小学数学速算与巧算

速算与巧算数学比赛中，都有必定数目的计算题。计算题一般能够分为两类：一类是基础题，主要考察对基础知识理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵巧性较大的题目，主要考察灵巧、综合运用知识的能力，一般分值在10分到20分之间。这就要求有扎实的基础知识和娴熟的技巧。速算与巧算主假如运用定律：加法的互换律、联合律，减法的性质，乘法的互换律、联合律和乘法对加法的分派律，除法的性质等。除法运算规律：(1)A÷B＝1÷

BA(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b拆项法：(1)111nn1n(n1)d11(2)nndn(nd)(3)11(11)n(nd)dnnd1111(4)2n(n1)(n1)(n2)n(n1)(n2)n2(n1)2nn111(5)1)n1n11n(nn1n(6)将1分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a1和a2，而后分子、分母分A别乘以(a1＋a2)，再拆分，最后进行约分。1＝1(a1a2)＝a1a2＝11AA(a1a2)A(a1a2)A(a1a2)Aa2)Aa2)(a1(a1a1a2等差数列乞降：(首项＋末项)×项数÷2＝和约分法简算：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式。典例巧解例12007÷20072007＝。2008点拨一被除数是2007，除数是一个带分式，整数部分和分数部分的分子都是2007，我们能够把20072007化为假分数，再把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。2008解2007÷2007200720082007÷20072008200720082007÷200720092008＝2007×200820072009＝20082009点拨二依据题目特色，假如利用“A÷B＝1÷B”，本题就能够防止先将带分数化成假分A数后，再相除的一般做法，而采纳同数相除商为1的巧方法。20072007解原式＝1÷2008，20071＝1÷1200820082009说明本题“巧”在倒数观点的运用。例2(第五届“希望杯”邀请赛试题)(11)(11)(11)(11)(11)(11)(11)(11)234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.9＝。点拨本题分子可化简去括号变为因数乘积的形式，再约分化简，分母可经过凑整变形化简，问题易解。12345678解(0.10.9)234567890.6)0.5(0.20.8)(0.30.7)(0.419＝2981212233427282829例3计算：3452930。315273552757283452930点拨初看题目，分子、分母都是一组有必定规律的数列，能够先分别求出和，再求它们的商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再认真察看分子、分母，能够发现对应项之间存在必定的规律：31÷12＝10×3＝2，52÷23＝22×4＝2，73÷34＝38×5＝2，，333544411555195527÷2728＝1622×29＝2，5728÷2829＝2。2929298113030这说明分母的总和正好是分子总和的2倍，问题易解。12233427282829解345293031527355275728345293012233427282829＝34529302(12233427282829)3452930＝12说明在计算5527÷2728时，假如不用惯例的方法，先将带分数转变为假分数，而是利2929用题目中的数据，再经过转变，逆向运用乘法分派律，就更简易。如：被除数＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×28＝2×(27×29＋28)，除数＝27×29＋28，仍旧能够看出被除数正好是除数的2倍。例4计算：111111112341199719981999。111119992200032001999299710002998点拨察看题目可知，要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，因此不如分别计算繁分数的分子和分母，而后再计算最后结果。察看繁分数的分子，固然是一列分母从1开始的分数单位的数列，但分母是偶数的分数单位都是减数，因此，得运用一加一减的技巧来知足等差数列乞降的条件。解分子＝(1111111)2(1111)2341997199819992461998＝(1111)(111123199923)999＝111100010011999分母＝1111120002002200439963998＝1×(111)2100010011999111原式＝1000100119991(111)2100010011999＝2例5计算：1111。12123123910点拨因为1＝2＝2，1＝2＝212)223123332(144因此本题能够将每一项做适合变形后，用前面的方法使计算简易。解111121231239101＝122233410112＝2×(1111)2233410111＝2×(111111112233410)112×(1－1)111911例6计算：1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋＋1＋2＋＋1988＋222333331990199019901989＋1990。19901990点拨审题知1＋2＋1＝2，1＋2＋3＋2＋1＝3，，1＋2＋＋198822233333199019901990＋1989＋1990＝1989，即题的前半部分可变形为2＋3＋4＋＋1989，应用等差数列求19901990和公式求出。题的后半部分是同分母加法，并且分子是一个等差数列，应用等差数列乞降公式，可求出分子相加的结果。解原式＝2＋3＋4＋＋1989＋(11990)199021990(2＋1989)×1988÷2＋1991÷21979054＋＝例7计算：573697572363636。573697124727272点拨可利用拆项和乘法分派律分别将两个加数变形。解第一个加数可变形为573697572＝573697572573697124(5721)697124再应用乘法分派律把此式变形为573697572＝573697572＝1；572697697124572697573第二个加数变形为363636＝360000360036727272720000720072分子、分母都分别含有同样的数，变形为36(100001001)＝36。72(100001001)72原式＝1＋36＝11。722例8计算：12323423476782348678。223559点拨可先经过试验的方法找出规律。22121，2342121，3233334解12378223234234567823456789＝1＋(1－21)＋(13－214)＋＋(234167－2232351)＋(1－1)2345678234567823456789＝1＋1－34167892225362879362880例9计算：(1＋1＋1＋1)×(1＋1＋1＋1)－(1＋1＋1＋1＋1)×(1＋1＋2342345234523)。4点拨能够把1＋1＋1＋1当作一个整体，临时用字母A来表示这个整体，把1＋1＋1234234也当作一个整体，用字母B来表示。则A－B＝1。解令A＝1＋1＋1＋1，B＝1＋1＋1，则A－B＝1。234234(1＋1＋1＋1)×(1＋1＋1＋1)－(1＋1＋1＋1＋1)×(1＋1＋1)23423452345234A×(B＋1)－(A＋1)×B55A×B＋1A－A×B－1×B551(A－B)515例10计算：1111。2323434598991100点拨依据12)＝1×[1－1]，把所有的分数都拆成n(n1)(n2n(n1)(n1)(n2)两个分数之差，中间的分数就能够所有消去，原题可解。解11111232343459899100＝1×(1221)＋1×(2131213234(11)

