山东省临沂市河东区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

山东省临沂市河东区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

阅卷人

——、单选题（共14题；共28分）

得分

1.（2分）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）

A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2

2.（2分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在4c上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC

上的F处.若48=70。，则NBD尸等于（）

3.（2分）己知点P（a,3）,Q（-2,b）关于y轴对称，则的第=（）

Q-ZZ7

A.-2B.2C.-JD.Z

4.（2分）到DABC的三个顶点距离相等的点是（）

A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

5.（2分）对于非零实数a.b,规定a㊉b=/一］，若2㊉（2x-1）=1,贝IJ%的值为

（）

5B.|C3D.—不

A-6。2

6.(2分)已知关于x的方程号=3-晶有增根，则。的值为（)

A.4B.5C.6D.-5

7.（2分）如图，在3x3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格

点三角形，图中的AABC为格点三角形，在图中与AABC成轴对称的格点三角形可以画出

（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

8.（2分）已知（？+与=14,则a2+当等于（）

A.3B.±4C.-4D.4

9.（2分）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P,作PEDAC于E,Q为BC延长线上一

点，当PA=CQ0^,连PQ交AC边于D,则DE的长为（）

D.12

10.（2分）已知（病+品2=期—m—2,则夕一去的值等于（）

A.1B.-1C.-2D.1

4

11.（2分）已知对任意实数X,式子2都有意义,则实数m的取值范围是（）

x^—4x+m

A.m>4B.m<4C.m>4D.m<4

114,2022.2021

12.（2分）已知实数a,b满足滔+,="2+声则哈）-（1）的值为（）

A.0或2B.0或-2C.-2D.0

13.（2分）如图，在RtABC中，口人©8=90。，DCAB=36°,以C为原点，C所在直线为y轴，BC

所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使口MAB为等腰三角形，符合条件的

M点有（）

C.8个D.9个

14.（2分）如图，AD为Z.CAF的角平分线，BD=CD,过。作。EJ.AC于E,DF1AB

交BA的延长线于F,则下列结论：@ACDE=ABDF；（2）CE=AB+AE；③NBOC=

ABAC；@ADAF=ACBD其中正确结论的序号有（）

A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④

阅卷人

二、填空题供5题；共5分）

得分

15.（1分）在△ABC中，AB=a,BC=b,△ABC的高AD与高CE的比是

16.（1分）已知等腰AABC的一底角口8=15。，且斜边AB=6cm,则△ABC的面积为

17.（1分）如果x+.=3,则——的值为.

x4+x2+l

以分）若关于、的方程答+言=3的解为正数,则m的取值范围是-------------------

19.（1分）计算：15（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=

阅卷入

三、解答题（共6题；共60分）

得分

20.（10分）计算:

（1）（5分）（_1）2022+（_*2-（nr-3.14）°-

NI一乙I

⑵（5分）^3-1=（%+3）（%-3）-

21.（5分）

（1）（5分）已知直角△ABC,口C=90°,DB=30°,求证:AB=2AC.

B

(2)(1分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是AABD和AACD的高，求证：AD

垂直平分EF.

22.分)设—^).

(1)(5分)化简M；

(2)(5分)当a=3时，记此时M的值为f(3)；当a=4时，记此时M的值为f(4)；……解关

于x的不等式弓一号w/(3)+f(4)+…+f(ll).

23.(10分)如图，在DABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F,交AC的平行

线BG于点G,DEDGF,并交AB于点E,连接EG,EF.

(1)(5分)求证：BG=CF.

(2)(5分)请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

24.(10分)受疫情影响，口罩需求量猛增，某商场用4000元购进一批口罩后，供不应求，商场用

8800元购进第二批这种口罩，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了0.2元.

(1)(5分)求该商场购进的第二批口罩的单价；

(2)(5分)商场销售这种口罩时，每只定价为3元，最后2000只按7.5折销售，很快售完，在

这两笔生意中商场共获利多少元？

25.（15分）如图1,在△ABC中，□A=120°,DC=20°,BD平分LABC交AC于点D.

