突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题34 立体几何中二面角的计算问题(解析版)

专题34立体几何中二面角的计算问题

【高考真题】

1.(2022新高考I卷)如图，直三棱柱A8C-AMG的体积为4,的面积为2夜.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AC的中点，AA{=AB,平面ABC_L平面,求二面角A—必—C的正弦值.

1.解析(I)在直三棱柱ABC-45G中，设点A到平面ABC的距离为〃，

V

则A-A,BC=gSjC/=h=VA_ABC=1s“8c,AA=；VABC-^C,=g,解得/?=a'

所以点A到平面48c的距离为应；

(2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为4A=AB,所以4七，4百，

又平面AI8C_L平面A网A,平面48CA平面A8B14=AtB,

且AEu平面ABB|A，所以A£，平面ABC,

在直三棱柱ABC-481G中，BB]_L平面ABC,

由3Cu平面ABC,3Cu平面A8C可得AE_LBC,±BC,

又AE,B8|U平面且相交，所以8CL平面AB8|A，

所以BC,%%两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由(1)得AE=x/^,所以A4j=AB=2,=2J5,所以8c=2,

则A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0)，所以的中点D(1,l,1),

则BD=(1,1,1),BA=(O,2,O),BC=(2,0,0),

一，.m-BD=x+y+z=0—..

设平面ABO的一个法向量m=(x,y,z),贝(]■)____-,可取机=(1,0,-1),

m-BA=2y=0

..BD=a+b+c=0_.、

设平面加C的一个法向量〃=(a,b,c),贝匹_____,可取〃=

m-BC=2a=0

则8s限正向南=目1=表所以二面角A-即-。的正弦值为网牙=4-

2.(2022新高考II卷)如图，PO是三棱锥P-A8C的高，PA=PB,ABrAC,E是PB的中点.

(1)证明：OE〃平面P1C；

(2)若/4BO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

2.解析(1)连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为PO是三棱锥P—ABC的高，所以POJ_平面A8C,49,8。<=平面/18(7,所以尸0_140、POLBO,

又PA=PB,所以APOA三&OB,即04=08,所以NQ4B=NO区4,

又即ZBAC=90°,所以NQW+NQ4r>=90°,ZOSA+ZODA=90°,所以NOZM=NOW

所以AO=">,即AO=QO=OB,所以。为的中点，又E为尸8的中点，所以OE//PQ,

又OEU平面R4C,PDu平面P4C,所以OE〃平面R4c

(2)过点A作4z//OP,如图建立平面直角坐标系，因为尸0=3,AP=5,所以OA=尸2-尸。2=4，

又NOBA=NOBC=3QP,所以80=204=8,则AO=4,AB=4^3,

所以AC=12,所以0（26,2,0）,446,0,0）,P（2石,2,3）,C（0,12,0）,所以E（30,1弓

则荏=(3出,13)，而=(46,0,0),衣=(0,12,0),

■=3&+y+?=。,令.2,则尸3,x=0,

设平面AEB的法向量为〃=(x,y,z),则

n-AB=4y/3x=0

所以3=(0,-3,2)；

玩・荏=33+万+*=0,令”6则Cj,』，

设平面AEC的法向量为机二(a,b,c),则《

m-AC=l2b=0

所以m=(6,0,-6)；

n•tn-124G

所以COS（%"2

|?i||w|x/13x5/3913，

设二面角C-AE-B为6,由图可知二面角C-AE-5为钝二面角,

所以cos0=-短，所以sin"Jl-cos2，=Z，故二面角C-AE-8的正弦值为

131313

【方法总结】

1.二面角

(1)如图①，AB,C3是二面角aT一£的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=<初，CD

>.

(2)如图②③，小，”2分别是二面角a一/一尸的两个半平面a,万的法向量，则二面角的大小。满足|cos

0|=|cos</n,m>\,二面角的平面角大小是向量功与"2的夹角(或其补角).

2.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a

与平面尸的夹角.

