2023高考数学一轮复习第7章立体几何初步热点探究课4立体几何中的高考热点问题教师用书文北师大版

PAGEPAGE1热点探究课(四)立体几何中的高考热点问题[命题解读]1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算〞相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．热点1线面位置关系与体积计算(答题模板)以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．(本小题总分值12分)(2022·全国卷Ⅰ)如图1，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.图1(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)假设∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．[思路点拨](1)注意到四边形ABCD为菱形，联想到对角线垂直，从而进一步证线面垂直，面与面垂直；(2)根据几何体的体积求得底面菱形的边长，计算侧棱，求出各个侧面的面积．[标准解答](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BE.2分因为BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.4分(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.6分由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由得，三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.9分从而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq\r(5).故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2eq\r(5).12分[答题模板]第一步：由线面垂直的性质，得线线垂直AC⊥BE.第二步：根据线面垂直、面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED.第三步：利用棱锥的体积求出底面菱形的边长．第四步：计算各个侧面三角形的面积，求得四棱锥的侧面积．第五步：检验反思，查看关键点，标准步骤．[温馨提示]1.在第(1)问，易无视条件BD∩BE＝B，AC平面AEC，造成推理不严谨，导致扣分．2．正确的计算结果是得分的关键，此题在求三棱锥的体积与侧面积时，需要计算的量较多，防止计算结果错误失分，另外对于每一个得分点的解题步骤一定要写全．阅卷时根据得分点评分，有那么得分，无那么不得分．[对点训练1]如图2，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，图2(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE(3)求三棱锥E­ABC的体积．[解](1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AB平面ABC所以BB1⊥AB.2分又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C所以FG∥EC1，且FG＝EC1，6分所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3)，10分所以三棱锥E­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3).12分热点2平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．如图3，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答以下问题：图3(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？假设存在，请证明你的结论；假设不存在，请说明理由；(2)假设平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.【导学号：66482345】[解](1)如图，线段AB上存在一点K，且当AK＝eq\f(1,4)AB时，BC∥平面DFK.1分证明如下：设H为AB的中点，连接EH，那么BC∥EH.∵AK＝eq\f(1,4)AB，F为AE的中点，∴KF∥EH，∴KF∥BC.3分∵KF平面DFK，BC平面DFK，∴BC∥平面DFK.5分(2)证明：∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，∴在折起后的图形中，AE＝BE＝eq\r(2)，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，∴AE⊥BE.8分∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面ADE.∵BE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ADE.12分[规律方法]1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．2．在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．[对点训练2](2022·全国卷Ⅱ)如图4，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．图4(1)证明：AC⊥HD′；(2)假设AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱锥D′­ABCFE的体积．[解](1)证明：由得AC⊥BD，AD＝CD.2分又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.5分(2)由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.7分所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由eq\f(EF,AC)＝eq\f(DH,DO)得EF＝eq\f(9,2).10分五边形ABCFE的面积S＝eq\f(1,2)×6×8－eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×3＝eq\f(69,4).所以五棱锥D′­ABCFE的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(69,4)×2eq\r(2)＝eq\f(23\r(2),2).12分

热点3线、面位置关系中的开放存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．(2022·石家庄质检)如图5所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点．图5(1)求证：EF∥平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？假设存在，请说明其位置，并加以证明；假设不存在，请说明理由.【导学号：66482346】[解](1)证明：如下图，连接AC，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点.2分所以对角线AC经过点F.又在△PAC中，点E为PC的中点，所以EF为△PAC的中位线，所以EF∥PA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.5分(2)存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC.因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.7分又侧面PAD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中点G，连接FG，EG.9分因为F为BD中点，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD，又FG∩EF＝F，所以CD⊥平面EFG，又CD平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.12分[规律方法]1.在立体几何的平行关系问题中，“中点〞是经常使用的一个特殊点，通过找“中点〞，连“中点〞，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．2．第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．[对点训练3](2022·湖南师大附中检测)如图6，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．图6(1)求证：AC⊥SD；(2)假设SD⊥平面PAC，那么侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？假设存在，求SE∶EC；假设不存在，请说明理由．[证明](1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥S­ABCD是正四棱锥，所以SO⊥AC.2分在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD.因为SD平面SBD，所以AC⊥SD.5分(2)在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.连接OP.设正方形ABCD的边长为a，那么SC＝S