（1）（5分）求证：BD=CD.

（2）（5分）如图2,若1BAC的角平分线AE交BC于点E,求证：AB+BE=AC.

（3）（5分）如图3,若匚BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,则（2）中的结论是否

成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解:如图,

图甲面积=(a+b)(a-b)

图乙面积=a(a-b+b)-bxb=a2—/?2,

•••两图形的面积相等，

关于a、b的恒等式为:(a+b)(a-b)=a^-b2•

故答案为：B.

【分析】分别求出两个图形的面积，再根据两图形的面积相等即可得到恒等式.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：:□DEF是DDEA沿直线DE翻折变换而来，

•\AD=DF,

•.•D是AB边的中点，

，AD=BD,

.♦.BD=DF,

.,.□B=OBFD,

,/□B=70°,

□BDF=180o-DB-DBFD=180o-70o-70o=40°.

故答案为：C.

【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得出AD=DF,根据等边对等角的性质得出DB=〔BFD,

再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解。

3.【答案】C

【解析】【解答】解：:•点P(a,3)、Q(-2,b)关于y轴对称，

a=2,b=3,

•2a+b_2x2+3_7

a—2b2-2x34

故答案为：C.

【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征可得a=2,b=3,再将a、b的值代入魄计算即可。

4.【答案】D

【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质知，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等即可判断结果.

【解答】至KABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.

故选D.

【点评】解答本题的关键是注意：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相

等，而三角形三个角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等.这是两个同学们容易混淆的概

念。

5.【答案】A

【解析】【解答】〈a㊉b=]—工，二2㊉（2%-1）。

ba'7Zx—1L

又㊉（2%-1）=1,...^^-/=1。

解这个分式方程并检验，得％=焉。故答案为：A。

【分析】根据新运算把a=2,b=2x-l代入等式计算即可求解.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：：方程有增根，

.♦.X-5=0,

•*x—■5,

x_a

o3一=，

去分母得：x=3（x-5）-a,

x=3x-15-。，

把x=5代入整式方程解得。=-5,

故答案为：D.

【分析】先将最简公分母为0,求出增根，化分式方程为整式方程，吧增根代入整式方程即可求出相

关字母的值。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：符合题意的三角形如图所示：分三类

对称轴为横向：

拄nrn

对称轴为斜向:

满足要求的图形有6个.

故答案为：A.

【分析】分别画出以BC及平行于BC的直线为对称轴、以BC的中垂线为对称轴、以正方形网格的

对角线为对称轴的轴对称图形，据此解答.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：•.七4+今=14,

♦♦(a?+-^)=a，++2=16>

a?H■-^2>0,

次—g=4,

故答案为：D.

［分析］根据+煮=14可得(。2+时=a4+2+2=16再结合。2+今>0,从而可求出a2+

上4。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：过P作PMIIBC,交AC于M,

•••△ABC是等边三角形，

：.^APM=4B=60°,=60°,

•••△4PM是等边三角形，

PELAM,

：.AE=EM=^AM,

VPMIICQ,

:.4PMD=LQCD,(MPD=LQ,

*：PA=PM,PA=CQ,

：.PA=PM=CQ,

在△PMD和△QCO中，

("DM=乙CDQ

(PMD=cDCQ,

PM=CQ

PMD=△QCD,

/•CD=DM=3CM,

11

・・・DM+ME=WG4M+MC)=»C=2，

故答案为：B.

【分析】过P作PM||BC,交AC于M,得出aAPM是等边三角形，推出P4=PM=CQ,根据等腰

三角形的性质证出APMC三△QCD,推出CO=DM=^CM,即可得出结论。

10.【答案】C

【解析】【解答】解：爪―

..062+)712=71—2,

+/九2+m—九+2=0,

4-m4-1+^n2—n+1=0,

・1212

♦•(2血+1)+(2九-1)=0，

ii

••4-1=0,②九一1=0,

解得：m=—2,n=2

.mnm—n—2—2

••2-2=下=-^-=-2n.