若平面a,/?的法向量分别是和“2,则平面a与平面”的夹角即为向量小和"2的夹角或其补角.设

平面a与平面£的夹角为仇则cos9=|cos<"i，借.

3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得

到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,

则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【题型突破】

1.(2020•全国in改编)如图,在长方体中,点、E,1分别在棱国£h，B以上，且2。丘=皿,

BF=2FBi.

(1)证明：点Ci在平面AEF内；

(2)若A8=2,AD=\,AAi=3,求平面AEF与平面E/小夹角的正弦值.

1.解析⑴设AD—b,AA\—c,如图

以Ci为坐标原点，■GOT,石针，部的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系

C\xyz.

连接GF,则CKO,0,0),A(a,b,c),E(a,0,|c),F(0,b,；c),

或=(0,b,例，&力=(0,b,例，所以以=下了，所以E4〃GF,

即A,E,F,G四点共面，所以点Ci在平面4EF内.

(2)由已知得A(2,1,3),£(2,0,2),F(0,1,1),Ai(2,1,0),

则战=(0,-1,-1),#=(-2,0,-2),屣=(0,-1,2),7^=(-2,0,1).

HrA&=0,1_yLZi=0,

设〃1=(为，yi,zi)为平面AE尸的法向量，则'即

2xj—2zi=0,

可取m=(—1,—1,1).

1.=0,-y2+2z2=0,

设"2=(X2,)%Z2)为平面4E/7的法向量，贝？

7=0,—2%2+Z2=0,

同理可取“2=6，2,1).

因为cos<m,〃2>=]^i=—7，

所以平面AE/7与平面EFA\夹角的正弦值为当

2.(2019・全国[II)图1是由矩形AOEB,RtZVIBC和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=

BF=2,NFBC=60°.将其沿AB,8c折起使得BE与8尸重合，连接。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCJ•平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

FGBC

图I图2

2.解析(1)由已知得A£>〃8E,CG//BE,所以4O〃CG,

所以A。，CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面.

由已知得ABA.BC,1.BEPiBC^B,所以ABJ_平面8CGE.

又因为A8u平面ABC,所以平面ABCJ_平面BCGE.

(2)作EH1.BC,垂足为〃.因为E〃u平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,

平面8CGED平面ABC^BC,所以£7/1.平面ABC.

由已知，菱形BCGE的边长为2,ZEBC=60°,可求得B4=l,EH=4

以H为坐标原点，讹的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hpz,

则A(-l,1,0),C(l,0,0),G(2,0,小)，C&=(1,0,小)，祀=(2,—I,0).

C&-M=0,即卜十八=0,

设平面ACGO的法向量为〃=(x,y,z),则＜_

[2x—y=0.

所以可取n=(3,6,一小).又平面8CGE的法向量可取m=(0,1,0),

所以cos<zz,析>=尚裾=坐.因此二面角B—CG—A的大小为30°.

3.(2019・全国H)如图，长方体ABCD-AIBICQI的底面4BCD是正方形，点E在棱A4上，BElECi

(1)证明:BE_L平面破1G；

(2)若4E=A|E,求二面角8—EC-G的正弦值.

3.解析(1)由已知，得平面ABBIAI,由于BEu平面A8BA,

故8cl_LBE.XBElECi,B\C\^EC\^C\,所以BELL平面EBiG.

(2)由(1)知NBE8|=90。.由题设知RtAABEZRsAiBiE,所以NAE8=45。，AE=AB,AAt=2AB.

以。为坐标原点，次的方向为x轴正方向，反的方向为y轴正方向，初।的方向为z轴正方向，|用

|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则C(0,1,0),B(l,1,0),C|(O,1,2),E(l,0,1),

所以仍=(1,0,0),Cfe=(l,-I,I),CCt=(0,0,2).

品1=0,

设平面EBC的法向量为〃=3，yi,Z1),则＜

Ckn=O,X|—yi+zi=O,

所以可取n=(0,-1,-1).

