四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-03解答题

四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学

试卷汇编-03解答题

一.解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）

1.（2021秋•双流区期末）（1）计算：（』）一1-（-1）2022+（1--rr）o-V9：

3

（2）解方程：（x+1）2=3（x+1）.

二.解一元二次方程-公式法（共1小题）

2.（2020秋•双流区期末）（1）计算：（工）一2-J§cos30°+（1-n）°-河；

2

（2）解方程：x（2r-5）=4x-10.

三.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

3.（2019秋•双流区期末）（1）计算：（』）-1-173-2|-3tan30°+（2。纱+口）0；

22019

（2）解方程：（x+8）（x+1）=-12.

四.一元二次方程的应用（共1小题）

4.（2021秋•双流区期末）某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商

品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个

月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少

元？

五.反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

5.（2021秋•双流区期末）如图，平面直角坐标系中，直线yi=fcv+6分别与x,y轴相交于

点A,B,与双曲线"=如分别交于点C,。（点C在第一象限，点。在第三象限），作

x

CEJ_x轴于点E.己知。4=4,OE=OB=2.

（1）求直线A8和反比例函数的表达式；

（2）在），轴上是否存在一点P,使S“BP=SACEO?若存在，请求出。的坐标；若不存在,

请说明理由.

6.(2020秋•双流区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax-3a(aW0)与x轴、>•

轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=K(%>0)的一个交点为C,且BC=LAC.

x2

(1)求点A的坐标；

(2)当S&AOC=3时，求。和&的值.

7.(2019秋•双流区期末)已知一次函数yi=2x+m的图象与反比例函数”=目的图象交于

x

A,8两点，且点4的横坐标为1.

(1)求一次函数的表达式；

(2)若反比例函数在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.

8.(2021秋•双流区期末)如图，过A(2,0),8(0,2)的直线y=-x+2与双曲线尸区

4x

(x>0)交于P(1,3),Q(3,1)两点，连接。。.点C是线段04上一点(不与

2222

O,A重合），C£>_LAB于。，DELOB于E.设CA=a.

（1）求AQ的长；

（2）当a为何值时，CE=AC?

（3）设。。，EC相交于点F,是否存在这样的点C,使得为等腰三角形？若存在,

求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

七.二次函数的应用（共2小题）

9.（2020秋•双流区期末）某儿童服装经销商销售一种商品，经市场调查发现：该商品的一

周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、一周销售量、一周销售利润w

（元）的二组对应值如下表：

售价X（元/件）5060

一周销售量y（件）10080

一周销售利润w（元）10001600

注：一周销售利润=一周销售量X（售价-进价）

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）该商品如何定价，才能使一周销售利润最大，最大利润是多少？

10.（2019秋•双流区期末）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情

况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销

售量将减少10个.物价局规定售价不能超过进价的240%.

（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？

（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？

八.二次函数综合题（共2小题）

11.（2020秋•双流区期末）如图1,在平面直角坐标系中，过点A（5,4）作ABLx轴于点

B,作轴于点C,。为上一点，把△ACD沿8折叠，使点A恰好落在08边

上的点E处.

(1)己知抛物线＞=2?+小+,•经过A、E两点，求此抛物线的解析式；

(2)如图2,点尸为线段C。上的动点，连接8兄当△BDF的面积为21时，求tan/

20

BFD的值；

(3)将抛物线y=2?+fcr+c平移，使其经过点C,设抛物线与直线4c的另一个交点为

M,问在该抛物线上是否存在点M使得ACMN为等边三角形？若存在，求出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

12.(2019秋•双流区期末)已知，矩形OA8C在平面直角坐标系中的位置如图，点B的坐

标为(6,3),抛物线(aWO)经过点A.

(1)求c的值：

(2)若a=-l,且抛物线与矩形OABC有且只有三个交点A,D,E,求的面积

S的最大值；

(3)若抛物线与矩形有且只有三个交点A,M,N,线段MN的垂直平分线/过点O,交

线段8c于点F.当8F=1时，求抛物线的表达式.

九.四边形综合题(共3小题)

13.(2021秋•双流区期末)已知,在菱形488中，ZABC=60°，点P在射线A8上,

点。在射线BC上，且AP=8Q.连接4C,AQ,CP,直线A。与直线CP交于点H.

