人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第6节第二课时　定点、定值与探索性问题

第二课时定点、定值与探索性问题

灵活方医方致偎影

课时作业

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

定点问题2,4

定值问题1,3

探索性问题5,6

B级综合运用练

1.已知椭圆C：g+g=l(a>b>0)的离心率为今短轴端点到焦点的距离

为2.

(1)求椭圆C的方程;

⑵设A,B为椭圆C上任意两点,0为坐标原点,且0A10B.证明：原点

0到直线AB的距离为定值,并求出该定值.

(1)解：由题意知,e占g7b2+大2=2,

又a2=b2+c2,

所以a=2,c=V3,b=l,

所以椭圆c的方程为9+yJl.

4

⑵证明:①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±誓，此

时一,原点0到直线AB的距离为管.

②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x„y),

B(x2,y2),

由仔+4L

ky=kxm,

得(l+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

22222Skm

贝U△=(8km)-4(l+4k)(4m-4)=16(l+4/c-m)>0,Xi+x2=-?,

l+4k2

47n2-4

X1X2二———,

l+4fc2

贝Iy»2=(kxi+m)(kx2+m)=：::,

l+4/cz

由0A±0B得koA-koB=-l,

即左,也=T.

XlX2

22

匚匕.5m-4-4k八

所以x1X2+yj2=1+4H=0,

22

BPm=|(l+k),

所以原点0到直线AB的距离为峭尹竽.

Vl+k25

综上,原点0到直线AB的距离为定值等.

2.已知椭圆C:g+y2=l(a>l)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆

M:(x-3)2+(y-l)2=3相切.

(1)求椭圆C的方程；

⑵若不过点A的动直线1与椭圆C交于P,Q两点,且AP・4Q=0,证

明：直线1过定点，并求该定点的坐标.

(1)解：圆M的圆心为⑶1),半径r=V3.

由题意知A(0,l),F(c,0),

则直线AF的方程为、y=l,

C

即x+cy-c=0,

由直线AF与圆M相切,得普£二百，

Vc2+1

解得C2=2,a2=c2+l=3.

故椭圆c的方程为着+y2=l.

—>—>

（2）证明：由/P•AQ=O知AP±AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可

设直线AP的方程为y=kx+l,直线AQ的方程为y=-；x+l.

k

y=kx+1,

联立得9+y2=i.

整理得（l+3k?）x2+6kx=0,

解得x=°（舍去）或x\翁，

故点P的坐标为（良，盖）,

6kk2-3\

同理，点Q的坐标为（H+3'H+3,'

k2313k2

|H+3i+3k2_kT

所以直线1的斜率为6k一'"4k

k2+3l+3k2

所以直线1的方程为广宴（x-k2-3

备+HH

日n卜1

即y=2*-1x-3

所以直线1过定点（0,

3.如图，已知抛物线y2=4x,过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交

抛物线于A,C和B,D两点,且A,D在第一象限,直线AB与x轴的交点

E在原点0和点P之间.

⑴若P为抛物线的焦点,且IAP|=3,求点A的坐标；

（2）若P为动点,且4CDP的面积是AABP面积的3倍,求器的值.

OE

解：（1）设A（x,y）,根据抛物线的定义，

可得|AP|=x+l=3,

所以x=2,可得y2=8,

因为点A在第一象限,所以y=2V2,

所以点A的坐标为(2,2V2).

⑵设A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(e,0),P(m,0),

PD

mAJ-J^AAPD_IIS2XAPDJ/PI

S/^APBPB'SMPDPCI'

且SACPD=3SAAPB,

所以工也

m以PBPC'

所以一生卫1,

73

所以y3y4=3yiy2.

假设有过点(n,0)的直线1:x=ty+n交抛物线y'=4x于M,N两点,

联立消去x,得y2-4ty-4n=0,

则有力+y方4t,yMyN=-4n,(*)

由(*)式可知yiy3=-4m,y2y4=-4m,y2yl=-4e.

二匚_(4m\/4m\_16m2_4m2_.__

所以y3y—)<(~—)-----------12oe_3oyly2,

yiyz4ee

所以m=V3e,

所以且上二百.

OE\e

22

4.已知椭圆E曝+方1的右焦点为F(c,0),且a>b>c>0,设短轴的一个

端点为D,原点。到直线DF的距离为手,过原点和x轴不重合的直线与

椭圆E相交于CG两点，且|旗|+|备1=4.

