0.g|jy=0,令z=l,贝!|'=0,x=2

.­=（2,0,1）

_______2亚

|cq|.|n|-2x>/5-5

在

，直线CG与平面04G所成角的正弦值为5.

(3)设尸-l<2<0,则GE=(2，°，一2)

设平面4G尸的法向量为"*=(玉，M，4),则

/Ci•而=0

于加=0{必=0

即Axt-2z1=0

_z,=-m=\1,0,-

令演=1,贝|JM=0n,2,所以I2

由(2)知：平面的法向量为"=(2，°』)

假设平面与平面垂直，则小而=0,解得，2=-4<-1

，线段BC上不存在点F,使平面MG与平面4GF垂直

考点：1.线面垂直：2.直线与平面所成的角；3.存在

己=1

18.(1)43(2)3x±2y+6=0

(1)依题意表示出""BF,根据0•而=1,和离心率为万，求出。力的值，即可求出

【高考】模拟

椭圆方程.

(2)设直线/P的斜率为左，直线4P方程为N=4*+2),设「(%”)，4P中点为

"QH/"),N(x,v，。)联立直线方程与椭圆方程，消去y即可用含左的式子表示尸、”的坐

k=_叱

P

标，即可表示出力P中垂线方程，求出N的坐标，根据0’MLa求出参数k即可得解.

【详解】

解：(1)依题意知：/(一“，°),8(0,6),尸(c,O),BA={-a,-b\BF=(c，-b)t

(a=2

j_.•J

贝I」5[前=_玫+〃=],又e=1=5,历=6，

•>2

八C:二+J

二椭圆C的标准方程为43.

(2)由题意'(々°),设直线”的斜率为",直线北方程为V=4x+2)

所以A/(0,24)，设2&，匕＞),ZP中点为〃(x〃J"),N(XN，0)

y=k(x+2)

"x2y2_

由匕+§一消去夕得(3+4*兴+16/x+1642-12=0

16k2-12

(-2)-x=

P3+4〃

(6-Sk212k、

r[3+4k2,3+4k2

(-8k26k]

6k1(一8左2A

y----------=—x----------

•••/P中垂线方程为：3+4K吠3+4k-)

x--2-

令y=0得X"3+4匕

【高模拟

_2k_3+4左2

.k_6kMN=2H=k

Xp3-4A,3+4左2

(6k>(3+4公♦12

=13-4*1ka

解得*

.»=±l

3

y=±—(x+2)

二直线NP的方程为’2

即3x±2y+6=0

本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题.

106〃+5YT

19.(1)a»="-2,"=2"；(2)答案见解析：(3)918x4"-'+

【分析】

(1)利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求｛"/的通项公式，利用等比数列的

定义即可求也｝的通项公式；

(2)利用等差数列的通项公式和求和公式求出(+「凡与2s向关于〃的表达式，作差后分

类讨论得到a^'a"与2s用的大小关系；

(3)先求出,”，利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和，

进而得到前2〃项的和.

【详解】

(1)由题意可得：

+3d=2=-1

区+4d=3",解得jd=l,

故=T+("l)xl=〃-2

因为数列也，｝满足a=2,b“.,=2b,.

【高考】模拟

所以也｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以—2",

⑵由⑴知："勺=("2)(〃-1)=〃-，

c_〃(-1+〃-2)_〃(〃-3)_(H+1)(/7-2)

"=-2—=^,所以心产―2—

所以2s向=(〃+1)(〃-2)=〃2_〃-2,

所以知+i,a“_2s“+|=-In+4,

所以当“<2时,4Mq>2S,+i,

当〃=2时，勺+1・an=2S〃+|,

当〃N3时，an+\*an<2S”+1；

_n

(3)当〃为奇数时，'"一出，

(3〃-4)(〃-4)-31+16〃-16n2-4n2+16/7—16

当«为偶数时，c"~3一9一亍

_n24A72-16^+16_n2n2-4n+4_n2(n-2)2

"牙r"~~~T―_2A2

对于任意正整数〃，有

V132w-l

Z*=q+q+…+%t=不+歹+…+

1乙乙乙①，

y12〃一32n-\

工注21=尹+,••+^zr+

②,

1」

3s_1222«-1_4"12n-l

吟明丁广••+尹一声

~~~r-2~22n+i

1----

①-②得4

4412n-158+6〃一3

33422466・4”

106〃+5

所以石%一亍一⑶叱

^c2i.=c2+c4+---+c2„

以及国

22222222J2〃y(2〃-2)2

=-2---0---1-4----2--|-6----4----8----6--十…-I----------

2220242226242s2622W22"-2

【高考】模拟

024〃2_n2

2°4"-4"T

。s106”+5rr

18x4"T卡布

因此e*=i*=i，

106n+5n2

所以，数列匕｝的前2〃项和为3-18*4-一护\

方法点睛：数列求和的方法

①倒序相加法：如果一个数列S"｝的前〃项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一

个常数，那么求这个数列的前〃项和即可以用倒序相加法

②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成

的，那么这个数列的前〃项和即可以用错位相减法来求；

③裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而

求得其和：

④分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,

则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

⑤并项求和法：一个数列的前〃项和可以两两求解，则称之为并项求和，形如

"，，=(T)"/'(〃)类型，可采用两项合并求解.

20.(1)(i)y=~e；(ii)”x)min=-e

(2)答案见解析

⑶[e,+8)

【分析】

(1)由导数的几何意义得出切线方程；由导数得出单调性进而得出最值；

(2)构造函数〃(x)=°lnx-G2+a-e,由导数得出单调性并零点存在性定理进行求解；

(3)由/(x)4g(x)得出e"M"'-a(x+lnx+l)+e4°,令，=x+lnx,构造函数

/（/）=e'-a（，+l）+e,由导数

⑴

【高考】模拟

当时，r八

a=e/(x)=e-er-ejx)=e，-e.