高等数学电子教案第11章 曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分和曲面积分§1对弧长的曲线积分章节课时2教学目的理解对弧长的曲线积分的概念、性质与计算；掌握对弧长的曲线积分的计算方法。教学重点及对弧长的曲线积分的计算。突出方法教学难点及突破方法对弧长的曲线积分的计算。曲线积分与定积分的定义虽然不同，但都是和的极限，且曲线积分可化为定积分计算，且两者的性质相似。曲线积分的定义可以类似地推广到积分曲线为空间曲线弧的情形。《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P262-P268《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P578-P584相关参考资料教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.1第一类曲线积分定义：。公式：应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:x=x(t),y=y(t),z=z(t)t∈[α,β]2.函数f(x,y,z)在L上有定义，且连续。公式变形：若L为平面曲线，L方程为y=y(x),x∈[a,b]，则公式可以写成为：对弧长曲线积分的性质：1.2.3.，（L=L1+L2）常用计算法：１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．２．对于平面曲线，可以用公式的变形．３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．公式推导及证明的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，α=t0<t1<t2<…<tn=β,（t∈[α,β]）；记d＝max（ti-ti-1），Δsi为［ti,ti-1］上的弧长，ξi为［ti,ti-1］上任意一点．求和：利用积分定义，由弧长公式：由中值定理：其中ξi*是由中值定理确定的［ti,ti-1］上的一点，Δti=ti-ti-1；于是：利用f(x,y,z),x/(t),y/(t),z/(t)的连续性，有：取极限得公式：第一型曲线积分与定积分和重积分不同的是，曲线积分的积分区域是曲线段。第一型曲线积分弧长无方向性，定义中的Δsi〉0。第十一章曲线积分与曲面积分章节课时2§2对坐标的曲线积分教学目的理解对坐标的曲线积分的定义、性质、物理意义及计算。掌握对坐标的曲线积分的计算方法。了解其对积分路径的可加性和有方向性质。两类曲线积分的联系。教学重点对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。及突出方法教学难点及对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。突破方法《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P269-P280《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P579-P584相关参考资料教学过教学思路、主要环节、主要内容程11.2第二类曲线积分定义：，以上这两个积分称为第二类曲线积分。第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j作用，在xoy平面内从点Ａ沿光滑曲线L移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即,其中ds=dxi+dyj。类似地可以推广到空间情形。第二类曲线积分的性质：1.2.，（L=L1+L2）3.设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则：第二类曲线积分的计算方法：（1）把积分曲线的参数方程代入曲线积分中，使其化为定积分再计算①曲线L由方程x=x(t),y=y(t),α≤t≤β给出，则注意：下限α对应曲线L的起点，上限β对应曲线L的终点。②曲线L由方程y=f(x),(a≤x≤b)给出，则③曲线L由方程x=g(y),(c≤y≤d)给出，则两类曲线积分的关系：其中{cosα,cosβ}为有向曲线L在点(x,y)处的单位切向量（空间曲线类似）。第十一章曲线积分和曲面积分§3格林公式及其应用章节课时2教学目的掌握格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分和利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。教学重点及格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。突出方法教学难点及突破方法利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P283-P296《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P585-P615相关参考资料教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.3格林公式及其应用定理（格林公式）：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有中L是D的取正向的边界曲线。平面上曲线积分与路径无关的条件：成立，其设G是连通开区域，P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等第十一章曲线积分和曲面积分§4对面积的曲面积分章节课时2教学目的掌握对面积的曲面积分的定义、性质、计算方法。教学重点及突出方法对面积的曲面积分的计算方法。对面积的曲面积分的计算方法。教学难点及突破方法相关参考资料《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P298-P304《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P616-P621教学过教学思路、主要环节、主要内容程11.4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的定义设f(x,y,z)是定义在光滑曲面∑上的有界函数，将∑任意分割成n小块ΔSi（ΔSi也表示第i小块面积，i=1，2，…，n），在每个ΔSi上任取一点(ξi,ηi,ζi)，记λ=max{ΔSi的直径|i=1，2，…，n}，若极限存在，则称这个极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分，记作，亦称它为第一型曲面积分。其物理意义是面密度为f(x,y,z)的光滑曲面∑的质量。其中：f(x,y,z)叫做被积函数，∑叫做积分曲面，dS叫做曲面面积元素。二、对面积的曲面积分的性质由对面积的曲面积分的定义,可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）:1.2.