(1)求椭圆E的方程;

⑵是否存在过点P(2,1)的直线1与椭圆E相交于不同的两点A,B,

且使得OP2=4P/-P8成立?若存在,试求出直线1的方程;若不存在,

请说明理由.

解：(1)由椭圆的对称性知IGF|+1CF|=2a=4,

所以a=2.

又原点0到直线DF的距离为日，

所以空4，

a2

所以bc=V3,

又a2=b2+c2=4,a>b>c>0,

所以b=V3,c=l.

22

故椭圆E的方程为9+5=1.

(2)存在.

当直线1与x轴垂直时不满足条件，

故可设A(xi,yi),B(X2,y2),

直线1的方程为y=k(x-2)+l,

代入椭圆的方程得

(3+4k2)x-8k(2k-l)x+16k2-16k-8=0,

匕匚I、I,8fc(2fc-l)16fc2-16/c-8

所以Xi+X尸、X|Xk3+4H，

△=32(6k+3)>0,

所以k>-1.

因为苏=4易•PB,

即4[(Xi-2)(x2-2)+(yi-l)(y2-l)]=5,

所以43-2)3-2)(1+1<2)=5,

2

即4[XIX2-2(xi+x2)+4](l+k)=5,

n=5

所以4「6*16,8一2.^^1+4](K)=4.

3+4fc23+4/c23+4/c2

解得k=±ik=4不符合题意,舍去.

所以存在满足条件的直线1,其方程为y=|x.

C级应用创新练

5.(2021•新高考I卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点B(-旧,0),

F2(V17,0),点M满足lMFj-1MF21=2.记M的轨迹为C.

⑴求C的方程；

⑵设点T在直线xg上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q

两点，且|TA|­|TB|=|TP|・|点I,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率

之和.

解:⑴因为|MF」-|MF2]=2<FF2「=2g,

所以点M的轨迹C是以F“F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.

设双曲线的方程为马-除1(a>0,b>0),半焦距为c,则2a=2,c="7,得

a2b2

a=l,b2=c2-a2=16,

所以点M的轨迹C的方程为x2-^=l(x^l).

16

⑵设T(1,t),

由题意可知直线AB,PQ的斜率均存在且不为0,

设直线AB的方程为y-t=ki(x£)(kiWO),

直线PQ的方程为y-t=k2(x-1)(k2#0),

由《V2

x2--=1,

I16

得(16-好)x-2ki(t-^)x-(t-^)-16=0.

设A(XA,yA),B(xB,yB),易知16-幅WO,

r,-O粤）2-162kl（t号）

X+XB=-

则X'XB=晨福A16-kl

所以ITA|=Jl+A：|xA-|I=J1+烂（xA-1）,

ITBI=yjl+klIXB-|I=y/l+kl（X|-|）,

则ITAI♦|TB|=（1+好）（XA£）（XB-?=（1+好）［XAXB4（XA+XB）+：］=

2kl（t与）+“（i+好）“2+12）

（1+田）［

16-kl216-好4好-16

（1+抬）（/+12）

同理得|TP|•|TQ|=-

始-16

因为|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|,所以（1+%—+12）=（12号（:吧,所以

瞋T6购一\6

抬-1.6+4抬-16般=暇-16+好抬T6状,即幅=妖,

又ki^k2,所以ki=-k2,即ki+k2=0.

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

6.（2021•浙江杭州高三模拟）如图，已知圆G：（x-h+e+lVW和抛

2

物线C2：x=4y）P（Xo,y0）是圆。上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物

线C2的焦点.

⑴当直线PM与圆（相切，且|PM|=|FM|时，求X。的值;

（2）过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,A,B分别为切点,求证:存在

两个x。,使得4PAB面积等于手.

⑴解:焦点F坐标为（0,1）,

设M（XM,拳），

4

则IPM|=J（%-1）2+（率+1）2,

由抛物线定义,得M到焦点F的距离等于到抛物线准线y=-l的距离,

所以|FM|*+1,

4

由|PM|=|FM|,

得J（S）2+（乎+1）2［孕1,

X=

所以XM弓或Mp

所以M©3）或M（|,白）,

216Z16

此时PM与准线y=-l垂直，

所以Xog或Xo=|.

⑵证明：由题意，得（x„-D*2+（y°+l）2=；,

设直线PA方程为y-y°=L（x-x。），代入x2=4y,

2

得x-4kiX-4（yo-kiXo）=0,

A=16ki+16（yo-kixo）=0,

整理得幅-kiXo+yo=O,①

同理,设直线PB方程为y-y0=k2（x-x0）,

有心-k2Xo+yo=0,②