(1)如图1,当P,。两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ=CP；

(2)如图2,当P,Q两点分别到线段AB和线段BC的延长线上时.

①求/C4Q的度数；

②连接。H,过点。作。E_LP〃交PH延长线于点E.若AH=,〃，DH=〃,求CE的长

14.(2020秋•双流区期末)如图1,在矩形ABC。中，AB=8,BC=6,连接AC,点。为

AC的中点，点E为线段8c上的动点，连接OE,过点。作。尸，。£交AB于点F,连

接EF.

(1)如图1,当CE=3时，求OF的长:

(2)如图2,当点E在线段8c上运动过程中，©2的大小是否发生变化？若变化，请说

0E

明理由；若不变，请求出型的值；

0E

15.(2019秋•双流区期末)如图，等边aABC中，D,尸分别是边BC,A8上的点，且CD

=BF,以A£＞为边向左作等边△ADE,连接CF,EF,设图□=&.

DC

(1)求证：CF=DE；

(2)当NDEF=45°时，求火的值：

(3)是否存在实数上使的CDEF=25AABC?若存在，求出左的值；若不存在，请说明

2

理由.

A

E

一十.作图一应用与设计作图（共1小题）

16.（2019秋•双流区期末）如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形

的顶点称为格点.已知点O,M,N,A,B均在格点上，请按要求完成下列问题：

（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出NMON的平分线OP,并简要说明画图的

依据；

（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个RtZXABC,使点C在格点上，并简要说

明画图的依据.

一十一.几何变换综合题（共1小题）

17.（2020秋•双流区期末）如图1,在RtZXABC中，N4CB=90°,AC=BC,将点C绕点

B,顺时针旋转105°得到点D,连接BD,过点D作DELBC交CB延长线于点E,点F

为线段OE上的一点，且/QBP=45°,作/8尸。的角平分线FG交AB于点G.

（1）求NBF。的度数：

（2）求8尸，。凡G尸三条线段之间的等量关系式；

⑶如图2,设H是直线CE上的一个动点，连接HG,HC,若AB=&,求线段HG+HC

的最小值（结果保留根号）.

一十二.相似三角形的应用(共1小题)

18.(2021秋•双流区期末)如图，一教学楼AB的高为20/M,教学楼后面水塔CD的高为

30〃?，已知BC=30〃z,小张的目高E尸为16".当小张站在教学楼前E处时，刚好看到

教学楼顶端A与水塔顶端。在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE.

一十三.作图-位似变换(共1小题)

19.(2021秋•双流区期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,

2),B(1,3),C(2,1).

(1)请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出AABC的位似图形△All。,

使它与aABC的相似比为2：1；

(2)求出△481。的面积.

一十四.相似形综合题(共2小题)

20.(2021秋•双流区期末)如图，等边△ABC的边长为12,点。，E分别在边AB,AC上,

且A£>=AE=4,点F为8A延长线上一点，过点F作直线/〃BC,G为射线BC上动点,

连接GD并延长交直线/于点”，连接尸E并延长交BC于点M,连接，E并延长交射线

BC于点N.

(1)若AF=4,当BG=4时，求线段HF和E”的长；

(2)若AF=a(a>0),点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变.若不变，

求出其值(用含。的代数式表示)；若改变，请说明理由.

21.(2019秋•双流区期末)如图，在四边形A8CD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,AD=

3,NB=NC.点M为边BC的中点，点E,F分别在边A8,CQ上，连接EM,FM,

EF,有NEMF=NB.

(1)求证：EM・MC=MF,EB；

(2)若△BEM是以EM为腰的等腰三角形，求E尸的长；

(3)若EF_LC£>,求BE的长.

D

夕------M-------c

一十五.解直角三角形的应用（共1小题）

22.（2020秋•双流区期末）小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在

到公路/的距离为（）.1千米的P处.一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A

处行驶到2处所用的时间为4秒，并测得NAPO=59°,N8PO=45°.根据以上的测

量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度.（参考数据：sin59°^0.86,cos59°七0.52,

tan590=1.66）

一十六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

23.（2019秋•双流区期末）如图，一旗杆AB需要被一根钢绳以固定，施工者在点P处测

得旗杆顶端A的仰角为53°.已知点P到旗杆的距离PB为12〃?，那么施工者至少需要

准备多长的钢绳？

（参考数据：sin53°-0.80,cos53°七0.60,tan53°F.33）

一十七.列表法与树状图法（共3小题）

24.（2021秋•双流区期末）小明设计了一个摸球试验：在一个不透明的箱子里放入4个相

同的小球，球上分别标有数字0,10,20和30,然后从箱子里先后摸出两个小球（第一

次摸出后不放回）.

