高中数学公式总结学业水平

学业水平考试数学公式结论总结

L={x|xeAJILve8}AU8={X|xeA,^£xe8}CuA=(xlxeL/,SlxeA]

2.奇偶性：(注：晟雌嬲窥谡副悬忠皿期±1思援)

(1)若有/(—x)=—/(x)或/•(—》)+/(x)=0,则f(x)就是奇函数。奇函数的图象关于

原点对称；(2)若有f(—x)=/(x),则f(x)就是偶函数。偶函数的图象关于y轴对称.

3.函数的最值：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在与e/,使得/(x0)=M；

函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的XG/,都有

4函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X,xz,当x,<x2

时，都有f(xj<(>)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数，函数的单调性是

在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5.有理指数幕的含义及其运算性质：

①a'；②③(")'=a'，(a>0,6>0,r,seQ)。

函数y=/(a>0且a工1)叫做指数函数。

指数函数的图象和性质

y=ax0<4V1a>1

、i、y

y/

V

图象-J-------

~0X0X

定义域R

值域(0,+8)

性过定点(0,1),即工=0时，y=1

定点.

质(1)a>],当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<l。

(2)0<a<1,当x>0时，0<y<l；当x<0时，y>l。

单调性在R上是减函数在R上是增函数

对称性y=力.和y二加/关于了轴对称

6.对数函数

(1)对数的运算性质：如果a>0,aW1,0,N>0,那么:

①log”MN=logaM+logaN；②log。—=log„M-log«N；

n

(3)logf/M="log.M(nG/?)o

(2)换底公式：108,4=鹿配(。＞0且。/1,00且。彳11＞0)

log,“

(3)对数函数的图象和性质

y=iog“无0<a<1a>1

图一

象Ai.o>*

定义域(0,+8)

值域R

(1)过定点(1,0),即x=1时，y=0

性(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数

质(3)同正异负，即0<。V1,0<工<1或。>1,X>1时，log«X>0；

0<"1,；1>1或。>1,0<尢<1时，Iogax<0o

7.塞函数：函数y=x"叫做累函数(只考虑a=l,2,3,—l,g的图象)。

8.方程的根与函数的零点：如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一

条曲线，并且有〃.)./(力＜0,那么，函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点，即存在

ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根。

9.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个

面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

⑵棱锥：①一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等,

每条母线延长后都与轴交于同一点。

11.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

22

⑴Smt我=nr(r+J)-S困6/=n(ri+rT+r_E?+rf1)S«|««=2nr(r+7)

r上=0ri=rT

z2

⑵V网城=一冗/h-Vn(r上：'+rT+r±rT>)h-V肉杈=nrh

(3)球其体积丫=3%/?3,表面积S=4%;?2

3

12空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。

13.空间直线和平面的位置关系：直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

14空间平面与平面的位置关系：平面与平面平行、平面与平面相交

15直线与平面平行的判定定理：

文字表述：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

aaa-----------

符号表示：bua»=a//a。图形表示：

allb//

16.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这

两个平面平行。

auB

bu0

符号表示：ab=PPHao

alla

blla

17.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已

知平面相交，那么交线与这条直线平行。

alia10―•―

符号表示：aup="〃"图形表示：_____b7

a'p=b%/

18两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

平行。符号表不：aIIa\y=a,13y=h^=>a!!h

19.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。符号表不：aua,bua,a(b=P,l上a,l上bnl上a

20.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示：I上a,lupnaip

21.直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：aallbo

bLa]

22.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。符号表不：Iua,a(0=m,lnI上仇

23..直线的斜率：k=tan0=%-M

x2-x.

24.直线的五种方程：

(1)点斜式y-yt=k(x-xl)(直线/过点[a，%),且斜率为Z).

（2）斜截式y=H+6（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式口一^-=--土（了户必）（6（X|，x）、P,（x2,y2）（%1））.

为一y々一花

（4）截距式2+2=1（。、匕分别为直线的横、纵截距，a、b^O）

ab

（5）一般式Ax+£y+C=0（其中A、B不同时为0）.

25.两条直线的平行和垂直

（1）若4:y=k}x+h］,l2:y=k2x+b2

①<=>k}=k?,b\手b,:②4_L/9<=>k［h=—1.

（2）若4：4彳+与>+。］=0,4：AzX+BzV+C2=0,且A］、A2>BI、B2都不为零,

①/也09="工三；②4u=44+4坊=0

2A2B?C?

26.两点Pi（Xi,yD、P2（X2,y2）的距离公式IPR|二J（Z—工）+（为一切尸

27两点P.（X1,%）、P2（x2,y2）的中点坐标公式M（土5,21±匹）

22

28.点P（x。，y。）到直线Ax+By+C=0的距离公式

7A2+B2

29.平行直线Ax+By+C=0、Ax+By+Ck0的距离公式5=隹一。」

^A2+B2

30.圆的方程：（1）圆的标准方程（无一。）2+。一与2=产

（2）圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+£2-4F>0）.

31.点与圆的位置关系

点P（x。,%）与圆与一。）2+（y一（）2=户的位置关系有三种:

若°={（。_3）2+（。_%）2,则

d>厂0点尸在圆外；d=r。点P在圆上；d<r=点P在圆内.

32.直线与圆的位置关系

直线Ax+3y+C=0与圆（x—a/+（y—人尸=户的位置关系有三种:

d>r=相离<=>A<0;d=ro相切。△=0;

।.\Aa+Bb+C\

d<ro相交0A>0.其中d=।।.