CC|,77l=O»=

2z20f

设平面ECC]的法向量为〃?=(X2，yiyZ2),贝小

^Cfem=O,、九2一"+Z2=O,

所以可取勿=(1,1,0).于是cos＜〃，加＞=而而=—].

所以二面角B-EC-Ci的正弦值为坐.

4.(2019•全国I改编)如图，直四棱柱A8CD—481G口的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分别是BC,BBi，A。的中点.

(1)证明：MN〃平面GOE;

(2)求平面AMAi与平面MAN夹角的正弦值.

4.解析(1)如图，连接8C,ME.因为M,E分别为BE,BC的中点,

所以ME〃BC,且又因为N为AQ的中点，所以ND==4i。.

由题设知且4Bi=OC,可得8iC〃4。且81c=40,故ME〃ND且ME=ND,

因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MNu平面CQE,EDu平面GOE,

所以MN〃平面GDE.

(2)由已知可得以。为坐标原点，箱的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyzy

则A(2,0,0),4(2,0,4),Af(l,小,2),很(1,0,2),初二(0,0,-4),项=(一1,小，-2),

7?^=(-1,0,-2),两=(0,-小，0).

mAiM=0,

设〃z=(x,y,z)为平面的一个法向量，则，

,mA|X=0,

f-x+d5y_2z=0,广

所以j_4_0.可得m=(小，1,0).

“•疝=U,

设〃=(p,q,r)为平面4MN的一个法向量，则＜

n4H=0,

—y[3q=0t

所以可取〃=(2,0,—1).

-p-2r=0,

mn2sy[\5

于是cos</n,心=丽=2、3=5

所以平面AMA\与平面MA]N夹角的正弦值为丐2

5.(2020・全国I)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.zMBC是底

面的内接正三角形，P为。。上一点，PO=

(1)证明：出_1_平面P8C；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

5.解析(1)设。O=a,由题意可得尸0=手〃，AO=-^-a,AB=a,PA=PB=PC=^a.

因此以2+PB2=A"，从而以_LP£又%2+P02=AC2,

故以_LPC.又PBCPC=P,PB,尸Cu平面PBC,所以以_LfaPBC.

p

(2)以。为坐标原点，，定的方向为y轴正方向，|南|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由

题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),《一坐，0),月(0,0,乎).

所以爱=(一半，一；，0),用=(0,—1,平，

一)'+冬=0,

\mEP=G,

设〃?=(x,必z)是平面PCE的法向量，则J即<

lm-~EC=0,3—5=0.

可取,*=(一乎，1,啦).

由(1)知各=(0,1,坐)是平面PC8的一个法向量，记"=刀

L为唔

贝Ucos<〃，m>~\n\'\m\~5,所以一面角8一夕。一后的余弦傕

6.(2021・全国新H)在四棱锥。一ABC。中，底面ABC。是正方形，,若AO=2,QD=QA=6QC=3.

(1)证明：平面平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

;

6.解析(1)取AO的中点为0,连接Q。，CO.

因为QO=QA,OD=OA,贝』Q0_L4。，而4。=2,。4=小故。。=[5—1=2,

在正方形A8CZ)中，因为A£>=2,故。。=1,故CO=小，

因为。C=3,故QO2+OG=QCS故△QOC为直角三角形且QO±OCf

因为OCnAQ=。，故QO_L底面ABCO.因为QOu平面QAD,,故平面QAD_L底面ABCD

(2)在平面ABCD内，过。作OT〃C。，交BC于T,则OT_LA。，

结合(1)中的。0_1_平面ABCD,故可建如图所示的空间坐标系.

则0(0,1,0),Q(0,0,2),BQ,-1,0),,故苑=(—2,1,2),粉=(—2,2,0).