（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为，最多为；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30

的概率.

25.（2020秋•双流区期末）目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种

现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的

态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持

反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动.

（1）请用画树状图或列表的方法表示2位家长所在班级的所有可能出现的结果；

（2）求选出的2位家长来自相同班级的概率.

26.（2019秋•双流区期末）小刚和小明玩数学游戏，小刚取出一个不透明的口袋，口袋中

装有四张分别标有数字2,3,4,6的卡片，卡片除数字外其余都相同，小刚要求小明从

中随机抽取一张卡片并记录下卡片上的数字，将卡片放回洗匀，再次从中随机抽取一张

卡片，同样记录下卡片上的数字.

（1）请用画树状图或列表的方法表示小明两次抽取卡片的所有可能出现的结果；

（2）求小明两次抽到的卡片上的数都能被2整除的概率.

四川省成都市双流区3年(2019-2021)九年级(上)期末数学

试卷汇编-03解答题

参考答案与试题解析

一.解一元二次方程-直接开平方法(共1小题)

1.(2021秋•双流区期末)(1)计算：(』)-(-1)2022+d-n)0-V9；

3

(2)解方程：(x+1)2=3(x+1).

【解答】解：(1)原式=3-1+1-3

=0;

(2)(x+1)2=3(x+1),

(x+1)2-3(x+1)=0,

则(x+1)(x-2)=0,

；.x+l=0或x-2=0,

解得Xl=-1,XI—1.

二.解一元二次方程-公式法(共1小题)

2.(2020秋•双流区期末)(1)计算：(/)-2-J§COS30°+(1-n)°-J§；

(2)解方程：x(2x-5)=4x-10.

【解答】解：(1)(A)-2-V3COS30°+(1-n)°-V9

2

=4-A/3X—+1-3

2

=1.

2

(2)Vx(2x-5)=4x-10,

:.x(2x-5)=2(2x-5),

:.(x-2)⑵-5)=0,

.*.x-2=0或2x-5=0,

***X1=2,X2=-^-.

2

三.解一元二次方程.因式分解法(共1小题)

3.(2019秋•双流区期末)(1)计算：(2)r--2|-3tan30°+(2020+tc)0；

22019

(2)解方程：(x+8)(x+1)=-12.

【解答】(1)解：原式=2-(2-73)-3X近+1

3

=1.

(2)解：(x+8)(x+1)=-12,

.".X2+9X+20=0,

二(x+4)(x+5)=0,

.'.Xi=-4,X2—-5,

四.一元二次方程的应用(共1小题)

4.(2021秋•双流区期末)某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商

品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个

月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少

元？

【解答】解：(1)根据题意，y=300-10(x-60)

.♦.y与x的函数表达式为：y—-10x+900；

(2)设每个月的销售利润为w元，

由(1)知：vv=(x-50)(-10x+900)

=-10?+1400x-45000,

由题意得：-107+14OO.r-45000=4000,

解得：x=70,

...这个月该商品卷件的销售价为70元.

五.反比例函数与一次函数的交点问题(共3小题)

5.(2021秋•双流区期末)如图，平面直角坐标系中，直线a=日+6分别与x,y轴相交于

点A,B,与双曲线”=典分别交于点C,。(点C在第一象限，点。在第三象限)，作

x

CEJ_x轴于点E.已知。4=4,OE=OB=2.

(1)求直线48和反比例函数的表达式；

(2)在)，轴上是否存在一点P,使SAABP=&CEO?若存在，请求出P的坐标；若不存在,

请说明理由.

【解答】解：(1)在Rtz^AOB中，0A=4,0E=0B=2,

二点A,8的坐标分别为(-4,0),(0,2),

f1

将点A,2的坐标代入直线的表达式，得［b=2，解得|卜而，

I-4k+b=0b=2

/.直线AB的表达式为yi=工+2,

2

当x=2时，yi=—Y+2=3,

2X

工点C的坐标为(2,3),

将点。的坐标代入”=皿得：3=蚂，解得加=6,

x2

...反比例函数的表达式72=旦；

X

(2)存在，

设点P的坐标为(0,力

则SACEO——CE'OE——X9X3=3，

22

而SyBP=尸・0A=』X|2-1X4=2X12-t\=3,

22

解得或工，

22

...点尸的坐标为(0,-1)或(0,1).