)＋1×(3141)＋＋1×2452989999100＝1×(113213131981991)212234499100＝1×(1991)212100＝1×(11)299001×494929900494919800例11计算：111。2342345171819120点拨依据每个分数的特色，将所有的分数拆成两个分数之差，化简计算即可。解111＝(11321)×1＋(214315)×1＋＋2343343(119181)×1171819203＝1×(11321＋1431＋＋17119181)32342345181920＝1×(113－120)321819＝1×(1331920－18120)323192019＝1×(181140－18120)3192019＝1×1139181920113920520例12计算：1＋1＋1＋1＋＋1。22223210点拨可将原式设为S，则计算起来简易。解设S＝1＋1＋1＋1＋＋122223210则1S＝1＋1＋1＋1＋＋122232411222S－1S＝(1＋1＋12＋13＋＋110)－(1＋12＋13＋14＋＋111)，22222222221S＝1＋111111122－2＋22－2＋＋10－210－11222S＝1－1211S＝(1－1)×22111＝2－102－11024110231024∴1＋1＋12＋13＋＋110＝1102322221024例13计算：1＋11＋11＋13＋2＋21＋21＋23＋＋10。424424点拨一认真察看能够发现：1－1＝1，11－11＝1，13－11＝1，，10－93＝1，由此能够看出，4424442444公差＝1，项数n＝(an－a1)÷d＋1，因此n＝(10－1)÷1＋1＝37，那么前37项的和，我4S＝(a1an)n求出和。4们就能够依据公式：2解法一察看发现，各个加数能构成公差＝1的等差数列，项数n＝(10－1)÷1＋1＝37，S＝(110)37＝407＝2031。44222点拨二假如本题我们从另一个角度察看，把它们每4个数分为一组，则有(1＋11＋11＋13)＋(2＋21＋21＋23)＋＋(9＋91＋91＋93)＋10。察看每424424424组对应项的特色，我们很简单计算出结果。解法二1＋11＋11＋13＋2＋21＋21＋23＋＋10424424(1＋11＋11＋13)＋(2＋21＋21＋23)＋＋10424424(1＋2＋3＋＋9)×4＋(1＋3＋1)×9＋10442＝(19)9×4＋3×9＋1022180＋131＋10220312例14×＋×＋×的整数部分是多少点拨本题并未要求这个式子的正确值，只需求其整数部分，因此只需大概估出这个式子的值在哪两个相邻整数之间就行了。假如n是整数而能得出n≤a＜n＋1，那么就能必定a的整数部分是n。察看这一组数据发现，这组数据与8×＝10很靠近，因此应此后着手进行剖析。再认真察看，发现这个式子中每两个相乘的数都有规律：，，，都逐一增添，而，，，都逐一减少，于是可知8＋＝＋＝＋＝＋，即相乘两数的和相等。两数相加，当此中一个加数增大，另一个加数减小，但其和一直保持固准时，它们两者的积会怎么变化呢假如另取2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5比较，会发现2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，即2×8＜3×7＜4×6＜5×5，就是当两个数和固定而两数相差越大时，这两数的积越小。这是不是一般规律呢设a1＋b1＝a2＋b2＝k，而a1＞a2＞b2＞b1，这时a1与b1相差就比a2与b2的差大(a1－b1a2－b1＞a2－b2)。此时a2b2－a1b1a2(k－a2)－a1(k－a1)＝ak－a2222112a1－a2－(a1k－a2k)(a1＋a2)(a1－a2)－k(a1－a2)(a1－a2)(a1＋a2－k)因为a1＞a2，并且a1＋a2＞a1＋b1＝k，因此a2b2＞a1b1。也就是说：当两数的和一准时，两数相差越大，它们的积就越小。解∵8－＜－＜－＜－，于是8×＞×＞×＞×。而8×＝10，∴×＋×＋×＜10×3＝30。但×＞8×＝，∴×＋×＋×＞×3＝。答：所求整数部分为29。这就是说该和数在到30之间，于是其整数部分为29。解题技巧速算与巧算，主要应用各样定律和运算性质，利用数和数之间的特别关系，合理灵巧地进行组合与分解、凑整，进行简短、迅速地运算。关于分数的混淆运算，除了掌握惯例的四则运算法例外，还应掌握一些特别的运算技巧，．．．．．．．才能提升运算速度，解答较难的问题。比赛能级训练A级1.计算：2＋2＋2＋2＋2。答案；10/231131517171921111315192.计算：11111。100/51121231234123503.计算：44444。3200/9603353575799395979597199计算：＋＋＋＋。5.计算：1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋＋(1＋2＋＋58＋59)。28523344460606060级假如把简记为0.000025。下边有两个数：10个0a＝0.000125，b＝0.0008，试求：a＋b，a－b，a×b，a÷b。1984个01988个02.计算：(1＋1)×(1－1)×(1＋1)×(1－1)××(1＋1)×(1－1)。223399993.计算：(177)(17(17(17(17(17(177))(1