•血=0,f-2x+y+2z=0,

设平面080的法向量〃=(x,y,z),贝好即I,八八

Ut>=。，2y=6

不妨设x=l,可得"=(1,1,2).

m12

>*n---

而平面QA。的法向量为/n=(l,0,0).故cos<n»,-制33

llnlX-

2

2

二面角8—QO-A的平面角为锐角，故其余弦值为宗

7.(2021•全国乙)如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M为BC的

中点，且

⑴求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

7.解析⑴连结8。，因为尸OJ_底面A8CO,且AMu平面ABCD,

贝又PBCPD=P,PB,尸。u平面P8。，

所以4M_1平面PBD,又BOu平面PBD,则AMLBD,

所以NA8O+NDAM=90。，又NZMM+NMA8=90。，

则有所以RSDABSRIAABM,

则第=黑，所以;BC2=1,解得

AbL)M1v

z

P,

(2)因为D4,DC,DP两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

贝［A(g，0,0),B(巾,1,0),M(乎，1,0),P(0,0,1).

所以#=(一45,0,1),减=(一乎,।,0),丽=(-乎,

0,0).前=(一啦，-1,1)

-y/^x+z=O,

w-A^=0,

设平面4Mp的法向量为〃=(x,y,z),则有＜

令工=表，则y=l,z=2,故〃=(6,1,2),

一半p=o,

/〃•肱=0,

设平面BMP的法向量为〃?=(p,q,r),则有,即1

m•前=0,、-y[2p_q+r=0.

令4=1,则r=L故加=(0,1,1),

业w-3

所以cos<〃，,”>=而而一赤石=14.

设二面角A—PM—B的平面角为a,则sina=\^

所以二面角A-PM-B的正弦值为唔.

8.(2018・全国HI)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧也所在平面垂直，M是无上异

于C,。的点.

(1)证明：平面AMO_L平面BMC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

8.解析(1)由题设知，平面CMC平面ABCD,交线为CD.

因为8C_LCO,8Cu平面488,所以8CJ_平面CM。，故BC_LOM.

因为M为无上异于C,£>的点，且。C为直径，所以。MLCM.

又8CflCM=C,所以。例J_平面8WC.而DWu平面AM。，故平面平面8MC.

(2)以。为坐标原点，福的方向为x轴正方向，求的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系Dxyz.

当三棱锥M—ABC体积最大时，M为0)的中点.

由题设得力(0,0,0),42,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,I,I),

破=(-2,I,1),⑰=(0,2,0),次=(2,0,0).

〃•磁=0,[―2x+y+z=0,

设〃=(x,y,z)是平面M48的法向量，贝K即J可取”=(1,0,2).

[”.就=0,⑵=°・

房是平面MCO的一个法向量，因此，cos<n,箱>="""=坐’sin<”,

I«IIDA|

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是手.

9.(2021・全国新I)如图，在三棱锥4一88中，平面A3。_L平面BCD,AB=AD,。为B。的中点.

(1)证明：OAYCD；

(2)若AOC。是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上,£>E=2EA,且二面角£一8。一。的大小为45。,

求三棱锥A-BC£>的体积.

9.解析(1)因为。为8。的中点，所以A0_L8。，

又平面A8Z)_L平面BCD,平面ABOn平面BCD=BD,AOu平面BCD,

所以AO_L平面BCD,又CDu平面BCD,所以OA1.CD；

z

⑵取on的中点尸，因为△。。。为正三角形，所以CFLOD,

过。作OM//CF与BC交于点M,则OM_LOO,所以OM,OD,OA两两垂直，

以点。为坐标原点，分别以OM,OD,为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则8(0,

—1,0),C(2♦1,0),0(0,I,0),设A(0,0,/),则E(0,1,y),

因为。4,平面BCD,故平面BC。的一个法向量为次=(0,0,r),

设平面8CE的法向量为”=(x,y,z),又就=(坐，0),碇1=((),*y),

〃・贰=0,I多丫一m=0,2

所以由j得J令x=<5,贝!1"=(小，—1,

jiBk—O,§+芸=o,

因为二面角E—8。一。的大小为45。，所以cosv“，j=坐,

|〃||。4|74+*

解得t=1,所以OA=1,又SAOCD=9X1x1*尊,所以SABCD=^^，

LZ4Z

故VA8C0=(XSA8c£>XOA=(X坐、1=乎.