22

6.(2020秋•双流区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线(aWO)与x轴、y

轴分别相交于A、8两点，与双曲线y=K(x>0)的一个交点为C,且8C=』AC.

x2

(1)求点A的坐标；

(2)当SAAOC=3时，求。和女的值.

【解答】解：（1）由题意得：令y=ar-3a（aWO）中y=O,

即nx-3a=O,解得x=3,

.♦.点A的坐标为（3,0）,

故答案为（3,0）.

（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

；.NBCM=NBAO,且NAB0=NC20,

...△BCMS^BAO,

•BC_CM即.1_CM

・京诂‘、•3'~，

二CM=I,

又S"OC李A・CN=3

即：yX3XCN=3>

・・・CN=2,

・・・C点的坐标为(1,2),

故反比例函数的&=1X2=2,

再将点C(1,2)代入一次函数y=or-3a(〃70)中,

即2=〃-3a,解得a—~1,

・••当SAAOC=3时，a=-1,k=2.

7.（2019秋•双流区期末）已知一次函数yi=2x+〃?的图象与反比例函数”=旦的图象交于

X

A,B两点,且点A的横坐标为1.

（1）求一次函数的表达式；

（2）若反比例函数在第一象限的图象上有一点。到y轴的距离为3,求△A8C的面积.

【解答】解：（1）•••点A的横坐标为1,代入反比例函数表达式，得”=,=6,

・••点A的坐标为（1,6）,

又•:点A在一次函数yi=2x+次的图象上，

，2+"?=6,

.•・加=4,

・・・一次函数的表达式为yi=2x+4；

（2）由题意知点C的横坐标为3,代入反比例函数表达式得”=旦=2,

3

...点C的坐标为（3,2）,

过点C作CD//X轴交直线AB于D,则点D的纵坐标为2,

2x+4=2,

•»x--1,

：.D（-1,2）,

・・.CD=4,

y=2x+4zz_

由，6，解得卜/或（x=-3,

y=YIy=6|y=-2

...点B的坐标为（-3,-2）,

SAABC—SAACD+SABCD——CD,(yA-yB)=—X4X(6+2)=16.

22

8.(2021秋•双流区期末)如图，过A(2,0),B(0,2)的直线y=-x+2与双曲线y=2

4x

(x>0)交于P(X3),Q(旦，-1)两点，连接OQ.点C是线段OA上一点(不与

2222

O,A重合)，C£>_LAB于。，DElOB^rE.设CA=a.

(1)求AQ的长;

(2)当a为何值时，CE=AC?

(3)设OQ,EC相交于点F,是否存在这样的点C,使得△OEF为等腰三角形？若存在,

'：Q(旦，工),

22

：.QN=-L,

VZBOA=90°，OA=OB=2,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

：.AQ=yTiQN=返;

2

(2)如图1中，过点。作DG±OA于点G.

'：ZOAB=45°，CDVAB,

/.△CDA是等腰直角三角形,

.*.OG=』C4=L,

22

'JDEVOB,

，四边形OEDG是矩形,

...OE=DG=L,

2

'：CE=AC,

(2-«)2+(Aa)2=“2,

2

解得，a=8+4«(舍去)，或a=8-4料,

.,.当a=8-4«n寸，CE=AC；

(3)存在.由(2)可知，C(2-m0),E(0,A),

2

/.直线CE的解析式为且,

-2a-42

•.•Q(1,1),

22

直线OQ的解析式为y=L,

3

2

aa6a-3a

y=x4x=a+4

由，2:TT7,解得，,

2a-a2

•p(6a~32a-a^

a+4a+4

①如图2中，当EF=OF时，过点F作FHLOE于点H,则。"=」。£,

2

...2a-a2=L,

a+44

解得，。=0(舍去)或。=匹，

5

经检验，。=且是分式方程的解，

5

：.C&,0).

5

②如图3中，当OE=O/时，则OF=L,

2

过点F作FHLOC于点H.

