高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数7函数与方程综合篇课件新人教A版

考点函数的零点与方程的根1.函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使①

f(x)=0

的实数x叫做函数y

=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与②

x轴

有

交点⇔函数y=f(x)有③零点

.2.函数零点存在性定理

考点清单注意零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能

判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至

多有一个零点.注:函数零点存在性定理在新教材中叫零点存在定理.3.二分法(1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把

函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从

而得到零点近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证④

f(a)·f(b)<0

,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算f(c):(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ii)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(iii)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否

则,重复第二、三、四步.考法一函数零点的个数及所在区间的判断方法知能拓展例1(1)(2020江苏如皋中学第一学期检测,2)函数f(x)=lnx-

+1的零点所在的大致区间是

()A.(2,e)

B.(1,2)

C.(e,3)

D.(3,+∞)(2)设函数y=x3与y=

的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是

.解题导引(1)解法一:利用零点存在性定理进行判断;解法二:利用图象法.(2)分别画出函数y=x3与y=

的图象,利用函数零点存在性定理进行判断.解析(1)解法一:由于f(1)=ln1-2+1=0-2+1=-1,f(2)=ln2-1+1=ln2>0,函数f(x)=lnx-

+1在(0,+∞)上为单调增函数,所以f(x)的零点所在区间为(1,2),故选B.解法二:方程lnx-

+1=0的根为f(x)=lnx-

+1的零点,即函数f(x)的零点所在区间是函数y=lnx+1与y=

的图象交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示:由图可知f(x)=lnx-

+1的零点所在区间为(1,2),故选B.(2)设f(x)=x3-

,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=

的图象如图所示.因为f(1)=1-

=-1<0,f(2)=8-

=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案(1)B(2)(1,2)方法总结确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否

落在给定区间上.(2)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否

连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交

点来判断.例2(1)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-

1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是

()A.9

B.10

C.11

D.18(2)(多选题)(2021届湖南衡阳一中第二次月考,10)某同学在研究函数f(x)=

(x∈R)时,给出下面几个结论,其中正确的有

()A.f(x)的图象关于原点对称B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)C.f(x)的值域为(-1,1)D.函数g(x)=f(x)-x仅有一个零点(3)函数f(x)=

的零点个数是

.解题导引(1)函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的

个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数.(2)

(3)画出函数的图象,结合图象确定零点的个数.解析(1)由F(x)=0得f(x)=|lgx|,所以函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数就是函

数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:当0<x≤10时,有10个交点;当x>10时,|lgx|>1,所以此时函数y=f(x)与y=|lgx|

的图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是10.(2)函数f(x)的定义域为全体实数,f(-x)=

=-

=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;选项B,当x≥0时,f(x)=

=1-

,显然函数单调递增,此时0≤f(x)<1;当x<0时,f(x)=

=-1+

,显然函数单调递增,此时-1<f(x)<0,因此函数在整个实数集上是单调递增的,因此若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)是正确的,本选

项是正确的;选项C,由选项B的分析可以知道本选项是正确的;选项D,g(x)=f(x)-x=0⇒f(x)=x⇒

=x⇒

=0⇒x=0,只有一个零点,D正确.(3)当x>0时,作函数y=lnx和y=x2-2x的图象,如图.

由图知,当x>0时,f(x)有2个零点;当x≤0时,由f(x)=0得x=-

.综上,f(x)有3个零点.答案(1)B(2)ABCD(3)3方法总结判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个不同的解就有几个零点.(2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上的图象连续,

且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期

性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有

几个不同的零点.经典例题以下为教师用书专用例

(2020云南大理、丽江、怒江一模,11)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-

3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则

()A.g(a)<0<f(b)

B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)

D.f(b)<g(a)<0解析易知函数f(x)单调递增,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,由f(a)=0知0<a<1;函

数g(x)在定义域内单调递增,g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,由g(b)=0知b>1,∴g(a)<g(1)<0,f(b)>f(1)>0.故g(a)<0<f(b).答案

A例

(2020广西桂林七星模拟,10)设三个函数y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-

3x2+3x-1的零点分别为x1,x2和x3,则有

()A.x1x2≥x3,x1+x2≥2x3B.x1x2<x3,x1+x2=2x3C.x1x2>

,x1+x2≤2x3D.x1x2=

,x1+x2≥2x3

解析本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题,考查了数学运算

和直观想象的核心素养.易知x3=1.画出函数y=2x,y=log2x与y=2-x的图象如图,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是函数y=2x与y=log2x的图象与直线y=2-x的交点,由于指数函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,且直线

y=2-x也关于直线y=x对称,所以交点A、B关于直线y=x对称,所以

=

⇒2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<

=1(0<x1<x2),故选B.答案

B解题关键将x1,x2分别看成y=2x,y=log2x的图象与直线y=2-x的交点的横坐

标,结合y=2x,y=log2x的图象关于直线y=x对称得到x1+x2=2是解题的关键.例

(2020浙江杭州期末,16)已知函数f(x)=x3-9x,g(x)=3x2+a(a∈R).若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解x1,x2,x3,且它们可以构成等差数列,则a=