若∑可以分割为∑1,∑2两片,且∑1与∑2除公共边界外无交点.则三、对面积的曲面积分得计算方法如果∑可以表示为单值函数z=z(x,y),Dxy为∑在xoy平面的投影区域.设z(x,y)在,Dxy上有一阶连续偏导数.f(x,y,z)在上连续,则分:存在,且可以化为二重积类似地可得到曲面方程形如y=y(x,z)及x=x(y,z)时对面积的曲面积分公式。1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出z/x与z/y后.由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式.2.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.注意：1.对面积的曲面积分的计算公式可归纳为：一化、二代、三计算。即：根据曲面∑的方程，将去面的面积元素dS化成相应的二重积分的面积元素；将∑的方程直接代入被积函数中；计算转化后的二重积分。2.公式中的函数z=z(x,y)等都应为由曲面∑的方程求得的单值函数。否则，需将曲面∑分片，使分片后的各片曲面为单值函数。3.如果曲面∑既可表示成x=x(y,z)的形式，又可表示成y=y(x,z)或z=z(x,y)的形式时，仍需有选择地使用其中的某一公式，选择标准：∑在坐标面上的投影区域简单为好；带入后的被积函数也尽可能简单，二重积分易于计算为好。第十一章曲线积分与曲面积分章节课时2§5对坐标的曲面积分教学目的掌握对坐标的曲面积分的定义、性质、计算方法。教学重点及对坐标的曲面积分的计算方法。突出方法对坐标的曲面积分的计算方法。矢量的点积法计算第二类曲面积分：设曲面方程为z=z(x,y)，规定∑的法矢量方向为{-z/x，-z/y，1}，则教学难点及突破方法“+”，“-”的确定：若题设中曲面∑的侧与{-z/x，-z/，y1}相同，取“+”，否则取“-”。相关参考资料《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P305-P316《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P616-P621教学过教学思路、主要环节、主要内容程11.5对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念记R(x,y,z)为定义在光滑的有向曲面∑上的有界函数，将∑任意分割成n小块ΔSi（ΔSi也表示第i小块面积，i=1,2,…,n），ΔSi在xoy平面上的投影为(ΔSi)xy，在每个ΔSi上任取一点(ξi,ηi,ζi)，若极限存在，（λ=max{ΔSi的直径|i=1，2，…，n}），则称这个极限为函数R(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标x,y的曲面积分，记作。类似地，可以定义函数P(x,y,z)在∑上对坐标y,z的曲面积分。类似地，可以定义函数(,y,)在∑上对坐标y,的曲面积分；也可以定义函数Q(x,y,z)在∑上对坐标x,z的曲面积分。对坐标的曲面积分亦称第二型曲面积分，常有形式为。其物理意义是单位时间内流向∑指定侧的流体的流量。二、对坐标的曲面积分的性质：1.其中：∑=∑1+∑22.设∑是有向曲面，（-∑）表示与∑取相反侧的有向曲面，则三、第二类曲面积分计算：步骤是“一代二投三定向，曲积化为重积算”。即若∑方程为z=z(x,y)，Dxy为∑在xoy面上的投影区域，则，当∑为上侧时右侧取“+”，∑为下侧时右侧取“-”。类似地，若∑方程为x=x(y,z)，则，右侧正负号依∑前后侧而定。若∑方程为y=y(x,z)，则，右侧正负号依∑左右侧而定。四、两类曲面积分之间的联系其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。第十一章曲线积分和曲面积分§6高斯公式通量与散度章节课时2教学目的掌握高斯公式的基本概念，并利用高斯公式计算第二类曲面积分。高斯公式及利用高斯公式计算第二类曲面积分。教学重点及突出方法教学难点及高斯公式及利用高斯公式计算第二类曲面积分。突破方法《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P317-P325《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P629-P632相关参考资料教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.6高斯公式、通量与散度一、高斯公式定理：设空间闭区域是由分片光滑的闭区面∑所围成，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，则有这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧。二、通量设有一矢量场，则称沿场中有向曲面∑某一侧的曲面积分：第十一章曲线积分与曲面积分章节课时2§7斯托克斯公式环流量与旋度教学目的掌握斯托克斯公式、环流量及旋度的基本概念，并利用斯托克斯公式计算曲线积分。教学重点及利用斯托克斯公式计算曲线积分。突出方法教学难点及利用斯托克斯公式计算曲线积分。突破方法《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P326-P331《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P632-P635相关参考资料教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.7斯托克斯公式、环流量与旋度一、斯托克斯公式设Г为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Г为边界的分片光滑的有向曲面，Г的正向与∑的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面∑在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，则有：此公式叫做斯托克斯公式。二、环流量设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线L的曲线积分叫作此矢量场按所取方向沿曲线L的环流量。设，则环流量可写成：三、旋度简单说，旋度是环流量对面积的变化率。设有矢量场，其中P、Q、R均有连续的一阶偏导数，则旋度为：第十一章曲线积分和曲面积分场论初步（补充）章节课时2教学目的简要介绍场的基本概念，介绍数量场的方向导数、梯度，矢量场的散度及旋度。教学重点及场的基本概念，梯度、散度及旋度。突出方法教学难点及场的基本概念，梯度、散度及旋度。突破方法《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P334-P357《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P635-P643相关参考资料教学过程教学思路、主要环节、主要内容一、场的概念如果