••p（6a~32a~

a+4a+4

：.FH=1.OH,

3

解得，a=0(舍去)或“=空全匝，

_13

经检验，“=竺生叵是分式方程的解，

_13

:.c(4^IQ-L2.,o).

13_

③当OE=E尸时，过点E作EKLOF于点K,则OK=L)F=『^_FH,

22

由△E0KS/\0/7/,可得0E=Fd0K=5FH,BPFH=loE,

5

・2a-a2—1〃

•------——cl,

a+410

解得，a=0（舍去）或“=」与，

11

经检验，“=」旦是分式方程的解，

11

综上所述，满足条件的点C的坐标为（旦，0）或（空叵N,0）或（且，0）.

51311

七.二次函数的应用（共2小题）

9.（2020秋•双流区期末）某儿童服装经销商销售一种商品，经市场调查发现：该商品的一

周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、一周销售量、一周销售利润w

（元）的二组对应值如下表：

售价x（元/件）5060

一周销售量y(件)10080

一周销售利润w(元)10001600

注：一周销售利润=一周销售量X(售价-进价)

(1)求)，关于x的函数解析式；

(2)该商品如何定价，才能使一周销售利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：(1)设y关于x的函数解析式是>=日+6,

f50k+b=100)

I60k+b=80'

解得”=-2,

lb=200

即y关于x的函数解析式是y=-2A+200;

(2)进价为50-1000+100=40(元/件)，

w=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,

，当x=70时，w取得最大值，此时卬=1800,

答：该商品定价为70元/件时，才能使一周销售利润最大，最大利润是1800元.

10.(2019秋•双流区期末)某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情

况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销

售量将减少10个.物价局规定售价不能超过进价的240%.

(1)如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？

(2)该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：(1)设实现每天800元利润的售价为x元/个，根据题意，得

(x-2)(500-10)=800

0.1

整理得：x2-10J:+24=0,解得：xi=4,%2=6

•••物价局规定，售价不能超过进价的240%,即2X240%=4.8(元)

.♦.x=6不合题意，舍去，；.x=4

售价为4元/个，每天可获得800元的利润

(2)设每天利润为w元，定价为x元/个，得

w=(x-2)(500-^.X10)=-100A-2+1000X-1600=-100(x-5)2+900

0.1

当时w随x的增大而增大，且xW4.8

当x=4.8时，w最大

W最大=-100X（4.8-5）2+900=896

当定价为4.8元/个时，每天利润最大，最大利润是896元

八.二次函数综合题（共2小题）

11.（2020秋•双流区期末）如图1,在平面直角坐标系中，过点A（5,4）作轴于点

B,作轴于点C,。为AB上一点，把△4CD沿CO折叠，使点A恰好落在OB边

上的点E处.

（1）己知抛物线y=2?+/w+c经过A、E两点，求此抛物线的解析式；

（2）如图2,点尸为线段C。上的动点，连接当△BD尸的面积为2L时，求tan/

20

BFD的值；

（3）将抛物线y=2?+〃x+c平移，使其经过点C,设抛物线与直线AC的另一个交点为

M,问在该抛物线上是否存在点M使得△CMN为等边三角形？若存在，求出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）•••点A的坐标为（5,4）,A8J_x轴于B,ACLy轴于C,

；.AC=5,AB=4,/A8O=/ACO=/COB=90°,

四边形48OC是矩形,

：.BO=AC=5,CO=AB=4,

•：/\CED是由△CAO翻折得到,

：.CE=AC^5,DE=AD,

在Rt/XCEO中，OC=4,CE=5,

O^VEC2-C02=V52-42=3,

：.E(3,0),BE=2,

把E(3,0),A(5,4)代入y=Z?+6x+c得

ri8+3b+c=0；解得(b=-14,

I50+5b+c=4Ic=24

抛物线的解析式为y=2?-14x+24.

(2)如图2中，过点尸作尸G_LA8于G,8Hl.c。交CD的延长线于H.设。E=AO=

在RtZ^BE。中，DE2=BE2+BD2,

，/=(4-x)2+22,

.\x=—,

2

：.AD=^-,QB=3,

22

：.XxDBXFG=^~,

220

:.FG=2

5

'：FG//AC,

.FG_=DG_

**ACDA'

9_

.y=DG

'T"

2

.•.£)G=a,

10

DF=VFG2+DG2=-^-'

ZFGD=ZBHD,ZFDG=ZBDH,

.♦.△BDHS/XFDG,

•••BD-DH-BH,

DFDGFG

3

2_PH_BH

975"IT'

IF105

675

:.DH=3^-,BH=3^-FH=FD+DH=

1055

：.tanZBFD=^-=l.

