知识点37解直角三角形及其应用2022

第一批一、选择题8．（2022·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是 （）A．m B．54m C．19.5m D．18m（第8题）【答案】C【解析】过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+＝，故选C．8．（2022·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 （）A．米B．米C．米D．米【答案】B【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD=+=(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===．故选B.10．（2022·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 【】A．nmileB．60nmileC．120nmileD．nmile【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故本题选：D．8．（2022·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.第8题图【答案】C【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ=，∴BD=atanβ.在Rt△ABD中，∵tanα=，∴BC=atanα.∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.1.(2022·泰安)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为________km.+30 +10 +30 【答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故选B.2.（2022·重庆B卷）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：,那么建筑物AB的高度约为（）【答案】B【解析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：,DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=米，在Rt△ECM中，∵+=，∴+=解得x=20∴CM=48米，EM=20+=米，BM=ED+DM=52+48=100米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形.∴EN=BM=100米，BN=EM=米.在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×=51米∴AB=AN+BN=51+=米.故选B．3.（2022·重庆A卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）＝1:的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：°≈，cos48°≈，tan48°≈）A．米B．米C．米D．米第10题图第10题图【答案】C．【解析】如答图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA．∵山坡AC上坡度＝1:，AC＝26米，∴令CF＝k，则AF＝，由勾股定理，得k2＋2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tanE＝，故DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×＝，于是，CD＝DF－CF＝，故选C．第10题答图第10题答图4.5.67.8.910.11.12.13.二、填空题（2022·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）解：如图，分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，则AN=EM,∵从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，∴AN=9米=EM，∵斜坡AB的坡度i=1:1，∴BN=AN=9米，∵斜坡EF的坡度i=1:，∴FM=9，∴FB=FM+MN-BN=9+2-9=9-7,S梯==,∴体积为200S梯=8100-4500（m3)答:共需土石8100-4500立方米.21．(2022·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.第21题图解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△BEC中,设BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝BC＝x,CE＝x,在Rt△ACE中,AE＝CE＝x,∴AB＝AE－BE＝x－x,已知AB＝60×＝90,∴x－x＝90,解之得,x＝90+90.答:B,C两处之间的距离(90+90)海里;EE(2)过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝x＝135+45,∴BD＝2BF＝270+90,∴时间为(270+90)÷90＝3+.答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.FF16．（2022·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE为分米．【答案】5+54【解析】（1）过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分别为点L、N，则∠LON=90°，四边形NMLO是矩形，∴MN=LO.∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=CD=5，OL===5，∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=AO=5，∴AM=5+5；（2）过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分别为点Q、N.在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，FQ=2，在Rt△EFQ中，∠EQF=90°，FQ=2，EF=6，∴QE=2，BE=10-2-2=8-2；同理可得PE′=2，∴B′E′=2+10-2=12-2，∴B′E′-BE=(12-2)-(8-2)=4.故填：5+54.15．（2022·盐城）如图，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________.【答案】2【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，又∠C＝45°，故,，设，则，CD=x，，在Rt△ACD中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD2+BD2=AB2，得，所以，解得,故AC=2.1.(2022·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是,则旗杆AB的高度约为________m(精确到.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈【答案】【解析】由题可知BC＝6m,CD＝,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝,EB＝CD＝,∴AB＝AE+EB＝≈.第15题答图2.（2022·湖州）有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为________cm．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，sin53°≈，cos53°≈）②②第14题图【答案】120．【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．在Rt△ABE中，sinB＝，故h＝AB•sinB＝150×sin53°≈150×＝120．3.（2022·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．4.（2022·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm.（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=_______cm.（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为_______cm2.【答案】（1）（90－45）；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB，CF，然后进行线段加减即可；（2）根据题意，得S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，计算可得.解：(1)∵AB=50，CD=40，∴AB＋CD=EB＋CF＝EF=90.在Rt△ABE中，∵∠E=90°，∠ABE=30°，∴EB＝25.同理可得CF＝20.∴BC=90－45（cm）.（2）根据题意，得AE＝40,DF=32,EB＝＝30，CF＝＝24,∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF＝(AE＋DF)·EF－AE·EB－CF·DF＝(40＋32)×90－×40×30－×24×32＝2256.5.(2022·宁波)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米.【答案】566【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.6（2022·衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米_________（结果精确到参考数据；sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈）.【答案】【解析】由三角函数的定义得:sinα=sin50°==≈，所以AD≈2×=≈米.7.8.910.11.12.13.三、解答题20．（2022年浙江省绍兴市，第20题，8分如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）【解题过程】22．（2022·嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝米，动臂BC＝米，CD＝米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到米）？（参考数据：sin50°≈，cos50°≈，sin70°≈，cos70°≈，）【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N.在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+（米）如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°（米）∴DH=DK+（米）∴（米）.所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约米.23.（2022浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，=1\*GB3①求证：OD=OA.=2\*GB3②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=，△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OBsin60°×=；（2）如图2，连接OC，设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．23．（2022山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8cm．(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求的度数．(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q放在卡孔M处时，作出该支架的截面图如图（1），第23题答图(1)第23题答图(1)过点P作，垂足为E，此时，，，，因为，所以，设，所以，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，所以，解得，所以,在Rt△OPE中，,由参考数据表，可得，．（2）解：当支柱的端点Q放在卡孔N处时，作出该支架的截面图如图（2），第23题答图（2）第23题答图（2）过点P作，垂足为F，此时，，，，，因为，所以，在Rt△OPE中，，所以，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，所以，所以,所以相邻两孔的距离为．22（2022山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【解题过程】∵BH＝，sinα＝，∴AB＝＝1，∴AH＝，∵AF＝FC＝2，∴BF＝1，作FQ⊥BG于点Q，作EP⊥FQ于点P，∵EF＝FB＝AB＝1，∠EPF＝∠FQB＝∠AHB＝90°，∠EFP＝∠FBQ＝∠ABH，∴△EFP≌△FBQ≌△ABH，∴EP＝FQ＝AH，BQ＝BH，∴BQ＋EP＝＋＝（米）＜2米，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．20．（2022江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B—A—O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(结果精确到01)(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小.(参考数：sin70°≈，cos20°≈，°≈，°≈【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA交BC于点F，∵BC∥OE，OA⊥OE，∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB＝30cm，sin70°≈，∴AF=AB·sin70°≈30×=（cm）.∵OA=，∴OF=AF+OA=+=35（cm）.又∵CD始终垂直于水平桌面OE，且CD＝8cm，∴点D到桌面OE的距离为：OF-CD=35-8=27（cm）.（2）如图所示，作BH⊥CD于点H，∵D到桌面OE的距离为6cm，H到桌面OE的距离为35cm，CD＝8cm，∴CH=35-8-6=21（cm），又∵BC＝35cm，∠H=90°，∴sin∠CBH=，∵°≈，∴∠CBH=°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°°=°.20．（2022·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:×××组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示旗杆,测量角度的仪器的高度AC＝BD＝,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内.点C,D,E在同一直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数°°°∠GDE的度数°°31°A,B之间的距离…………任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:°≈,°≈,°≈,sin31°≈,cos31°≈,tan31°≈任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)【解题过程】任务一:平均值＝+÷2＝任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝,CD＝AB＝,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝,∴DE＝,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝°,∵°＝,∴CE＝,∵CD＝CE－DE,∴－＝,∴x＝,∴GH＝GE+EH＝+＝.答:旗杆GH的高度为.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.22．（2022·娄底）如图（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为，．已知，，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．∵，∴同理，∵∴．∴．设米,则则由i＝1:1得,；∴，∴∴山顶A的高度AE为16米．22．