故答案为：C

【分析】先将代数式柄2+犷=n—巾_2变形为(品+/+(%—1;=0,利用非负数之和为

0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。

11.【答案】A

【解析】【解答】解：:/一4%+m=(%-2)2+m-4,

•••(%-2)2>0,对任意实数x,式子若为都有意义，

Am—4>0,

解得m>4.

故答案为：A.

【分析】先将代数式%2-4%+小变形为(％—2)2+血一4,再利用分式有意义的条件可得m-4>

0,最后求出m的取值范围即可。

12.【答案】A

114

【解析】【解答】解：・・・滔+.=在/，

•a2+h2_4

2

•*,(a2-f-b2)=4a2b2,

•**a4+b4+2a2b2=4a2b2r

.*.a4+/)4-2a2&2=0,即(a2一反)2=0,

a2—b2=0»

(a+b)(a—b)=0,

,a+b=0或a—b=0

/.a=—b或a=b,

.•.当a=-b时，，=-1，微=-1，

,2022.2021

・••4)—4)=(-1)2°22一(_1)2021=1_(_1)=2,

当a=b时，=1,«=1,

,2022.2021

•••曲-(马=I2022-I2021=1-1=0-

(1)-(1)的值为0或2.

故答案为：A

【分析】由口力=号，得"+bJ2M=0,即d_的2=0,推出a=_b或a=b'

再分两种情况：当&=—b时，当a=b时，分类讨论即可。

13.【答案】C

【解析】【解答】解：如图,

y

您—’

①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点Mi,M2,交BC有一点M3,（此时AB=

AM）；

②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点Ms,M4,交AC有一点M（,（此时BM=BA）.

③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB）,交直线BC于点Ms；

.•.符合条件的点有8个.

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。

14.【答案】A

【解析】【解答］解："AD平分ACAF,DELAC,DF1AB

・•・DE=DF,

在RtACDE和RtABDF中，

(BD=CD

IDE=DF'

:・RtACDE三RtABDF(HL),故①符合题意；

ACE=AF,

在RtAADE和RtAADF中，

(AD=AD

IDE=DF'

/.RtAADE=RtAADF^HL),

AAE=AF,

/.CE=AB+AF=AB+AE,故②符合题意；

RtACDE=RtABDF,

:.乙DBF=Z.DCE,

设AC交BO于O,

,:Z.AOB=乙COD,

:.乙BDC=^BAC,故③符合题意；

:.Z.DAE=Z.DCB,

,•乙DBC=Z.DCB,

乙

:.Z-DAE=DBC9

vRtAADE=RtAADF,

・•・Z-DAE=Z.DAF,

工乙DAF=LCBD,故④符合题意；

综上所述，正确的结论有①②③④共4个.

故答案为：A.

D

B

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用"HL”证明RtACDE和

RtABDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE^AF，利用“HL”证明RtAADE和

RtAADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等

三角形对应角相等可得上DBF=乙DCE,利用“8字型”证明乙BDC=Z-BAC；^DAE=乙CBD，

再根据全等三角形对应角相等可得Z.DAE=Z.DAF，然后求出乙DAF=4CBD.

15.【答案】I

【解析】【解答】解：根据题意得：ShABC=^ABxCE=^BCxAD,

VAB=a,BC=b,

11

=

・,2QxCEhxAD9

.AD__a

-CE=b.

故答案为：卡

【分析】利用三角形的面积公式可得SA4BC="BXCE=：BCXAD，再结合AB=a,BC=b,可得

AD_a

兖=6°

16.【答案】9cm2

【解析】【解答】解：如图，过点C作CD1AB交BA的延长线于D,

B

VAB=AC,

.,.□ACB=DB=15°,

工□CAD=l]ACB-FDB=15o+15o=30°,

/.CD=|AC=Ax6=3cm,

♦,S“Be==]X6X3=9cm?,

故答案为：9cm2.