A/A2+B2

33.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为Oi,0”半径分别为n,R,|0］。2|=。

〃>4+弓=外离o4条公切线；d=八+弓o外切o3条公切线；

\r{-r2\<d<r1+r2=相交o2条公切线;d=卜-勿=内切ol条公切线;

0cde,一引o内含<=>无公切线.

34.空间直角坐标系，两点之间的距离公式

⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0)：竖坐标z=0

xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z)：纵坐标y=0

yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z)：横坐标x=0

x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0)：纵、竖坐标y=z=0

y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0)：横、竖坐标x=z=0

z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z)：横、纵坐标x=y=0

222

(2)IPF?I=A/(X2-X1)+(y2-y,)+CZ2-Z1)

35.标准差：

s=—X)?+(“2—.)2++--V)2]

36.方差：——[(X]—+—x)〜+-+一X)-]

fl

37.(1)若AAB为不可能事件，即AnB=(t),那么称事件A与事件B互斥；

(2)若ACB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

(3)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事

件，则AUB为必然事件,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B).

38.古典概型：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2)每个基本事件出现的可

A包含的基本事件个数

能性相等；古典概型的概率计算公式：P(A)=.金瑞,或二

息的基本事件个数k

构成事件A的区域长度(面积或体积)

39.几何概型的概率公式:P(A)=

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

几何概型的特点：1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；2)每个基本事

件出现的可能性相等.

40.任意角的三角函数

设P(x,y)是角a终边上任一点(与原点不重合)，记yOP|=Jx2+y2,贝lj

VXV

sina=—,cosa=—,tana=J

rrx

41.同角三角函数的基本关系式

sinty

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l(2)商数关系：把t=tana

cosa

42.三角函数的诱导公式

利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即a+“万与a之间函数值的关系(kcz),

2

其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

43.三角函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

Z4\L

«i金一4t49.../、^4孔.n7\/r\

-11..-2AJS-IazCQ.一办

定义RR

域71

{x\x^k7V-GZ}

值域R

[-1,1][-U1

奇偶奇函数偶函数奇函数

性

周期2兀2兀71

性

在［2k7r—兀,2kG(keZ)在

在12k兀---,2k兀4—](/GZ)

22上是增函数

(krt--,kn+(keZ)

上是增函数在［2k九,2k冗+冗］(keZ)22

单调

在上是减函数上是增函数

性

JT34

[2Z7+—,2krd---](keZ)

上是减函数

当x=2k7r,keZ时，

当x=—4-2k7r,kEZ时，

2

>max=1

无

Vmax=1

当x=(2左+1)万,keZ时，

最值

当x=——+2k/r,keZ时，Xnin=T

2

)，min=T

冗

对称中心(Qr,O),kGZ对称中心(ATTH---,0)，对称中心/7,0),keZ

2

对称

TTksZ对称轴：无

性对称轴：x=k/u+5(%£Z)

对称轴：x=k兀*eZ)

44.函数y=Asin(<ztr+的图象

(1)用“图象变换法”作图

由函数丁=$出》的图象通过变换得到丁=Asin(@r+°)的图象，有两种主要途径:“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩

横坐标变为原来的，倍利用人H赤%而乖的4位

纵坐标不变0>…山出+。)小惠算产信>y=Asin3+0)

法二：先伸缩后平移

横坐标变为原来的‘倍

y=sinx22c*八“向左">0)或向右回<0)

-------纵--坐---标--不--变----——>)y=olllCZZA-■»y=sin(oir+*)

平移幽个单位

纵坐黑黑的jfsinU。)

当函数丁=Asin(5+0)(A>0)。>0,xe[0,+8))表示一个振动量时，A就

表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次

所需要的时间T=丝27r，它叫做振动的周期；单位时间内往1复振27动r的次数/=▲=把，它

coTco

叫做振动的频率；3+夕叫做相位，。叫做初相(即当x=0时的相位)。

45.实数与向量的积的运算律：设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(口a)=(入P)a;⑵第一分配律：(A+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

46.向量的数量积的运算律：(1)a・b=b•a(交换律)；

(2)(Aa),b=A(a*b)=Aa,b=a,(2b);(3)(a+b),c=a,c+b,c.

47.平面向量基本定理：

如果当、ez是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数L、X2,使得a=入间+a*2.

不共线的向量①、会叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

48.向量平行的坐标表示

设a=(X]，x),b=(X2，%)，且b/0,则ab(b^0)<=>xty2-x2yx=0.

49.a与b的数量积(或内积)：a•b=abcos0.

50.a,b的几何意义：

数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos9的乘积.

51.平面向量的坐标运算

⑴设2=(石，>])5=(%2，%)，则a+b=a+%,必+%)•

⑵设a=(X|,y),b=(X2，y2)，则a-b=a-工2，凹一%)•

⑶设A(X1,y),B(/,%)，则48=。8-。4=(工2-玉，坊一、)

(4)设a=(x,y),2eR,则4a=(Ar,4y).

⑸设a=(X|,y),b=(X2，y2)，则a«b=(x1x2+j1y2).

52.两向量的夹角公式

cose=华+花二(a=a,X),b=(超,必)).

53.平面两点间的距离公式dAB=\AB\=>]ABAB=-犷+(%-yj

54.•向量的平行与垂直：设a=(x，y),1)=(工2，%)，且b±0,则

a|b<=>b=Xaox1％一%2》[=aJLb(aW0)Oa•b=0<=>x]x2+y]y2=0.

55.两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:

sin(a±^)=sincrcos/7±coscrsi