（2022·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到米）（参考数据：≈，≈1041）解：设楼房AB的高为x米，则EB＝x，∵坡度i＝1:，∴坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，∴，解得x＝15＋5≈237（米）.所以楼房AB的高度约为237米.21．(2022·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈,tan18°30′≈,结果精确到第21题图【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以,因为BC＝10m,所以AB＝20m;(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝≈,顶棚的E处离地面的高度EF为.第21题答图22．（2022·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.（结果保留小数成后一位，≈，/≈.）【解题过程】22．（2022·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取）．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝（cm），∴FH＝CE＝（cm）∵DH＝，∴DF＝DH﹣FH＝﹣＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．21．（2022·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【解题过程】如图，∵l1∥l2∴∠ABC=∴tan∠ABC==tan＝，∴BC=3AC=(米）∴BC的长度为米。根据题意得DF1∥AF,∵l1∥l2∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=BM=FF1=(米），∴EM=BM-BE=BC-BE=（米）,∵tan∠NEM=tan∠ABC=，∴MN=EM=（米）∴障碍物的高度为米.1.(2022·台州)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈,cos70°≈,tan70°≈解：过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝,∴A离地面高度为+6≈(cm).答：求把手A离地面的高度.DD2.（2022·天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.（结果保留整数）参考数据：sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴AD=∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,∴BD=，∵AD=BD+AB,∴=30+CD,∴CD=45.答：这座灯塔的高度CD约为45m.3.（2022·眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．解：在Rt△DEC中，∵i=DE∶DC=1∶2，且DE2+EC2=DC2.∴DE2+（2DE）2=（）2.解得：DE=20m，EC=40m.过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H，则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形.∵∠ACB=45°，AB⊥BC，∴AB=BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-20）m，DG=（x+40）m，在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，∴，解得：x=50+.答：楼AB的高度为（50+）米.4.（2022·达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”，蹲坐着观音崖一块奇石是一只“哮天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB=5米，CD=米，景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3米，他们很快就算出了AB的长，你也算算？（结果精确到米，参考数据：sin40°≈，cos40°≈，tan40°≈.≈≈）解：过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF于点G，则四边形AEFG是矩形.在Rt△ADE中，tan60°AE=3，，∴DE=.在Rt△CBF中，sin40°，CB=5，∴BF≈，cos40°=≈，CB=5，∴CF≈.∵CD=，∴EF=CD+DE-CF≈，BG=BF-AE≈，∴AB=≈.5.(2022·巴中)某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校”数学兴趣小组”在”研学旅行”活动中,在C处测点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝414m,AB＝300m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin65°≈,cos65°≈,tan65°≈解：过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,∵AB⊥BC,∴四边形DEBF是矩形,DE＝BF,EB＝DF,在Rt△AED中,AE＝,∴BE＝AB－AE＝300－,∴DF＝BE＝300－,在Rt△CDF中,∠DCF＝45°,∴∠FDC＝∠FCD,∴CF＝DF＝300－,∴BC＝BF+FC＝300－+ED,∵BC＝414,∴300－+ED＝414,∴ED＝214,∴点D到AB的距离为214m.6（2022·潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）解：在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=1∶，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=AB=100．∵AC=20，∴CE=100－20=80．在Rt△CDE中，∵tanD=1∶4，∴sinD=．∴．∴CD=（米）答：斜坡CD的长是米．7.(2022·聊城)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,CD部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为°(如图②所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到1米)(参考数据:°≈,°≈,°≈,≈,≈第22题图解：设楼高CE为x米,∵在Rt△AEC中,∠CAE＝45°,∴AE＝CE＝x,∵AB＝20,∴BE＝x－20,在Rt△CEB中,CE＝°≈2(x－20),∴2(x－20)＝x,解得x＝40,在Rt△DAE中,DE＝AEtan30°＝,∴CD＝CE－DE＝40－≈17(米).答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.8.（2022·岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：°≈，°≈，°≈）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．解：（1）在Rt△AEH中，∠AEH=°，．∴AH=EH·°=BF·°=．∵GH=GB－HB=CD－EF=－=，∴AG=AH－GH=－．在Rt△ACG中，∵∠ACG=45°，∴CG=AG=－．∴BD=CG=－．所以小亮与塔底中心的距离BD为（－）米．（2）∵DF=BD+BF，∴－＋a=52．解得：a=18∴AB=AH＋BH=＋=×18＋=（米）．所以慈氏塔的高度AB为米．9（2022·怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.解：过A点作AD⊥BC，垂足为D.根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×=60米，在Rt△ABD中，BD==AD，在Rt△ACD中，CD==AD，∴BC=BD-CD=AD=60，∴AD=30.所以此段河面的宽度为30.10.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、选择题3.（2022·河北）如图，从C点观测点D的仰角是（）A.∠DABB.∠DCEC.