2023版高考数学一轮复习选修系列几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系理

PAGEPAGE4第2讲直线与圆的位置关系一、填空题1．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，那么BC＝________．解析延长BC交AD的延长线于P，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.在Rt△CDP中，CD＝1，∴PC＝2.在Rt△ABP中，BP＝eq\r(3)AB＝2eq\r(3)，∴BC＝BP－PC＝2eq\r(3)－2.答案2eq\r(3)－22．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，那么AB＝________．解析由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得eq\f(AB,BC)＝eq\f(PB,AB)，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝eq\r(35).答案eq\r(35)3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，假设BC＝eq\r(5)－1，那么AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案24.如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于D，那么eq\f(BD,DA)＝________.解析∵∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝eq\f(16,5)，∴DA＝BA－BD＝5－eq\f(16,5)＝eq\f(9,5)，∴eq\f(BD,DA)＝eq\f(16,9).答案eq\f(16,9)5.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，假设eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，那么eq\f(BC,AD)的值为________．解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(BC,DA)，∵eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(BC,AD)＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(6),6)6.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，假设AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.解析由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案57．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，那么∠BCD＝______度．解析：∵∠BOD＝110°，∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD，∴∠BAD＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝125°.答案：1258.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.假设BC＝2，BD＝4，那么AB的长为________．解析∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，∴△ACB∽△DAB.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(AB,BD)，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝eq\r(8)＝2eq\r(2)(舍去负值)．答案2eq\r(2)二、解答题9．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．假设CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.10．如图，AB是半圆的直径，D是AB上的一点，CD⊥AB，CD交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点，求证：BE2＋CT2＝BC2.证明：连接AE，AF，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AFB＝90°，又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，∴△DBC∽△FBA，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(BF,BD)，即AB·BD＝BC·BF，∵∠AEB＝90°，