2023版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算真题演练集训理新人教A版

PAGEPAGE62022版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算真题演练集训理新人教A版1．[2022·新课标全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))D.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))答案：A解析：eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up16(→)).应选A.2．[2022·新课标全国卷Ⅰ]设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，那么eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up16(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))C.eq\o(BC,\s\up16(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))答案：A解析：eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，应选A.3．[2022·新课标全国卷Ⅰ]A，B，C为圆O上的三点，假设eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，那么eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))的夹角为________．答案：90°解析：∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴点O是△ABC边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝90°.课外拓展阅读专题一平面向量与三角形问题的综合[典例1]P是△ABC内一点，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))，△PBC的面积是2015，那么△PAB的面积是________．[思路分析]△PBC，△PAB分别与△ABC共底边于BC，AB，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB的面积．[解析]设S△ABC＝S，S△PBC＝S1＝2015，S△PAB＝S2.解法一：(恰当切入，从“三点共线〞突破)如下图，延长AP交BC于D，由平面几何知识，得eq\f(S1,S)＝eq\f(|\o(PD,\s\up16(→))|,|\o(AD,\s\up16(→))|).由A，P，D三点共线，可得eq\o(AD,\s\up16(→))＝μeq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)μeq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)μeq\o(AC,\s\up16(→))(μ∈R)．①由B，D，C三点共线，可得eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up16(→))(λ∈R)．②联立①和②，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)μ，,1－λ＝\f(7,18)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,13)，,μ＝\f(18,13).))那么eq\o(AD,\s\up16(→))＝μeq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(18,13)eq\o(AP,\s\up16(→))，eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(5,13)eq\o(AP,\s\up16(→))，那么eq\f(|\o(PD,\s\up16(→))|,|\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq\f(5,18)，于是S＝eq\f(18,5)S1.同理，延长CP交AB于E，计算可得eq\f(|\o(PE,\s\up16(→))|,|\o(CE,\s\up16(→))|)＝eq\f(7,18)，所以S2＝eq\f(7,18)S.于是S2＝eq\f(7,18)S＝eq\f(7,18)×eq\f(18,5)S1＝eq\f(7,5)S1＝eq\f(7,5)×2015＝2821.解法二：(巧妙构造，引出向量“投影〞取胜)如下图，构造一个单位向量e(其中e⊥eq\o(BC,\s\up16(→)))，那么eq\o(BP,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))在单位向量e方向上的投影长度|e·eq\o(BP,\s\up16(→))|与|e·eq\o(BA,\s\up16(→))|分别是△PBC，△ABC的公共底边上的高，那么S＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|·|e·eq\o(BA,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))||e||eq\o(BA,\s\up16(→))||cos〈e，eq\o(BA,\s\up16(→))〉|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|·|eq\o(BA,\s\up16(→))|sin∠ABC；因为eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\f(5,18)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(BC,\s\up16(→))，所以S1＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\o(BP,\s\up16(→))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))＋\f(7,18)\o(BC,\s\up16(→))))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e·\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,18)\o(BA,\s\up16(→))))|cos〈e，eq\o(BA,\s\up16(→))〉|＝eq\f(5,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|\o(BC,\s\up16(→))||\o(BA,\s\up16(→))|sin∠ABC))＝eq\f(5,18)S.设i为与向量eq\o(AB,\s\up16(→))垂直的单位向量，同理，可以推出S2＝eq\f(7,18)S.于是S2＝eq\f(7,18)S＝eq\f(7,18)×eq\f(18,5)S1＝eq\f(7,5)S1＝eq\f(7,5)×2015＝2821.解法三：(划归转化，牵手三角形“重心〞巧解)由eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))，可得5eq\o(PA,\s\up16(→))＋6eq\o(PB,\s\up16(→))＋7eq\o(PC,\s\up16(→))＝0.令eq\o(PA′,\s\up16(→))＝5eq\o(PA,\s\up16(→))，eq\o(PB′,\s\up16(→))＝6eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\o(PC′,\s\up16(→))＝7eq\o(PC,\s\up16(→))，连接A′B′，B′C′，C′A′，如下图，于是eq\o(PA′,\s\up16(→))＋eq\o(PB′,\s\up16(→))＋eq\o(PC′,\s\up16(→))＝0.即P是△A′B′C′的重心，S△PA′B′＝S△PB′C′，根据条件，得S1＝eq\f(1,2)|eq\o(PB,\s\up16(→))||eq\o(PC,\s\up16(→))|sin∠BPC＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(PB′,\s\up16(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)\o(PC′,\s\up16(→))))sin∠BPC＝eq\f(1,42)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|\o(PB′,\s\up16(→))||\o(PC′,\s\up16(→))|sin∠BPC))＝eq\f(1,42)S△PB′C′，所以S△PB′C′＝42S1，同理可得S△PA′B′＝30S2.于是S2＝eq\f(42,30)S1＝2821.故填2821.[答案]2821温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：①可以从“三点共线〞突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；②可以从向量“投影〞得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e，i，如解法二；③可以转化条件形式，将eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(7,18)eq\o(AC,\s\up16(→))转化成5eq\o(PA,\s\up16(→))＋6eq\o(PB,\s\up16(→))＋7eq\o(PC,\s\up16(→))＝0，利用三角形“重心〞性质引出巧解，如解法三．专题二用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速得到答案，防止繁琐的运算和由于运算而产生的错误．[典例2]a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，那么a与a＋b的夹角是________．[解析]令eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四