∠DCAD.∠ADC第3题图【答案】B【解析】利用“视线在水平线上方，与水平线的夹角叫仰角”去判断.【知识点】仰角与俯角3.（2022·广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=2A．75m B．50m C．30m D．12m【答案】A【解析】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC=25，BC＝30m，∴tan∠BAC解得AC＝75，故选：A．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题11.（2022·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．43 B．34 C．35【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC=A∴sin∠BAC=CD故选：D．【知识点】解直角三角形二、填空题15．（2022·广东）如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是______米（结果保留根号）.【答案】【解析】本题考查利用特殊角的三角函数解直角三角形,因为CD=BE=15,∠ABE=30°,∠CBE=45°,所以AE=15,CE=BE=15,所以AC=AE+CE=15+15.【知识点】解直角三角形三角函数17.（2022·绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝102，AC＝55，则△ABC的面积是．【答案】75或25．【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝10，BD＝AB•cosB＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝55，∴CD=A∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC=12BC•故答案为：75或25．【知识点】解直角三角形及其应用20．（2022·黔三州）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图20放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是.【答案】15-5．【解题过程】过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，

∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10，

∵AB∥CF，

∴BM=BC×sin30°=10×=5，

CM=BC×cos30°=15，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，

∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=5，

∴CD=CM-MD=15-5，

故答案为15-5．【知识点】；；锐角三角函数概念.13．（2022·黄石）如图，一轮船在处观测灯塔位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达处，再观测灯塔位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔最近的位置处，此时轮船与灯塔之间的距离为________海里（结果保留根号）【答案】15【解析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT⊥MN，利用锐角三角函数关系进行求解，由题意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN•sin∠PNT＝15海里．【知识点】解直角三角形的应用三、解答题19．（2022·河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈，cos34°≈，tan34°≈，)【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函数求出AC，然后求出BC的长，最后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD的长，从而可求DE的长.【解题过程】解：由题意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°;在Rt△ACE中：∵tanA==即tan34°=≈∴AC≈∴BC=AC-AB≈=在Rt△BCD中：∵tan∠CBD==即tan60°=≈∴CD≈答：炎帝塑像DE的高度约为51m.【知识点】解直角三角形的应用，仰角和俯角20．（2022·深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，DE=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长.（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）.【思路分析】作EM⊥AC于点M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题．【解题过程】如图，△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600．作EM⊥AC于点M，则AM=DE=500，∴BM=100．在Rt△CEM中，tan53°=，即=，∴CM=800，∴BC=CM－BM=800－100=700（米），∴隧道BC的长度为700米．答：隧道BC的长度为700米．【知识点】解直角三角形25.（2022·宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到，参考数据：sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈）【解题过程】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈（cm），则单车车座E到地面的高度为+32≈（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×＝64，则E′C=E'H∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣＝（cm）．【知识点】解直角三角形的应用24.（2022·南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈，tan27°≈．）【思路分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．【解题过程】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH=AH∴AH＝CH•tan∠ACH≈，在Rt△BHC中，tan∠BCH=BH∴BH＝CH•tan∠BCH≈，由题意得，﹣＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题24.（2022·连云港）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，【思路分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再解，利用正弦函数定义得出即可；（2）过点作于点，易知，、、在一条直线上．解，求出、．解中，求出、，得出．设缉私艇的速度为海里小时，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可．【解题过程】解：（1）在中，．在中，，（海里）．答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）过点作于点，由题意易知，、、在一条直线上．在中，，．在中，，，，．设缉私艇的速度为海里小时，则有，解得．经检验，是原方程的解．答：当缉私艇的速度为海里小时时，恰好在处成功拦截．【知识点】解直角三角形的应用方向角问题20．（2022·陕西）（本题7分）如图，两座建筑物的水平距离BC为m，从C点测得A点的仰角为，从A点测得D点的俯角为，求两座建筑物的高度（参考数据：，，，，，）．第14题答图第14题答图【思路分析】通过作辅助线，构造一个矩形，利用锐角三角函数解决问题．【解题过程】解：过点D作，垂足为E，所以由已知，可得，，因为，所以四边形BCDE为矩形，所以，，在Rt△ABC中，因为，，在Rt△ADE中，因为，，所以，所以，所以两座建筑物的高度分别为80m，35m．【知识点】矩形的判定定理和性质定理、锐角三角函数、平行线的性质．