精选有限元法基础热传导和热应力讲义

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11传热分析与热应力

本章参考书孔祥谦.有限单元法在传热学中的应用.第三版，科学出版社，1998王勖成.有限单元法.清华大学出版社，2003.第12章曾攀.有限元分析及应用.清华大学出版社，2004.第8章

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11.传热分析与热应力

传热是广泛存在的自然现象，只要有温度差存在，就会有热量的传递，只要有热量的输入和输出，就会引起温度的变化。传热分析的对象是固体、液体和气体，其应用包括热量交换、化学反应、材料相变、能量转换等。温度的变化和不均匀分布，引起结构出现应力变化，称为热应力。当以应力分析为目的时，为确定温度场，需要对固体进行传热计算，以便确定相关的热应力。

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11传热分析与热应力

11.1传热问题的基本方程固体热传导的现象

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术语和单位

在国际标准单位制中，传热分析的术语和单位

c比热容[J/(kg·K)]T温度（K或°C）Q热流（W/m2）h对流换热系数[W/(m2·K)]t时间（s）k导热系数[W/(m·K)]]质量密度（kg/m3）q单位体积热生成率(W/m3)Stefan-Boltzman常数[=5.67×10-8W/(m2·K4)]5当前5页，总共53页。

11传热分析与热应力

控制方程

对于微元dxdydz，生成的热量为微元体内的净流出热流量为由于热量的储存使内能增加，即由能量守恒定律，在微元内有

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由于方程不封闭，需补充条件。各向同性均匀材料的Fourier定律于是，有第一类边界条件：边界上已知温度T，即第二类边界条件：边界上已知热流密度，即第三类边界条件：已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数为已知，即

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11.2变分原理与有限元

瞬态热传导问题变分泛函为

稳态问题，温度不随时间变化泛函的变分取驻值，可得控制方程和第二类和第三类边界条件

第一类边界条件应强制满足，称为本质边界条件；

第二、第三类边界条件是自然边界条件。

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有限元法

将物体离散为n个单元体，即，将单元内的温度场用节点上的温度插值，有代入泛函，泛函称为

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将单元矩阵组合后，得到物体的总体矩阵，对泛函变分取极值，即

得有限元方程组[KT]称为热传导矩阵，[C]为热容矩阵，{RT}为等效节点温度载荷列阵。对稳态问题，上述方程是线性的，热传导方程是对称正定的，求解类方法似于结构分析。对瞬态问题，需采用有限差分法，将离散，或采用显式时间积分，如中心差分，或采用隐式时间积分，如Newmark差分。

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对线性瞬态问题，还可采用结构分析中的模态迭加法

首先求特征问题

每个特征向量{T}i相对于[C]正则化，即令

是模态矩阵，它的每一列是正则化的特征向量{T}i，于是可将节点温度表示为广义温度{Z}的关系将其代入有限元方程，并左乘得到n个解耦的方程组积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。11当前11页，总共53页。

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11.3热辐射

考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设每个平面都有均匀温度，平面1的温度为T1，平面2的温度为T2，平面都是理想的黑体，因此每个平面都是理想的吸收体和辐射体，平面表面的热流量为

是Stefan-Boltzman常数。由于实际的辐射面并非理想黑体，也不是无穷大的平面，也不一定平行，因此把面积为A1和温度T1表面所接收的热流量表示为

包含了各种因素引起的辐射折减，包括视图因子和辐射率等。

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由于辐射面是有限的、非平行的，用视图因子表示对于两个无限大的平行面为1，对于两个相互看不见的平面是013当前13页，总共53页。

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与面积为A1交换辐射能的表面有多少个，就有多少个式子。如果A1不是很大，可认为Q1在A1上是个常数，因此与对流边界比较，该式与之相同。因此在有限元方程中将h项中换成就可用有限元分析辐射问题。需注意，是与温度有关的，故辐射问题是高度非线性问题。当材料常数是温度的函数，问题也是非线性的。非线性方程可采用Newton-Raphson法求解，但有一些特殊的适合传热问题的处理方法。为了避免辐射的强非线性，实际问题的处理，有时将也处理为常数，如在热锻时的传热分析。

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11.4伴有相变的导热问题特点：控制方程是非稳态导热方程，区域内存在一个随时间移动的两相界面，在界面上放出或吸收潜热。1891年J.Stefan关于地极冰层厚度的研究首次讨论这一课题。当越过相变区间时，热流密度不连续，在数学上是一个强非线性问题，计算发生困难。

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相变界面的两边各自满足非稳态导热控制方程，一般为了简单略去液相区的自然对流或强制对流等作用。在相变界面S(t)上，满足温度连续条件

