2023版高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理新人教A版

PAGEPAGE72022版高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理新人教A版1．[2022·山东卷]假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4 B．9C．10 D．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，那么x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，x2＋y2取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.应选C.2．[2022·北京卷]假设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))那么2x＋y的最大值为()A．0 B．3C．4 D．5答案：C解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0))表示的可行域如图中阴影局部所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1,2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4.应选C.3．[2022·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B．16万元C．17万元 D．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))目标函数为z＝3x＋4y，作出可行域如图中阴影局部所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．[2022·新课标全国卷Ⅰ]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影局部所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－2y＝4，))得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k＝－eq\f(1,2)>－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(x,2)＋\f(u,2)，\f(u,2)表示纵截距)).结合题意知p1，p2正确．5．[2022·新课标全国卷Ⅲ]假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值为________．答案：eq\f(3,2)解析：约束条件对应的平面区域是以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))时，z取得最大值eq\f(3,2).课外拓展阅读非线性目标函数最值的求解类型1斜率型非线性规划问题的最值(值域)目标函数形式一般为z＝eq\f(ay＋b,cx＋d)(ac≠0)，求解步骤为(1)需先弄清其几何意义，z＝eq\f(a,c)·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))),x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c))))表示的是可行域内的点(x，y)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))所连直线的斜率的eq\f(a,c)倍．(2)数形结合，确定定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，斜率最大(注意假设可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，斜率最小(注意假设可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1]变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≥0，,x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，))那么f(x，y)＝eq\f(x＋2y,2x＋y)的取值范围是________．[思路分析][解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示，f(x，y)＝eq\f(x＋2y,2x＋y)＝eq\f(1＋2·\f(y,x),2＋\f(y,x)).令eq\f(y,x)＝k，那么g(k)＝eq\f(1＋2k,2＋k)＝2－eq\f(3,2＋k).而k＝eq\f(y,x)表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤kOB，而kOA＝eq\f(1－0,3－0)＝eq\f(1,3)，kOB＝eq\f(3－0,1－0)＝3，所以eq\f(1,3)≤k≤3，即eq\f(5,7)≤f(x，y)≤eq\f(7,5).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,7)，\f(7,5)))类型2距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，求解步骤为：(1)其表示的是可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方．(2)数形结合，确定定点(a，b)，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，距离最大(注意假设可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，距离最小(注意假设可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a，b)到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z＝|Ax＋By＋C|时，一般步骤为：(1)将z＝|Ax＋By＋C|＝eq\r(A2＋B2)·eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))，问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的eq\r(A2＋B2)倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．[典例2]设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))那么z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80 B．4eq\r(5)C．25 D.eq\f(17,2)[思路分析]eq\x(作出可行域)→eq\x(结合目标函数的几何意义：两点间距离的平方)→eq\x(数形结合，求得z的最大值)[解析]作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，如图中阴影局部所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得点A的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.[答案]A[典例3]实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))那么z＝|x＋2y－4|的最大值为________．[思路分析][解析]解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示．z＝|x＋2y－4|＝eq\f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq\r(5)，即其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq\r(5)倍．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0，)