FH2

（3）如图3中，设平移后的抛物线为y=2?+fer+4,

2

.••点N只能是顶点，顶点N（-尘，丝虫一）,

48

:.IN=MCL

.•诉当=4-四±1,

48

±2禽，

满足条件的点N的坐标为（亚，5）或（-近，1）.

2222

12.（2019秋•双流区期末）已知，矩形OA8C在平面直角坐标系中的位置如图，点B的坐

标为（6,3）,抛物线、=公?+法+,（a六0）经过点A.

（1）求c的值；

（2）若a=-1,且抛物线与矩形OABC有且只有三个交点A,D,E,求△4OE的面积

S的最大值；

（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A,M,N,线段例N的垂直平分线/过点O,交

线段BC于点F.当BF=1时，求抛物线的表达式.

【解答】解：(1)・・,矩形OA8C在平面直角坐标系中的位置如图，顶点8的坐标为(6,

3),

：.0(0,0),4(0,3),C(6,0),

又二•抛物线y=ar2+bx+c经过点A(0,3),

，c=3；

(2)Va=-1,

.1y=-x2+bx+3,

如图1,当抛物线与矩形的两个交点。，E分别在A3,。。边上时,

抛物线与直线％=6的交点应落在C点或C点下方，

当%=6时，yWO,

・・・-62+6b+3W0,

解得：6W旦，

2

又•对称轴在)，轴右侧，

：.b>0,

：.0<bW11,

2

由抛物线的对称性可知：

AD=2X(--L)=2X[---------------]=b,

2a2X(-1)

又；ZVIDE的高=BC=3,

；.S=JLX0X3=&b,

22

,/旦>0,

2

...S随〃的增大而增大，

二当人=旦时，s的最大值=2x2l=丝，

2224

如图②，当抛物线与矩形的两个交点D,E分别在A8,BC边上时,

抛物线与直线x=6的交点应落在线段BC上且不与点B重合,

即0WyE<3,

.•.当x=6时，y=-62+6人+3=6万-33,

.•.0W66-33<3,

Wb<6,

2

：.BE=3-(6b-33)=36-6b,

S=A-6b)--3/+188,

22

•对称轴在6=3<旦，

2

；.s随6的增大而减小，

.•.当匕=旦时，S的最大值=23,

24

综上所述：S的最大值为更；

4

(3)当〃>o时，符合题意要求的抛物线不存在,

当4<0时，符合题意要求的抛物线有两种情况，

①当点M,N分别在A8,0C边上时，

如图3,过M点作MGLOC于点G,连接0M,

；.MG=0A=3,/2+/MNO=90°,

；。尸垂直平分MM

：.OM=ON,NT+NMNO=90°,

：.Zl=Z2,

；.CF=3-1=2,

，tan/1=型=2=_1,

OC63

/•tanZ2==tanZl=A,

MG3

：.GN=AMG=\,

3

设N0),则G(n-1,0),

：.M(n-1,3),

.*.AM=n-1,ON=n=OM,

在RtZiAOM中，0"=042+4知2,

An2=32+(n-1)2,

解得：72=5,

：.M(4,3),N(5,0),

把M(4,3),N(5,0)分别代入＞=-7+法+3,

得［3=16a+4b+3

10=25a+5b+3

(3

抛物线的表达式为y=-+4+3,

55

②当点M,N分别在AB,BC边上时，

如图4,连接MF,

尸垂直平分MN,

：.Zl+ZNFO=90Q,MF=FN,

又：NOCB=90°,

：.Z2+ZNFO=90Q,

.*.Z1=Z2,

"：BF=\,

：.FC=2,

tanZl=tanZ2=^-=—

0C63

在RtaMBN中，tan/l=!I5_=L,

BN3

:.BN=3MB,

设N(6,n),则FN=2-n,BN=3-n,

：.MF=2-n,MB=^-=l-L,

33

在RtAMBF中，"：MF1=MB1+FB1,

(2-n)2—(1-A/；)2+l2,

3

解得：m——,〃2=3(不合题意，舍去),

4

4

.,.AM=6--=2LL,

44

：.M(处，3),N(6,3)，

44

把M(21,3),N(6,3)分别代入卜=-/+法+3,

44

3=外)2a号b+3

得：L,

3

--r=36a+6b+3

4

...抛物线的表达式为y=-」*2+骂什3,

28

y=-42+2^+3.