能量守恒条件设L

[J/kg]为物质的相变潜热，则由于相变界面的移动，给数值方法带来困难。

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焓法模型

采用焓（H＝cT）和温度同时作为待求函数。由于相变界面上温度随时间的变化曲线是间断的，但焓随时间的变化曲线是连续的，因此用数值方法求解焓分布时不需跟踪两相界面，从而使液相区和固相区统一处理称为可能，焓场解出后，温度场可容易得到。

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焓表示的传热方程为

其中温度与焓的关系为

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有限元法中的处理（1）相变潜热作为附加比热

用加权余量法推导有限元方程，有使用T的插值的形函数作为权函数，可得Galerkin法的有限元方程。式中fs是固相率,为无因次量,,液相0,固相为1。

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（2）相变潜热作为源项

在前面的公式中，相变潜热项

与内热源项作相同处理，得有限元方程

是与相变项有关的等效载荷。由于相变得复杂性，在实际数值模拟中，尤其在大型结构计算时，不考虑相变的两相问题，相变的影响只考虑潜热，把它作为一个常热源处理。

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11.5热应力（Thermalstress）大多数情况下，传热问题所确定的温度场将直接影响物体的热应力,而热应力对温度场的耦合影响不大，因而可将物体的热问题看成是单向耦合过程。（一）热应力问题中的物理方程热膨胀系数（Thermalexpansioncoefficent）,为Lamé系数

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11传热分析与热应力

将热应变看作初始应变，上式写为其中初应变为，矩阵形式（二）虚功原理弹性力学问题的虚功原理为内力虚功等于外力虚功，即将物理方程代入，得

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11传热分析与热应力（三）有限元列式设单元节点列阵为假设单元内位移由节点位移表示的插值函数为应变可表示为虚位移与虚应变为代入虚功原理，得其中组装到总体矩阵后，由于的任意性，得到有限元方程

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11传热分析与热应力（三）求解热应力的方法在有限元分析程序中解热应力问题有两种方法，即直接法和间接法。直接法直接将传热分析和热应力耦合起来分析的方法。在求解时，直接将传热边界条件、力学边界条件施加在有限元模型上，以节点温度和位移作为未知变量求解。在有限元商业软件中，有多场耦合单元，如ANSYS中Solid5和Solid98有热、电、磁、压电和结构的耦合场单元，每节点有6DOF，即温度、电势、磁场强度势函数，3个方向位移。

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11传热分析与热应力间接法热应力问题是一个单向耦合问题，在多数情况下，温度变化会产生热应变，但热应变部不引起温度变化。这样，可以将热应力问题分成两个过程来计算分析，即传热分析和热应力计算。首先通过传热分析获得结构的温度场分布，然后在已知温度分布的情况下求热应力。优点：1）求解规模比直接法小，有更高的计算效率；

2）在瞬态问题时，可先求解温度场，然后在关心的时间点上求热应力，可节省大量的存储空间，即使是非线性问题也可这样处理。

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11传热分析与热应力例稳态温度分析一圆柱型容器上，垂直接有一小管道，容器内装有450F的液体，小管内有100F的流体。假设容器足够长，远端的温度为450F。

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11传热分析与热应力例稳态温度长分析（续）

网格图温度分布27当前27页，总共53页。

11传热分析与热应力例稳态温度常分析（续）

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11传热分析与热应力例稳态温度长分析（续）

等效应力分布图

29当前29页，总共53页。

11传热分析与热应力例液－固相变分析

有厚度为a得液体，初始温度为T0,在其上表面突加温度Ts<T0，分析液体的温度变化及相变情况，假设液体的其他边界是绝热的。30当前30页，总共53页。

11传热分析与热应力例液－固相变分析（续）

相变潜热（latentheat）的影响以焓的快速变化来反映。

焓（enthalpy）与温度的变化曲线

31当前31页，总共53页。例液－固相变分析（续）

经计算分析，在789s－797s间液体开始完全固化，即节点2开始降温至－1。

在501s时温度沿厚度的分布各节点温度随时间的变化

11传热分析与热应力32当前32页，总共53页。

11传热分析与热应力例热处理分析

将工件放在一定介质中加热到适宜的温度、并在此温度中保持一定时间后、又以不同速度冷却的一种工艺方法。热处理不改变工件的形状和整体化学成分，而是通过改变工件内部的显微组织，或改变工件的表面的化学成分，赋予或改变工件的使用性能。

特点：1）有热传导2）有相变3）热－力耦合

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11传热分析与热应力例热处理分析(续)

淬火分析的网格和温度分布

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2传热分析与热应力35当前35页，总共53页。

11传热分析与热应力热处理分析（续）

典型的导热系数曲线

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11传热分析与热应力热处理分析（续）

典型的质量密度曲线

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11传热分析与热应力热处理分析（续）

典型的比热容曲线

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11传热分析与热应力热处理分析（续）

典型的相变焓曲线

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