061利用导数作图

教案（首页）课程名称高等数学及应用授课教师周新春课题名称课题：利用导数作图（2）审批授课日期第10周/第12周授课课时2授课班级16工业设计3D高级班/17机电高级班，17机器人班，17物联网班专业机电，模具教学目标理解函数的凹凸性与拐点的概念，熟练地运用导数判定函数的凹凸性；教学重点理解函数的凹凸性与拐点的概念，熟练地运用导数判定函数的凹凸性；教学难点熟练地运用导数判定函数的凹凸性；教学资源准备课件，多媒体课前学习任务预习函数的凹凸与拐点教学流程教学环节及时间分配教学内容教师活动学生活动设计意图一、课题提出(10分钟)函数凹的y」o.的单调性可用函数的一阶到函数来判增，那么对于这两种不同的增法我们y=f(x)b21xo定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或1如何刻画呢？AV-'''x. y=f(x)工质疑引导强调明确回忆加深回答用一个看似简单的实例，为引出赛函数的概念做准备，通过教师巡视，适当点拔、解疑释惑等方法让学生自己到出，激发学生广州市技师学院广州市高级技工学校

广州市技师学院

广州市高级技工学校学习新知的兴趣和欲望。二、新课（55分钟）1.曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC在区间Q,c）内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间（C,b）内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方.关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线 的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧 位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的. 1 / \例如，图1中曲线弧ABC在区间Q,c）内是凹的， : 曲线弧CDE在区间bQ,b）内是凸的. 口LJ 1 J~一a c bx由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的 图1 斜率随X的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随X的增大而减小.由于切线的斜率就是函数y=fG）的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的.由此可见，曲线y=fQ）的凹凸性可以用导数f'Q）的单调性来判定.而f心）的单调性又可以用它的导数，即y=f（x）的二阶导数f〃Q）的符号来判定，故曲线y=f（X）的凹凸性与f〃Q）的符号有关.由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：播放课件质疑引导分析观看课件思考理解自我建构引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学概念通过教师巡视，引导学生自学，解决相应的问题广州市技师学院

广州市高级技工学校定理1设函数y=fQ)在Gb)内具有二阶导数.(1)如果在(a,b)内，f〃Q)>0,那么曲线在(a,b)内是凹的；(2)如果在(a,b)内，f()<0,那么曲线在(a,b)内是凸的.2.拐点的定义和求法定义2连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点.定理2(拐点存在的必要条件)若函数fQ)在x处的二阶导数存在，且点(x,f(x))为曲线y=f(x)的拐点，则TOC\o"1-5"\h\zU0 0 0- =O.我们知道由f〃Q)的符号可以判定曲线的凹凸.如果f〃Q)连续，那么当f〃Q)的符号由正变负或由负变正时，必定有一点x使f〃Q)=0.这样，点(x,f(x))就是曲线的一个拐点.因此，如果y=f(x)在区间(a,b)内具有0 0 0 0二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线y=f(x尢勺拐点：(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求y"=f〃Q)；令f"Q)=0,解出这个方程在区间(a,b)内的实根；⑶对解出的每一个实根x0，考察f〃Q)在x的左右两侧邻近的符号.如果f〃Q)在x0的左右两侧邻近的符号相反，那么点(x0,f(x0))就是一个拐点，如果内)在x0的左右两侧邻近的符号相同，那么点(x0,f(x0))就不是拐点.例1求曲线y=x3-3x2的凹凸区间和拐点.解(1)函数的定义域为(-8,+8)；(2)y，=3x2-6x,y"=6x-6=6(x-1)；令y"=0，得x=1；(3)列表考察y〃的符号(表中“U”表示曲线是凹的，“尸、”表示曲线是凸的)：广州市技师学院

广州市高级技工学校x(-8,1)1Iy" 0+曲线yc拐点G,-2）由上表可知，曲线在（-应1）内是凸的，在Q+8）内是凹的；曲线的拐点为（1,-2）.二总

、结。（10分钟）小结本讲内容：1.函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。播放观看通过课件课件总结，强调、质疑思考评价、引导理解提高检验教学分析自我成果建构广州市技师学院广州市高级技工学校作业与预习教材第2