28

九.四边形综合题（共3小题）

13.（2021秋•双流区期末）已知，在菱形A8CO中，NA8C=60°,点P在射线AB上，

点Q在射线BC上，且AP=8Q.连接AC,AQ,CP,直线A。与直线CP交于点，.

（1）如图1,当P,Q两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ=CP；

（2）如图2,当P,Q两点分别到线段A8和线段8c的延长线上时.

①求NCHQ的度数；

②连接DH，过点。作DEJLP“交P”延长线于点E.若A"=机，DH=n,求CE的长

（用含加，〃的代数式表示）.

【解答】解：（1）:四边形48。是菱形，ZABC=60°,

：.AB=BC=AD=CD,NABC=NA£)C=60°,

；♦△ABC是等边二角形，△«（?£）是等边二角形,

，NA8Q=NC4P=60°,AB=CA,

\'AP=BQ,

.♦.△ABQ丝(SAS),

：.AQ=CP-.

(2)①:△ABC是等边三角形，

AZABQ=ZCAP=60a,AB=CA,

'：AP=BQ,

:.△ABQQXCAP(SAS),

：.ZBAQ^ZACP,

'：ZQHC=ZBAQ+ZAPH,

：.ZQHC=ZACP+ZAPH=\SO°-/以C=180°-60°=120°；

②如图2,延长”E到F,使EF=HE,连接QF,贝ij尸，

设AH与C£)交于M,

；NQHC=120°,

AZAHC=60°,NAHE=120°,

'：△ACQ是等边三角形，

：.AD=CD=AC,NZMC=60°=NACD=NADC,

NADC=ZAHC,

NAMD=NCMH,

LAMDs/\CMH,

AAMJDM,ZDAH=/DCH,

CMHM

•.*NAMC=ZDMH,

AZACD=ZAHD=60°,

：.ZHDE=ZAHE-ZAHD=60°,

...△£WF是等边三角形，

:.HF=DH=DF,NF=NDHF=60°,

:.EF=HE=LDH,

2

"：AD=CD,ZDAH=ZDCH,NF=NAH£)=60°,

:.AADH会/\CDF(A4S),

ACF^AH,

：.AH-CE=CF-CE=EF=LDH,

2

?.CE=AH-工DH=m-X?.

14.（2020秋•双流区期末）如图1,在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,连接AC,点。为

AC的中点，点E为线段BC上的动点，连接OE,过点。作OFLOE,交A8于点F,连

接EF.

（1）如图1,当CE=3时，求。尸的长；

（2）如图2,当点E在线段BC上运动过程中，旦2的大小是否发生变化？若变化，请说

0E

明理由；若不变，请求出好的值；

0E

【解答】证明：（1）•••四边形ABCQ是矩形,

.,.NA8C=90°,BC=6=AD,

；C£=3,

：.BE=CE,

,:BO=OD,

：.OE//AB,

：.ZOEB+ZFBE=1S0o,

；.NOEB=90°,

OEJLOF,

；.NEOF=90°,

四边形OEBF是矩形，

OF=BE=3；

(2)©2的值不变，

0E

理由如下：如图2,过点。作ON1.BC于N,0M_LA8于M,

图2

:.NONB=NOMB=90°,

又；NABC=90°,

，四边形0M8N是矩形，

:.NMON=90°,OM//BC,ON//AB,

•OA^OMPC_0W

"AC"BC"而词

,点。是AC的中点，

:.OA=OC=1AC,

2

：.ON=1AB=4,OM=2BC=3,

22

:NEOF=/MON=90°,

4F0M=NEON,

又,：NONE=ZOMF=90°,

.,.△ONES△。例尺

.OF_0M_3.

',0E"ON"I'

(3)当点E在点N的下方时，如图3,过点。作ONLBC于N,于M,设点

EF与OB的交点为G,

D