10.(2021・全国甲)已知直三棱柱A8C—AjBiG中，侧面44山归为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC

和CG的中点,。为棱AiBi上的点，BFLAB.

(1)证明：HFLDE-,

(2)当8。为何值时，面BBiGC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？

10.解析(1)连接AF,'：E,尸分别为直三棱柱ABC—48cl的棱AC和CC的中点，且A8=8C=2,

CF=1,BF=®A\B\//AB,：.BF±AB,

:.AF=7AB2+BF2=722+郃)2=3,AC=yjAF2—CF?=732—F=2巾,：.AB2+BC2=AC2,即BArBC.

故以B为原点，BA,BC,381所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(l,1,0),尸(0,2,I),设BQ=m,则拉⑺，0,2),

.•.祥=(0,2,1),I,-2),:济我=0,：.BF±DE.

(2)；A8_L平面BBiGC,...平面8B1GC的一个法向量为，〃=(1,0,0),

由⑴知，Dfe=(l-zw,1,-2),防=(一1,1,1),

/i-D^=0,f(1—m)x+y—2z=0,

设平面的法向量为"=(x,y,z),则有，，即，

I”.肆=0,Jx+y+z=o.

令x=3,则y=/%+l,z=2—故〃=(3,ZH+1,2—m),

诉r/_mm_33

C°mI川，9+(m+1[+(2—m)2，2-2—2—+14

所以当切=(时，面BBiGC与面DFE所成的二面角的余弦值最大为由，此时正弦值最小为坐.

11.(2021•北京)已知正方体ABC。-AIBIGOI,点E为中点，直线3G交平面C0E于点F.

(1)证明：点F为的中点；

⑵若点M为棱43上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为小，求修的值.

II.解析如图所示，取81cl的中点9，连结OE,EF',FC,

由于ABCO-为正方体，E,k为中点，故E尸〃C。,

从而E,F,C,D,四点共面，所以平面CDE即平面CQE9,

据此可得，直线交平面CQE于点产，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，即点F为丛C中点.

（2）以点。为坐标原点，DA,DC,DD\,方向分别为x轴，），轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系

Dxyz,

不妨设正方体的棱长为2,

则，M(2,22,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),

从而，证=(一2,2-22,-2),存'=(1,0,2),建■=((),—2,0),

"7•砒=0,—2x]+(2—2z)y)—2z\—0,

设平面MC77的法向量为〃2=（汨，yi,zi）,所以＜即＜

m-Cp=0,xi+2zi=0,

令句=一1,则平面MCF的一个法向量为，”=（2,占

，—D・

"•用=0,—2j2=0,

设平面CFE1的法向量为"=（工2,〉2,Z2）,所以，即，

nCp—0,K2+2Z2=0,

令22=—1,则平面CPE的一个法向量为“=（2,0,-1）.

从而％”=5,|m|=^j5+(y4j)2,|川=小,

.n-m

则，cos</i,m>=

i1q

整理可得：（Z—1-=不故4=］或］（舍去）.

12.如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到,其中P,C为原正方体的顶点，E,尸为原

正方体侧棱长的中点，正方形43CD为原正方体的底面，G为棱3c上的动点.

(1)求证：平面APC_L平面PECF；

(2)设瑟3进(0<2.<1),当2为何值时，平面EFG与平面ABCD所成的角为加

12.解析(1)由已知可知，EB//FD,且EB=FD,如图，连接80，则四边形EFZJB是平行四边形,

C.EF//BD.•.,底面ABCQ为正方形，：.BD±AC.底面488,：.BD±AP.

又ACnAP=4,...BOI.平面APC,：.EFL^APC.