【分析】先画出草图，过点C作CD1AB交BA的延长线于D,求出口CAD=DACB+DB=15°+15°=

30。，利用含30。角的直角三角形的性质可得CD=9AC=*x6=3cm,最后利用三角形的面积公式计算

即可。

17.【答案】1

【解析】【解答】解：。+[=3,

X

*,•(%+])2=9,即%2+2++=9,

=7.

由已知X#),

，原式=%2+1+当=亳得.

X乙

故答案为：

【分析】由x+]=3得/+2+a=9,即/+9=7,把它整体代入原式，计算即可得解.解题的

关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形.

93

8

--

22

【解析】【解答】解：去分母得：x+m-3m=3(x-3)

去括号得x+m-3m=3x-9

移项，整理得：x=与％

Vx>0,且x#3

・9—2m>0,且上弃声3

2

解得：m<|且m].

【分析】方程两边都乘以(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，将m作为常数解出x的

值，根据该方程的解是正数列出不等式组写%>0,且上弃羊3,求解即可.

19.【答案】264-1

【解析】【解答】解：15(24+1)(28+1)(216+1)(232+1),

=(24-1)(24+1)gl)(216+1)(232+1),

=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1),

=(2,6-1)(216+1)(232+1),

=(232-1)(232+1),

=264-1.

故答案为：264一1.

【分析】先将原式变形为(2U)(24+1)(28+1)(2'6+1)(232+1),再利用平方差公式计算即可。

20.【答案】(1)解:原式=1+4-1-3=彳；

(2)解.—---1=....-....

。用牛・%一31(x+3)(x-3)

两边都乘以Q+3)(%-3),

得：x(x+3)—Q+3)(%-3)=18,

解得x=3,

当％=3时，(x+3)(x-3)=0,

所以原分式方程无解.

【解析】【分析】(1)先化简，再计算即可；

(2)利用分式方程的解法求解并检验即可。

21.【答案】(1)证明：延长AC使CD=AC,连接BD,

,/□ACB=90o,DABC=30°

A[IBCD=9O°,nA=90°-DABC=60°,

在DABC和匚DBC中

[AC=DC

l^ACB=Z.DCB,

(BC=BC

.,.□ABCQIJDBC(SAS),

.-.□A=DD=60°,

,□ABD为等边三角形，

.♦.AB=AD,

・・・AB=2AC；

(2)证明：:AD是DABC的角平分线，DE,DF分别是DABD和DACD的高

・・・DE=DF,口AEDrAFD=90。，

/.□AED和匚AFD均为直角三角形，

在RtLADE和RtDADF中，

(AD=AD

IDE=DF

・・・R3ADE三RtAADF(HL),

・・・AE=AF,

又,「DE=DF,

.・・AD垂直平分EF.

【解析】【分析】(1)利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；

(2)由AD是DABC的角平分线，DE,DF分别是DABD和DACD的高，得出DE=DF,

□AED-I1AFD=9O°,证出DAED和DAFD均为直角三角形，再利用HL证出Rt/kADE三RtAADF,

即可得出结论。

22.【答案】(1)解：M=±^-二次+叶―3a

Q+1

(a+D

CL—2Q+1

(a+1)2a(a-2)

1

a2+a*

ii11

⑵解”M=a2+丁皿+1)==a-a+T,

11111111

=~3~4,/(4)=4一引/(5)=耳一e•一，/(H)=Ji-12

111111111

•"(3)+f(4)+…+/(H)=3-4+4-5+"，Il-l2=3_12=4,

••.竽一早W/⑶+f(4)+…+八11)即为竽一呈昱，

**•2%—4-7+工41,

解得：x<4.

【解析】【分析】(1)利用分式的混合运算求解即可；

(2)利用题干中的计算方法将原式变形为苧-宇W再利用不等式的性质及不等式的解法求

解即可。

23.【答案】(1)证明：VBGQAC,

.,.□C=DGBD,

•；D是BC的中点，

；.BD=DC,

在E2CFD和OBGD中

乙C=LGBD

CD=BD,

ZCDF=^BDG

.,.□CFDQDBGD,

.*.BG=CF.