20．(2022·海南)图9是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空:∠BAC＝______度,∠C＝______度;(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).【思路分析】任务一:根据平均数的计算方法求值即可;任务二:设出旗杆高度,表示出CE,DE的长度,得到方程,即可解得;任务三:根据实际情况分析原因.【解题过程】(1)∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,∴∠BAC＝30°,在△ABC中,∠ABC＝90°+15°＝105°,∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°;(2)设BP＝x海里,则在Rt△BCP中,CP＝BP＝x,在Rt△ABP中,AP＝BP＝x,∵AC＝10,∴x+x＝10,∴x＝5－5,答:观测站B到AC的距离为(5－5)海里.【知识点】三角函数的应用25．（2022·兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=°）.窗户的高度AB=2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到，参考数据：°≈，°≈，°≈，°≈，°≈，°≈）【思路分析】根据正切的定义，分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．【解题过程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=，则BC=CD•tan∠BDC≈，在Rt△DCA中，tan∠ADC=，则AC=CD•tan∠ADC≈，由题意得，AC-BC=AB，即，解得，CD≈，答：遮阳蓬CD的长约为．【知识点】解直角三角形及其应用19.（2022·遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造，如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC=154米，步行道BD=168米，∠DBC=30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长(结果保留根号）【思路分析】如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则Rt△BDN中BD=168，∠DBC=30°，可求DN的长，由于DN=CM，所以AM可求，Rt△ADM中,∠ADM=45°，进而可求出AD的长【解题过程】解：如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则Rt△BDN中BD=168，∠DBC=30°，∴DN=84，∵DN=CM，∴CM=84∵AC=154，∴AM=70，∴Rt△ADM中,∠ADM=45°，∴AD=答：求电动扶梯DA的长为米.【知识点】解直角三角形22.（2022·遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE，探究：S△ABC与S△ADE的比是否为定值两块三角板是完全相同的等腰三角形时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图①）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图②）两块三角板中，∠BAE+∠CAD=180°，AB=a,AE=b,AC=m,AD=n(a,b,m,n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a,b,m,n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由（图③）【思路分析】分别过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,根据同角的余角（或补角）相等，可以证明∠BAM=∠DAE,∴BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,所以S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）,都是固定值.【解题过程】解：（1）是固定值1:1过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC和△ACD是完全相同的等腰直角三角形，∴AB=AC=AD=AE,∴S△ABC：S△ADE=1:1（2）是固定值1:过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC是等腰直角三角板，△ACD是另一块是含有30°角的直角三角板∴AB=AC=AE，AD=AE,∴S△ABC：S△ADE=1:(3)是固定值(am):(bn)过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM+∠DAC=180°，∠DAE+∠EAM+∠DAC=180°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵AB=a,AE=b,AC=m,AD=n∴S△ABC：S△ADE=(am):(bn)【知识点】三角函数，解直角三角形，同角的余角或补角相等23.（2022•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树和教学楼的高，先在处用高米的测角仪测得古树顶端的仰角为，此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走10米到达处，又测得教学楼顶端的仰角为，点、、三点在同一水平线上．（1）求古树的高；（2）求教学楼的高．（参考数据：，【思路分析】（1）由知，据此得；（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得的值，代入计算可得．【解题过程】解：（1）在中，，，，，古树的高为米；（2）在中，，，设米，则米，在中，，，，，解得：，，答：教学楼的高约为25米．【知识点】解直角三角形的应用仰角俯角问题21.（2022·宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）【思路分析】设米，根据等腰三角形的性质求出，利用正切的定义用表示出，根据题意列方程，解方程得到答案．【解题过程】解：设米，在中，，，在中，，则，由题意得，，即，解得，，，答：该建筑物的高度为米．【知识点】解直角三角形的应用仰角俯角问题22.（2022·资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【思路分析】（1）由题意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝203，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝203，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴DG=33x，DH＝AH，∴203+33x＝x∴BG＝203，AH＝20+203，∴BD=BG32=40，AD=2AH答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20222+6【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题22.（2022·甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解题过程】解：连接，作于点，，，分别垂直平分踏步，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，该中学楼梯踏步的高度符合规定，，，该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【知识点】解直角三角形的应用坡度坡角问题20．（2022·随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里／小时、30海里／小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【思路分析】此题考查的是解直角三角形的实际应用，所以要构造直角三角形．（1）过P点作PH⊥AB，然后在Rt△PHA和Rt△PHB中，根据题中所提供的数据，分别运用三角形函数求出PB的长；（2）用PA和PB的长分别除以两救助船的速度，便可算出时间，比较大小便可判断出哪艘船先到．