,：EFu平面PECF,：.平面APCL平面PECF.

(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,

则8(2,2,0),F(0,0,1),E(2,2,1),G(2,2-22,0),F£=(2,2,0),G£=(0,2九1),

m-FE=0,x=­y9

设》i=(x,y,z)是平面EFG的法向量，故，即

z=~2Ay

jn-GE=0,t

令丁=-1,可得机=(1,-1,2，)为平面EFG的一个法向量,

而平面ABCO的一个法向量为〃=(0,0,1).

">尸/解得:尸率,

于是cos^=|cos</n,

又0<2<1,6,

13.如图，已知直三棱柱ABC—4SG中，A4i=AB=AC=l,ABLAC,M,N,Q分别是CG，BC,AC

的中点，点P在直线4Bi上运动，且4°=14a丘引0,1]).

(1)证明：无论入取何值，总有AA/_L平面PNQ；

(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面A8C的夹角为60。？若存在，试确定点P的位置，若不存在,

请说明理由.

13.解析(1)如图，以A为坐标原点，AB,AC,A4所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系，则4(0,0,0),4(0,0,I),Bi(l,0,1),M(0,1,曲,0),Q(0,0),

由否》=储曲=41,0,0)=(九0,0),可得点P(2,0,1),所以丽=(；一九I，-1)饱=(一，，一1).

又A^=(0,1,，，所以丽=o+g—g=0,・丽=o+；—3=0,

所以而，的，而_1_丽，即4W_LPN,AM1PQ,

又PNCPQ=P,所以AM_L平面PNQ,所以无论力取何值，总有AM_L平面PNQ.

即。，即1+"=。，得『守

〃闻=0,任一2}+知一2=0,z=2_2A^

令x=3,所以"=(3,1+2A,2—22)是平面PMN的一个法向量.

取平面A8C的一个法向量为,"=(0,0,1).

假设存在符合条件的点P,则|cos<孙«>|=^==^==1,

化简得422—144+1=0,解得'=7.j也或2=?1+：很(舍去).

7—3由

综上，存在点P,且当4尸=―产■时，满足平面PMN与平面ABC的夹角为60。.

14.已知在四棱锥P—A8C。中，平面尸DC_L平面ABCD,ADLDC,AB//CD,AB=2,DC=4,E为PC

的中点，PD=PC,BC=2yf2.

(1)求证：BE〃平面用。；

(2)若P8与平面ABC。所成角为45°,点P在平面ABC。上的射影为0,问：BC上是否存在一点F,

使平面POF与平面以B所成的角为60。？若存在，试求点尸的位置；若不存在，请说明理由.

14.解析(1)取PO的中点H,连接AH,EH,则EH〃C£>,EH=gcD,

又AB"CD,AB=^CD=2,：.EH//AB,且E”=48,

四边形ABEH为平行四边形，故8E〃HA.又平面用。，"Au平面出。，，跳；：〃平面B4O.

(2)存在，点?为BC的中点.理由：•.・平面PQCJ_平面ABC。，PD=PC,作POJ_£>C,交QC于点

O,连接08,可知。为点P在平面A8C3上的射影，则NP8O=45。.由题可知。8,OC,OP两两

垂直，以。为坐标原点，分别以08,0C,。尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。一

xyz,

由题知OC=2,BC=2®：,OB=2,由NP8O=45。，可知OP=OB=2,

：.P[0,0,2),A(2,-2,0),8(2,0,0),C(0,2,0).

设F(x,y,z),BF^XBC,则。-2,y,z)="—2,2,0),解得x=2—2Ay=24,z=0,

可知尸(2一2九22,0),

设平面以8的一个法向量为/〃=(xi,>>,,zi),：就=(2,-2,-2),矗=(0,2,0),

w-B4=0,(2xi—2yl—2zi—0,

得c令zi=1,得加=(1,0,1).

