2023版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第5讲几何概型理

PAGEPAGE6第5讲几何概型一、选择题1、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？A. B.C. D.解析因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。设A＝“粒子落在中间带形区域〞那么依题意得正方形面积为：25×25＝625两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529带形区域的面积为：625－529＝96∴ P〔A〕＝答案A2.一只蚂蚁在如下图的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.D.eq\f(1,2)解析每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是eq\f(1,3)答案B3.如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影局部的面积约为 ()．A.eq\f(16,5) B.eq\f(21,5) C.eq\f(23,5) D.eq\f(19,5)解析由几何概型的概率公式，得eq\f(S,10)＝eq\f(138,300)，所以阴影局部面积约为eq\f(23,5)，应选C.答案C4．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积小于32cm2的概率为 ()．A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析设出AC的长度，先利用矩形面积小于32cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC＝xcm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32cm2即为x(12－x)＜32⇒0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).答案C5.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠局部如图中阴影区域所示，假设向该正方形内随机投一点，那么该点落在阴影区域的概率为 ()．A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4) D.eq\f(π－2,4)解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，那么阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2).答案B6．假设利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，那么方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根的概率为 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等实数根，那么需满足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如下图的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根〞的可能结果为图中阴影局部(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).应选B.答案B二、填空题7．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之间的概率为________．解析根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．解析设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如下图，那么P(D)＝1－eq\f(\f(1,2)2π－\f(1,4)2π,π)＝eq\f(13,16).答案eq\f(13,16)9．有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，那么点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．解析确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－eq\f(\f(4π,3),3π)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)10．正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，那么所求概率为：P＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)三、解答题11．|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．思路分析由题意画出图象可求面积之比．解如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝eq\f(\f(1,4)π×22,4×4)＝eq\f(π,16).12．关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．解(1)抽取的全部结果的根本领件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个根本领件．设使函数为增函数的事件为A，那么A包含的根本领件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个根本领件，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的区域如下图，要使函数的图象过一、二、三象限，那么m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影局部，∴所求事件的概率为P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).13．集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,y≥－1))内(含边界)的概率．解(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上〞为事件A，那么根本领件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的根本领件数为2，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内〞为事件B，那么根本领件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，共4个，即B包含的根本领件数为4，故P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).14．甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的