【解题过程】解：（1）过P点作PH⊥AB，由题意得∠A＝30°，∠B＝45°，在Rt△PHA中，∵AP＝120，∠A＝30°，∴PH＝PA＝60，在Rt△PHB中，∵∠B＝45°，sinB＝，∴PB＝PH＝60（海里）．答：收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间相距60海里．（2）依题意可得A船所需时间为＝＝3（小时），B船所需时间为＝＝2（小时）因为＞，所以B船先到达．【知识点】锐角三角形函数；22.（2022·天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．（参考数据：2=，3（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．【思路分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．【解题过程】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：3，∴tanα=1∴α＝30°；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1：3，∴tan∠CAD=CD解得，AD＝63米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（63又∵PB＝8米，∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（63-6）＝14﹣63≈∴该文化墙PM不需要拆除．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题22.（2022·武威）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取．【思路分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．【解题过程】如图，作于，于，于．∵，∴四边形是矩形，∴，在中，∵，，，，，在中，，∴，∴此时台灯光线为最佳．【知识点】解直角三角形及其应用21.（2022·鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到米，2≈，3【思路分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；∴四边形DEFG是矩形；∴FG＝DE；在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE；＝6×tan30o＝23（米）；∴点F到地面的距离为23米；（2）∵斜坡CFi＝1：．∴Rt△CFG中，CG＝＝3×＝33∴FD＝EG＝33+在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝63．∴AB＝AD+DE﹣BE．＝33+6+3-3答：宣传牌的高度约为米．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题19（2022·菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2022年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．【思路分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴tan60°=BD∴AD=BD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴tan45°=BD∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD=BD3∴BD＝120﹣403，∴BC=2BC＝1202-40答：BC的距离是（1202-406【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题22.（2022·菏泽）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【思路分析】根据∠CAB＝30°，AB＝4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．【解题过程】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD=22+2即BD的长是22km．【知识点】解直角三角形的应用第三批一、选择题6．（2022·长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为α米α米C.米D.米【答案】A.【解答过程】由题意可得：sinα=，故BC=3sinα（m）．

故选：A．【知识点】解直角三角形的应用二、填空题16．（2022·徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部的C处的俯角为17°，若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为_________m．（参考数据：sin17°≈，cos17°≈，tan17°≈）答案：262解析：本题考查了解直角三角形的应用，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，在Rt△ACD，∵AD=62，∠ACD=∠EAC=17°，∴AE=CD===200，∵AE⊥BE，∠BAE=45°，∴BE=AE=200，∴BC=CE＋BE＝AD＋BE＝62＋200＝２６２（m）第16题答图15.（2022·仙桃）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD=，则旗杆AB的高度为m．EE答案：解析：本题考查了解直角三角形的应用，过点A作AE⊥CD垂足为E，根据题意可知∠ADE=600,∠ACE=300，所以AD=CD=，在Rt△ADE中，,所以DE=,所以AB=AE=+=(m).因此本题填．13．（2022·孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=☆米.答案：20-20解析：本题考查了解直角三角形的应用，因为PD=20米，∠CPD=45°，∠BPD=460°，所以CD=20米，BD=20米，所以BC=20-20=20（-1）米．17.（2022·赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin38°≈，cos38°≈，tan38°≈）【答案】【解析】如图：AC＝，∠B＝38°，∴AB=AC∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝+5＝（m）故答案为【知识点】解直角三角形的应用三、解答题（第21题图）21．（2022·郴州）如图示巡逻船在A处测灯塔C在偏东45°方向上，距离A处30k在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号巡船接到指示后立即前往施救已知B处在A处的偏东60°方上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到k．参考数据：≈，≈）（第21题图）答案：解：延长CB交东西方向线于点D，则AD＝AC·sin45°，AD＝AB·sin60°，∴AC·sin45°＝AB·sin60°，由于AC＝30km，sin45°＝，sin60°＝，∴AB＝＝＝10≈（km）答：巡逻船与渔船的距离是．21．（2022·永州）(本小题8分)为了测量某山(如图所示)的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．(可能用到的数据：≈1．414，≈1．732)解：由题意知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，设AB＝x，则BC＝x，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴tan30°＝，∴＝，解得x=200＋200≈．答：山高AB为米．20.（2022·呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB.（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）.解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴AD=AC·sin∠ACD=460×=230，CD=AC·cos∠ACD=460×=230，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，tan∠BCD=，且∠BCD=66°，∴BD=CD·tan∠BCD=230tan66°，∴AB=AD+BD=23