[7宿=0,⑵尸①

设平面PO尸的一个法向量为"=(X2,)*Z2),：讲=(0,0,2),存=(2—2九2z,0),

可知当尸为BC的中点时，两平面所成的角为60。.

15.如图所示，在梯形A8CO中，AB//CD,/BCQ=120。，四边形ACFE为矩形，且CF_L平面ABCQ,

AD=CD=BC=CF.

(1)求证：EF_L平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并

求此时二面角的余弦值.

15.解析(l)设AZ)=a>=BC=l,'JAB//CD,ZBCD=120°,；.AB=2,

：.AC2=AB2+BC2~2ABBCCOS60°=3,：.AB2=AC2+BC2,贝UBC_LAC.

：CF_L平面A8CO,ACu平面48cO,：.AC±CF,而C7TlBC=C,CF,BCu平面3CF,

，AC_L平面8CF."：EF//AC,平面8CF.

(2)以C为坐标原点，分别以直线CA,CB,CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设则C(0,0,0),A巾,0,0),B(0,1,0),M(A,0,1),

；.磋=(一小,I,0),肱=(九-1,I).

f/i-A^=O,(一­\[3x-\-y=0,

设"=(x,y,z)为平面M48的法向量，由，得，

[“丽=0,Ur->'+2=0,

取x=l,则”=(1,—T).

易知所=(1,0,0)是平面FC3的一个法向量，

.___________1_______________1_____

•，COS<n，心=丽=/+3+小—Nx|=3—p+4,

0<2<A/3,.,.当2=0时，cos<«,/«>取得最小值乎，

二当点M与点尸重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为乎.

16.如图所示，正方形AAQ。与矩形ABC。所在平面互相垂直，48=240=2,点E为AB的中点.

(1)求证：8口〃平面AQE；

(2)设在线段AB上存在点"，使二面角£>LMC—。的大小为专求此时AM的长及点E到平面AMC

的距离.

16.解析⑴连接A。，交4。于点0,；四边形A4QQ为正方形,

二。是的中点，•.•点E为AB的中点，连接0E.

...E0为△A8。的中位线，：.E0//BD\.

又平面AQE,OEu平面4OE,，引力〃平面A0E.

(2)由题意可得。QJ_平面ABCC,以点。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),C(0,2,0),Ai(l,0,1),Di(O,0,1),8(1,2,

0),E(l,I,0),

设M(l,yo.0)(0<yo<2),VA7t=(-l,2-.y0.0),戊=(0,2,-1),

ni-ATt-O,—x+y2-yo=0

设平面9MC的一个法向量为m=(x,y,z),则j即.f

,城'=(),2y—z=0,

令y=l,有〃i=(2—y(),1,2).而平面MC£>的一个法向量为〃2=((),0,1).

要使二面角n—MC—。的大小为去

l兀x川出2曲

则1mcos6=।|cos<m，〃2>尸川.阿=42—市+F+2尸2，

解得yo=2一坐(O$yoW2),故AM=2一坐，此时〃1=停，1,2),D\E—(\,1,—1).

T7_

故点E到平面"MC的距离为4=嚅旦=品-="要.

3

17.(2017・全国H)如图，四棱锥P—A8CO中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面A8CD,A8=BC=；

AD,NBAO=/4BC=90。，E是的中点.

(1)证明：直线CE〃平面以8；

(2)点M在棱PC上，且直线8M与底面ABC。所成角为45。，求二面角例TB—。的余弦值.

p

⑴取出的中点凡连接E尸，BF.因为E是PO的中点，所以EF〃AD,EF=^AD.

17.解析

由/BA£)=NA8C=90。，得BC〃AD,又BC=%D

所以EFJ8C,四边形8CEF是平行四边形，CE//BF,

又BFu平面B48,CEC平面用5,故CE〃平面附B.

(2)由已知得84,40,以A为坐标原点，AB,AO所在直线分别为x轴，y轴，|初|为单位长度,

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),P(0,1,小),

pt={\,0,一小)，霜=(1,0,0).

设A