.解析本题考查方程的根与函数的零点的关系,根据根与系数的关系设F(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)是关键,考查了学生的计算能力,属于中档题.令F(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-9x-a,则F(x)=0有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1,x2,x3

成等差数列,设x1=x2-d,x3=x2+d,则F(x)=[x-(x2-d)](x-x2)[x-(x2+d)]=x3-3x2x2+(3

-d2)x-

+x2d2.对照x各次方的系数,可知

得a=-11.答案

-11一题多解(三次方程的韦达定理的应用)由题可知x1,x2,x3为方程x3-3x2-9x

-a=0的三个不等实根,且满足x1+x3=2x2,而x1+x2+x3=3,所以3x2=3,即x2=1,所

以1-3-9-a=0,即a=-11.例

(2020重庆一中摸底)已知偶函数y=f(x),x∈R满足f(x)=x2-3x(x≥0).若

函数g(x)=

则y=f(x)-g(x)的零点个数为

()A.1

B.3

C.2

D.4解析本题考查分段函数零点个数的判断.y=f(x)-g(x)的零点个数即为方

程f(x)=g(x)的根的个数,即函数y=f(x)和y=g(x)图象的交点个数,作出两函

数图象,如图所示,由图象可知共有3个交点,故选B.答案

B方法总结研究函数的零点个数问题时,若解方程不易求解或者遇到超

越方程时,应优先考虑数形结合.例

(2020天津第二十五中学模拟,9)已知函数f(x)=

则方程f[f(x)]=3的实数根的个数是

()A.6

B.3

C.4

D.5解析画出函数f(x)=

的图象,令t=f(x),易知f(t)=3有两解t1∈(0,1),t2∈(1,+∞),则t1=f(x),t2=f(x)分别有3个解,2个解,故方程f[f(x)]=3的实数

根的个数是3+2=5.故选D.答案

D考法二函数零点性质的应用例3(1)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x-lo

x,h(x)=log2x-

(0<x<10)的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是

()A.x1>x2>x3

B.x2>x1>x3C.x1>x3>x2

D.x3>x2>x1(2)已知函数f(x)=

函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

(3)设函数f(x)=

若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是

.解题导引(1)分别作出函数y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的图象,结合图象确定x1,x2,x3的大小关系.(2)(3)根据题意,对a进行分类讨论,根据零点个数确定实数a的取值范围.解析(1)由f(x)=2x+x=0,g(x)=x-lo

x=0,h(x)=log2x-

=0得2x=-x,x=lo

x,log2x=

.在坐标系中分别作出y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的图象,如图.

由图可知x1<x2<x3.(2)f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x),函数y=f(x)-g(x)有4个零点,可转化为直线y=b

与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.又y=f(x)+f(2-x)=

在同一直角坐标系中分别画出直线y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象(如图),可得

<b<2,故选D.(3)若a>0,当x<1,f(x)=2x-a恰有一个零点log2a时,有

解得

≤a<1;当x<1,f(x)=2x-a无零点时,有

解得a≥2.若a≤0,当x<1时,f(x)无零点;当x≥1时,由题意知应恰有两个零点,所以

无解.综上,

≤a<1或a≥2.答案(1)D(2)D(3)

≤a<1或a≥2方法总结零点性质的应用已知函数有零点(方程有根)求参数的值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等

式(组)确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象,然后数形结合进行求解.经典例题以下为教师用书专用例

(2020天津南开一模,9)已知函数f(x)=

若方程f(x)=ax有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是

()A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(0,1]

D.(1,+∞)解析由题意知x=0满足方程f(x)=ax,当x<0时,只需

=a有一个负根,即x=

<0,解得0<a<1,当x>0时,只需x2-(a+1)x+a=0有两个正根,方程可化为(x-1)(x-a)=0,故两根为1,a,∴a>0且a≠1.综上可知,当0<a<1时,方程f(x)=ax有4个不同的实数根.故选B.答案

B思路分析显然x=0满足方程f(x)=ax,然后当x≠0时,确定a=

=

有3个实根,显然在x<0时,

=a有一个负根,在x>0时,x2-(a+1)x+2a=a有两个正根,进一步求解即可.例

(2020陕西商洛模拟,11)已知函数f(x)=

若关于x的方程2f

2(x)-(2m+1)f(x)+m=0恰有3个不同的实根,则m的取值范围为

()A.(1,2)

B.[2,5)∪{1}C.