(2)解：BE+CF>EF,

理由如下：

,.,□CFDZDBGD,

•\CF=BG,

在E3BGE中，BG+BE>EG,

•由(2)知：GD=GD,EDGF,

；.EF=EG,

.,.BG+CF>EF.

【解析】【分析】(1)根据直线平行的性质，内错角相等，即可证明C=GBDo继而根据ASA证明

□CFD1DBGD,根据三角形全等的性质得至UBG=CF即可。

(2)根据三角形全等的性质得到CF=BG,再根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第

三边，即可证明BG+CF>EF。

24.【答案】(1)解：设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只，则第一批口罩的单价为(％-0.2)

元/只，

依题意得：2x型黑=要奥，

x-0.2x

解得：x=2.2,

经检验，％=2.2是原方程的解，且符合题意，

答：该商场购进的第二批口罩的单价为2.2元；

(2)解：共获利：

弓毅名+-2000)x3+2000x3x0.75-(4000+8800)=3700(㈤，

答：在这两笔生意中商场共获得3700元.

【解析】【分析】(1)设该商场购进的第二批口罩的单价为x元/只，则第一批口罩的单价为(％-0.2)

元/只，根据题意列出方程2x驾q=驷求解即可；

X—0.2x

(2)根据题意列出算式理明+当养一2000)X3+2000x3x0.75-(40004-8800)=3700(元)

计算即可。

25.【答案】(1)证明：VZ71=120°,ZC=20°,

：.Z.ABC=180°-120°-20°=40°,

・・，BD平分NABC,

i

，乙4BD=乙DBC=乙=20°,

/.Z.DBC=Z.C=20°,

：.BD=CD；

(2)证明：如图：过点E作EfIIBD交AC于点F,

：.Z.FEC=Z.C=20°,

：.Z.AFE=40°,FE=FC,

C./,AFE=£.ABC,

VAE是NB4C的平分线，

：.^BAE=^FAE,

在△ABE和△AFE中,

fz.BAE=^FAE

\LABE=Z.AFE,

(AE=AE

•*•△ABE=△AFE,

,BE=EF,AB=AF,

：.BE=EF=FC,

：.AB+BE=AF+FC=AC；

(3)解：(2)中的结论不成立，正确的结论是BE-ZB=4C.理由如下:

如图，过点A作/F||BD交BE于点F,

：.LAFC=Z-DBC=20°,

C./.AFC=47=20°,

：.AF=AC,

VAE是NB4C的外角平分线，

・4AB=2（180。-448。）=30。，

•・Z8C=40°,

・"E=乙ABC-乙EAB=10°,

AzF=^FAE=10°,

：.FE=AF,

：.FE=AF=AC,

：.BE-AB=BE-BF=EF=AC.

【解析】【分析】（1）根据乙4=120。，4c=20。，得出Z4BC=180。-120。-20。=40。，再根据

BD平分乙48C,得出4DBC=NC=20。，即可得出结论；

（2）过点E作EF||BD交AC于点F,证明△48E三△4FE,得出BE=EF二尸配进而得出结论;

（3）过点A作力尸||交BE于点F,结合（1）和AE是乙84的外角平分线，得出FE=/F=

AC,即可得出结论。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：93分

客观题（占比）28.0(30.1%)

分值分布

主观题（占比）65.0(69.9%)

客观题（占比）14(56.0%)

题量分布

主观题（占比）11(44.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题5(20.0%)5.0(5.4%)

解答题6(24.0%)60.0(64.5%)

单选题14(56.0%)28.0(30.1%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(88.0%)

2容易(4.0%)

3困难(8.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1分式有意义的条件2.0(2.2%)11

2平方差公式及应用1.0(1.1%)19

3关于坐标轴对称的点的坐标特征2.0(2.2%)3

4实数的运算10.0(10.8%)20

5角平分线的定义15.0(16.1%)25

6含30。角的直角三角形6.0(6.5%)16,21

7轴对称图形2.0(2.2%)